新课标人教A版数学必修5教案.pdf

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1、数 学 5 第 一 章 解 三 角 形 章 节 总 体 设 计(-)课 标 要 求 本 章 的 中 心 内 容 是 如 何 解 三 角 形，正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 是 解 三 角 形 的 工 具，最 后 落 实 在 解 三 角 形 的 应 用 上。通 过 本 章 学 习，学 生 应 当 达 到 以 下 学 习 目 标：(1)通 过 对 任 意 三 角 形 边 长 和 角 度 关 系 的 探 索，掌 握 正 弦 定 理、余 弦 定 理，并 能 解 决 一 些 简 单 的 三 角 形 度 量 问 题。(2)能 够 熟 练 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 等 知 识 和 方 法

2、解 决 一 些 与 测 量 和 几 何 计 算 有 关 的 生 活 实 际 问 题。(二)编 写 意 图 与 特 色 1.数 学 思 想 方 法 的 重 要 性 数 学 思 想 方 法 的 教 学 是 中 学 数 学 教 学 中 的 重 要 组 成 部 分，有 利 于 学 生 加 深 数 学 知 识 的 理 解 和 掌 握。本 章 重 视 与 内 容 密 切 相 关 的 数 学 思 想 方 法 的 教 学，并 且 在 提 出 问 题、思 考 解 决 问 题 的 策 略 等 方 面 对 学 生 进 行 具 体 示 范、引 导。本 章 的 两 个 主 要 数 学 结 论 是 正 弦 定 理 和 余

3、 弦 定 理，它 们 都 是 关 于 三 角 形 的 边 角 关 系 的 结 论。在 初 中，学 生 已 经 学 习 了 相 关 边 角 关 系 的 定 性 的 知 识,就 是“在 任 意 三 角 形 中 有 大 边 对 大 角，小 边 对 小 角”，“如 果 已 知 两 个 三 角 形 的 两 条 对 应 边 及 其 所 夹 的 角 相 等，那 么 这 两 个 三 角 形 全”等。教 科 书 在 引 入 正 弦 定 理 内 容 时，让 学 生 从 已 有 的 几 何 知 识 出 发，提 出 探 究 性 问 题：”在 任 意 三 角 形 中 有 大 边 对 大 角，小 边 对 小 角 的 边

4、角 关 系.我 们 是 否 能 得 到 这 个 边、角 的 关 系 准 确 量 化 的 表 示 呢？，在 引 入 余 弦 定 理 内 容 时，提 出 探 究 性 问 题“如 果 已 知 三 角 形 的 两 条 边 及 其 所 夹 的 角，根 据 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法，这 个 三 角 形 是 大 小、形 状 完 全 确 定 的 三 角 形.我 们 仍 然 从 量 化 的 角 度 来 研 究 这 个 问 题，也 就 是 研 究 如 何 从 已 知 的 两 边 和 它 们 的 夹 角 计 算 出 三 角 形 的 另 一 边 和 两 个 角 的 问 题 设 置 这 些 问 题，都 是

5、 为 了 加 强 数 学 思 想 方 法 的 教 学。2.注 意 加 强 前 后 知 识 的 联 系 加 强 与 前 后 各 章 教 学 内 容 的 联 系，注 意 复 习 和 应 用 已 学 内 容，并 为 后 续 章 节 教 学 内 容 做 好 准 备，能 使 整 套 教 科 书 成 为 一 个 有 机 整 体，提 高 教 学 效 益，并 有 利 于 学 生 对 于 数 学 知 识 的 学 习 和 巩 固。本 章 内 容 处 理 三 角 形 中 的 边 角 关 系，与 初 中 学 习 的 三 角 形 的 边 与 角 的 基 本 关 系，已 知 三 角 形 的 边 和 角 相 等 判 定 三

6、 角 形 全 等 的 知 识 有 着 密 切 联 系。教 科 书 在 引 入 正 弦 定 理 内 容 时，让 学 生 从 已 有 的 几 何 知 识 出 发，提 出 探 究 性 问 题“在 任 意 三 角 形 中 有 大 边 对 大 角，小 边 对 小 角 的 边 角 关 系.我 们 是 否 能 得 到 这 个 边、角 的 关 系 准 确 量 化 的 表 示 呢？，在 引 入 余 弦 定 理 内 容 时，提 出 探 究 性 问 题“如 果 已 知 三 角 形 的 两 条 边 及 其 所 夹 的 角，根 据 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法,这 个 三 角 形 是 大 小、形 状 完 全

7、确 定 的 三 角 形.我 们 仍 然 从 量 化 的 角 度 来 研 究 这 个 问 题，也 就 是 研 究 如 何 从 已 知 的 两 边 和 它 们 的 夹 角 计 算 出 三 角 形 的 另 一 边 和 两 个 角 的 问 题。”这 样，从 联 系 的 观 点，从 新 的 角 度 看 过 去 的 问 题，使 学 生 对 于 过 去 的 知 识 有 了 新 的 认 识，同 时 使 新 知 识 建 立 在 已 有 知 识 的 坚 实 基 础 上，形 成 良 好 的 知 识 结 构。课 程 标 准 和 教 科 书 把“解 三 角 形”这 部 分 内 容 安 排 在 数 学 五 的 第 一 部

8、 分 内 容，位 置相 对 靠 后，在 此 内 容 之 前 学 生 已 经 学 习 了 三 角 函 数、平 面 向 量、直 线 和 圆 的 方 程 等 与 本 章 知 识 联 系 密 切 的 内 容，这 使 这 部 分 内 容 的 处 理 有 了 比 较 多 的 工 具，某 些 内 容 可 以 处 理 得 更 加 简 洁。比 如 对 于 余 弦 定 理 的 证 明，常 用 的 方 法 是 借 助 于 三 角 的 方 法，需 要 对 于 三 角 形 进 行 讨 论，方 法 不 够 简 洁，教 科 书 则 用 了 向 量 的 方 法，发 挥 了 向 量 方 法 在 解 决 问 题 中 的 威 力。

9、在 证 明 了 余 弦 定 理 及 其 推 论 以 后，教 科 书 从 余 弦 定 理 与 勾 股 定 理 的 比 较 中，提 出 了 一 个 思 考 问 题 勾 股 定 理 指 出 了 直 角 三 角 形 中 三 边 平 方 之 间 的 关 系，余 弦 定 理 则 指 出 了 一 般 三 角 形 中 三 边 平 方 之 间 的 关 系，如 何 看 这 两 个 定 理 之 间 的 关 系？，并 进 而 指 出，“从 余 弦 定 理 以 及 余 弦 函 数 的 性 质 可 知，如 果 一 个 三 角 形 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方，那 么 第 三 边 所 对 的 角

10、是 直 角；如 果 小 于 第 三 边 的 平 方，那 么 第 三 边 所 对 的 角 是 钝 角；如 果 大 于 第 三 边 的 平 方，那 么 第 三 边 所 对 的 角 是 锐 角.从 上 可 知，余 弦 定 理 是 勾 股 定 理 的 推 广.”3.重 视 加 强 意 识 和 数 学 实 践 能 力 学 数 学 的 最 终 目 的 是 应 用 数 学，而 如 今 比 较 突 出 的 两 个 问 题 是，学 生 应 用 数 学 的 意 识 不 强，创 造 能 力 较 弱。学 生 往 往 不 能 把 实 际 问 题 抽 象 成 数 学 问 题，不 能 把 所 学 的 数 学 知 识 应 用

11、 到 实 际 问 题 中 去，对 所 学 数 学 知 识 的 实 际 背 景 了 解 不 多，虽 然 学 生 机 械 地 模 仿 一 些 常 见 数 学 问 题 解 法 的 能 力 较 强，但 当 面 临 一 种 新 的 问 题 时 却 办 法 不 多，对 于 诸 如 观 察、分 析、归 纳、类 比、抽 象、概 括、猜 想 等 发 现 问 题、解 决 问 题 的 科 学 思 维 方 法 了 解 不 够。针 对 这 些 实 际 情 况，本 章 重 视 从 实 际 问 题 出 发，引 入 数 学 课 题，最 后 把 数 学 知 识 应 用 于 实 际 问 题。（三）教 学 内 容 及 课 时 安

12、排 建 议 1.1正 弦 定 理 和 余 弦 定 理（约 3课 时）1.2 应 用 举 例（约 4课 时）1.3 实 习 作 业（约 1课 时）（四）评 价 建 议 1.要 在 本 章 的 教 学 中，应 该 根 据 教 学 实 际，启 发 学 生 不 断 提 出 问 题，研 究 问 题。在 对 于 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 证 明 的 探 究 过 程 中，应 该 因 势 利 导，根 据 具 体 教 学 过 程 中 学 生 思 考 问 题 的 方 向 来 启 发 学 生 得 到 自 己 对 于 定 理 的 证 明。如 对 于 正 弦 定 理，可 以 启 发 得 到 有 应 用 向

13、 量 方 法 的 证 明，对 于 余 弦 定 理 则 可 以 启 发 得 到 三 角 方 法 和 解 析 的 方 法。在 应 用 两 个 定 理 解 决 有 关 的 解 三 角 形 和 测 量 问 题 的 过 程 中，个 问 题 也 常 常 有 多 种 不 同 的 解 决 方 案，应 该 鼓 励 学 生 提 出 自 己 的 解 决 办 法，并 对 于 不 同 的 方 法 进 行 必 要 的 分 析 和 比 较。对 于 一 些 常 见 的 测 量 问 题 甚 至 可 以 鼓 励 学 生 设 计 应 用 的 程 序，得 到 在 实 际 中 可 以 直 接 应 用 的 算 法。2.适 当 安 排 一

14、 些 实 习 作 业，目 的 是 让 学 生 进 一 步 巩 固 所 学 的 知 识，提 高 学 生 分 析 问 题 的 解 决 实 际 问 题 的 能 力、动 手 操 作 的 能 力 以 及 用 数 学 语 言 表 达 实 习 过 程 和 实 习 结 果 能 力，增 强 学 生 应 用 数 学 的 意 识 和 数 学 实 践 能 力。教 师 要 注 意 对 于 学 生 实 习 作 业 的 指 导，包 括 对 于 实 际 测 量 问 题 的 选 择，及 时 纠 正 实 际 操 作 中 的 错 误，解 决 测 量 中 出 现 的 一 些 问 题。课 题：1.1.1正 弦 定 理 授 课 类 型：

15、新 授 课 教 学 目 标 知 识 与 技 能:通 过 对 任 意 三 角 形 边 长 和 角 度 关 系 的 探 索，掌 握 正 弦 定 理 的 内 容 及 其 证 明 方 法;会 运 用 正 弦 定 理 与 三 角 形 内 角 和 定 理 解 斜 三 角 形 的 两 类 基 本 问 题。过 程 与 方 法：让 学 生 从 已 有 的 几 何 知 识 出 发,共 同 探 究 在 任 意 三 角 形 中，边 与 其 对 角 的 关 系，引 导 学 生 通 过 观 察，推 导，比 较，由 特 殊 到 般 归 纳 出 正 弦 定 理，并 进 行 定 理 基 本 应 用 的 实 践 操 作。情 感

16、态 度 与 价 值 观：培 养 学 生 在 方 程 思 想 指 导 下 处 理 解 三 角 形 问 题 的 运 算 能 力；培 养 学 生 合 情 推 理 探 索 数 学 规 律 的 数 学 思 思 想 能 力，通 过 三 角 形 函 数、正 弦 定 理、向 量 的 数 量 积 等 知 识 间 的 联 系 来 体 现 事 物 之 间 的 普 遍 联 系 与 辩 证 统 一。教 学 重 点 正 弦 定 理 的 探 索 和 证 明 及 其 基 本 应 用。教 学 难 点 已 知 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形 时 判 断 解 的 个 数。教 学 过 程 I.课 题 导 入

17、如 图 1.1 T,固 定 AABC的 边 CB及 N B,使 边 AC绕 着 顶 点 C转 动。/A思 考：N C的 大 小 与 它 的 对 边 AB的 长 度 之 间 有 怎 样 的 数 量 关 系？/显 然，边 AB的 长 度 随 着 其 对 角/C 的 大 小 的 增 大 而 增 大。能 否 才/用 一 个 等 式 把 这 种 关 系 精 确 地 表 示 出 来？C a-X BII.讲 授 新 课 探 索 研 究（图 L 1 T）在 初 中，我 们 已 学 过 如 何 解 直 角 三 角 形，下 面 就 首 先 来 探 讨 直 角 三 角 形 中，角 与 边 的 等 式 关 系。如 图

18、 1.2,在 RtAABC中，设 BC=a,AC=b,A B=c,根 据 锐 角 三 角 函 数 中 正 弦 函 数 的 定 义，有=s in 4,2=s in 6c cA则 _=_ L _=工 _=c s in J sin/?sin C（图 1.1-2）从 而 在 直 角 三 角 形 ABC中,a _ b _ cs i n/s i n 6 sin C思 考：那 么 对 于 任 意 的 三 角 形，以 上 关 系 式 是 否 仍 然 成 立?（由 学 生 讨 论、分 析）可 分 为 锐 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 两 种 情 况：如 图 1.1-3,当 AABC是 锐 角 三 角

19、形 时，设 边 AB上 的 高 是 CD,根 据 任 意 角 三 角 函 数 的 定 义 C D=a SinZ,SinAWU-=-同 理 可 得 去 sinB从 而 sin力 bsinBb(图 1.1-3)思 考：是 否 可 以 用 其 它 方 法 证 明 这 一 等 式？由 于 涉 及 边 长 问 题，从 而 可 以 考 虑 用 向 量 来 研 究 这 个 问 题。Ul L U I（证 法 二）：过 点 A 作 J L/C,ULI l&JU UU由 向 量 的 加 法 可 得 AB=AC+CBs out m LUU uu则 j-AB=jAC+CB）U 1X1 U ULIU UI UU:j A

20、B=J-AC+j,CB.1.UUUl./|1|LIUU|.|jpB|cos（90A）=0+|j|CB|cos（90-C）csin A=sinC,即.二 sin A smci uuu h r同 理，过 点 C 作 R B C,可 得 号=4sin/sinB sinC类 似 可 推 出，当 ABC是 钝 角 三 角 形 时，以 上 关 系 式 仍 然 成 立。(由 学 生 课 后 自 己 推 导)从 上 面 的 研 探 过 程，可 得 以 下 定 理 正 弦 定 理：在 一 个 三 角 形 中，各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 相 等，即 a _ b _ csin 力 sin 4 s

21、in。理 解 定 理(1)正 弦 定 理 说 明 同 一 三 角 形 中，边 与 其 对 角 的 正 弦 成 正 比，且 比 例 系 数 为 同 一 正 数，即 存 在 正 数 k 使 a=Asinl,b=ksinB,c=ksinC；(2)=一=，一 等 价 于 一=一，=，_=_ _sin/sinB sinC sin/sinB sinC sin6 sin J sinC从 而 知 正 弦 定 理 的 基 本 作 用 为：已 知 三 角 形 的 任 意 两 角 及 其 一 边 可 以 求 其 他 边，如=丝 呼；sinB 已 知 三 角 形 的 任 意 两 边 与 其 中 一 边 的 对 角 可

22、 以 求 其 他 角 的 正 弦 值，如 sin/=：sin6。b一 般 地，已 知 三 角 形 的 某 些 边 和 角，求 其 他 的 边 和 角 的 过 程 叫 作 解 三 角 形。例 题 分 析 例 1.在 A A B C 中,已 知 A=32.0,8=81.80,a=42.9c m,解 三 角 形。解：根 据 三 角 形 内 角 和 定 理，C=180-(A+S)=18Oo-(32.Oo+81.8o)=66.2；根 据 正 弦 定 理，,asmBb=sin A42,9sin81.8()sin32.0=80.1(。)；根 据 正 弦 定 理,sinC一 sinA 42.9sin66.2s

23、in32.0S S 74.1(C/M).评 述：对 于 解 三 角 形 中 的 复 杂 运 算 可 使 用 计 算 器。例 2.在 A 4 B C 中，已 知 a=20cm,=28cm,4=40,解 三 角 形(角 度 精 确 到 1,边 长 精 确 到 lcm)o解：根 据 正 弦 定 理，.八 hsmAsin 8=-a28sin40-20W0.8999.因 为 0 8 0)或 a=Asin/,b=ksinB,c=ksirC(A0)(2)正 弦 定 理 的 应 用 范 围：已 知 两 角 和 任 一 边，求 其 它 两 边 及 一 角；已 知 两 边 和 其 中 一 边 对 角，求 另 一

24、边 的 对 角。V.课 后 作 业 第 10页 习 题 1.1 A 组 第 1(1)、2(1)题。板 书 设 计 授 后 记 课 题：1.1.2 余 弦 定 理 授 课 类 型：新 授 课 教 学 目 标 知 识 与 技 能：掌 握 余 弦 定 理 的 两 种 表 示 形 式 及 证 明 余 弦 定 理 的 向 量 方 法，并 会 运 用 余 弦 定 理 解 决 两 类 基 本 的 解 三 角 形 问 题。过 程 与 方 法：利 用 向 量 的 数 量 积 推 出 余 弦 定 理 及 其 推 论，并 通 过 实 践 演 算 掌 握 运 用 余 弦 定 理 解 决 两 类 基 本 的 解 三 角

25、 形 问 题 情 感 态 度 与 价 值 观：培 养 学 生 在 方 程 思 想 指 导 下 处 理 解 三 角 形 问 题 的 运 算 能 力；通 过 三 角 函 数、余 弦 定 理、向 量 的 数 量 积 等 知 识 间 的 关 系，来 理 解 事 物 之 间 的 普 遍 联 系 与 辩 证 统 教 学 重 点 余 弦 定 理 的 发 现 和 证 明 过 程 及 其 基 本 应 用；教 学 难 点 勾 股 定 理 在 余 弦 定 理 的 发 现 和 证 明 过 程 中 的 作 用。教 学 过 程 I.课 题 导 入 如 图 1.1-4,在 如 C 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,已

26、知 a,b 和/C,求 边 c（图 1.1-4)n.讲 授 新 课 探 索 研 究 联 系 已 经 学 过 的 知 识 和 方 法，可 用 什 么 途 径 来 解 决 这 个 问 题？用 正 弦 定 理 试 求，发 现 因 A、B均 未 知，所 以 较 难 求 边 c。由 于 涉 及 边 长 问 题，从 而 可 以 考 虑 用 向 量 来 研 究 这 个 问 题。UU LU U U如 图 1.1-5,设 XB=a,C A=b,AB=c,=a-a+b-b-2 a-b菊+#一 2二 那 么 c=a从 而 c2=a2+b2-2abcosC(图 1.1-5)同 理 可 证 a2=b2+c2-2bc c

27、os Ab2=a2+c2-2accos B于 是 得 到 以 下 定 理 余 弦 定 理:三 角 形 中 任 何 一 边 的 平 方 等 于 其 他 两 边 的 平 方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们 的 夹 角 的 余 弦 的 枳 的 两 倍。即 a2=b2+c2-2bccosA=a2+C2-2accosBc2=/+b2-2abcosC思 考：这 个 式 子 中 有 几 个 量？从 方 程 的 角 度 看 已 知 其 中 三 个 量，可 以 求 出 第 四 个 量，能 否 由 三 边 求 出 一 角？（由 学 生 推 出）从 余 弦 定 理，又 可 得 到 以 下 推 论：cosA=

28、r2 o 2b-+c-a-cosB=cosC=2bca2+c2-b22aci 2 2 2b+a-c 而 理 解 定 理 从 而 知 余 弦 定 理 及 其 推 论 的 基 本 作 用 为：已 知 三 角 形 的 任 意 两 边 及 它 们 的 夹 角 就 可 以 求 出 第 三 边；已 知 三 角 形 的 三 条 边 就 可 以 求 出 其 它 角。思 考：勾 股 定 理 指 出 了 直 角 三 角 形 中 三 边 平 方 之 间 的 关 系，余 弦 定 理 则 指 出 了 般 三 角 形 中 三 边 平 方 之 间 的 关 系，如 何 看 这 两 个 定 理 之 间 的 关 系？（由 学 生

29、 总 结）若 A ABC中，C=90,则 cosC=0,这 时。2=正+从 由 此 可 知 余 弦 定 理 是 勾 股 定 理 的 推 广，勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 的 特 例。例 题 分 析 例 1.在 A ABC中，已 知+近,8=60,求 b 及 A 解：V b2=a2+c2-2accosB=(2V3)2+(V6+V2)2-2-2V3-(V6+V2)cos 450=12+(V6+V2)2-4V3(V3+1)=8求 A 可 以 利 用 余 弦 定 理，也 可 以 利 用 正 弦 定 理:解 法 一:fe2+c2-a2_(2V2)2+(V6+V2)2-(273)2_1cm 2bc=

30、1 2x2V2x(V6+V2)=亍 A=60.解 法 二:Vsin A=SsinB=gsin45。b 2V2又；6+夜 24+1.4=3.8,2 6 2xl.8=3.6,a c,即 0A4=h2+c2-a2-2bc-=87.82+161.72-134.62=2x87.8x161.7。0.5543,4=562(X；cos B 二。2+。2/2ca=134.62+161.72-87.82=2x134.6x161.7“0.8398,B=3253；C=180-(A+8)。180-(5620+3253)m.课 堂 练 习 第 8 页 练 习 第 1(1)、2(1)题。补 充 练 习 在 A A B C

31、中，若/=/+，2+儿,求 角 A(答 案:A=120)IV.课 时 小 结(1)余 弦 定 理 是 任 何 三 角 形 边 角 之 间 存 在 的 共 同 规 律，勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 的 特 例；(2)余 弦 定 理 的 应 用 范 围：.已 知 三 边 求 三 角；.已 知 两 边 及 它 们 的 夹 角，求 第 三 边。V.课 后 作 业 课 后 阅 读：课 本 第 9 页 探 究 与 发 现 课 时 作 业：第 11页 习 题 1.1 A 组 第 3(1),4(1)题。板 书 设 计 授 后 记课 题：1.1.3解 三 角 形 的 进 一 步 讨 论 授 课 类 型：新

32、 授 课 教 学 目 标 知 识 与 技 能：掌 握 在 己 知 三 角 形 的 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形 时，有 两 解 或 一 解 或 无 解 等 情 形；三 角 形 各 种 类 型 的 判 定 方 法；三 角 形 面 积 定 理 的 应 用。过 程 与 方 法：通 过 引 导 学 生 分 析，解 答 三 个 典 型 例 子，使 学 生 学 会 综 合 运 用 正、余 弦 定 理,三 角 函 数 公 式 及 三 角 形 有 关 性 质 求 解 三 角 形 问 题。情 感 态 度 与 价 值 观：通 过 正、余 弦 定 理，在 解 三 角 形 问 题 时 沟 通

33、 了 三 角 形 的 有 关 性 质 和 三 角 函 数 的 关 系，反 映 了 事 物 之 间 的 必 然 联 系 及 定 条 件 下 相 互 转 化 的 可 能，从 而 从 本 质 上 反 映 了 事 物 之 间 的 内 在 联 系。教 学 重 点 在 已 知 三 角 形 的 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形 时.，有 两 解 或 一 解 或 无 解 等 情 形；三 角 形 各 种 类 型 的 判 定 方 法；三 角 形 面 积 定 理 的 应 用。教 学 难 点 正、余 弦 定 理 与 三 角 形 的 有 关 性 质 的 综 合 运 用。教 学 过 程 I.课 题

34、导 入 创 设 情 景 思 考：在 ABC中，已 知 a=22。加，6=25须，4=133,解 三 角 形。（由 学 生 阅 读 课 本 第 9 页 解 答 过 程）从 此 题 的 分 析 我 们 发 现，在 已 知 三 角 形 的 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形 时，在 某 些 条 件 下 会 出 现 无 解 的 情 形。F面 进 一 步 来 研 究 这 种 情 形 下 解 三 角 形 的 问 题。II.讲 授 新 课 探 索 研 究 例 1.在 AABC中，已 知 a,6M，讨 论 三 角 形 解 的 情 况 分 析：先 由 sin6=i”可 进 一 步 求 出 B

35、；a则。=1800-(1+6)h asinC从 而 c=-A1.当 A 为 钝 角 或 直 角 时，必 须 a 6 才 能 有 且 只 有 一 解；否 则 无 解。2.当 A 为 锐 角 时，如 果 那 么 只 有 一 解；如 果 a 6sin/,则 有 两 解；(2)若 a=6sin力，则 只 有 一 解；(3)若 a6sin/,则 无 解。(以 上 解 答 过 程 详 见 课 本 第 9:10页)评 述：注 意 在 已 知 三 角 形 的 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 解 三 角 形 时，只 有 当 A 为 锐 角 且 6sin/a6时，有 两 解；其 它 情 况 时 则 只 有

36、 一 解 或 无 解。随 堂 练 习 1(1)在 AABC中，已 知 a=80,6=100,4=45,试 判 断 此 三 角 形 的 解 的 情 况。(2)在 AABC中，若 a=l,c=1,NC=40,则 符 合 题 意 的 b 的 值 有 个。(3)在 AABC中，a=xcm,b=2cm,N6=450,如 果 利 用 正 弦 定 理 解 三 角 形 有 两 解，求 x 的 取 值 范 围。(答 案：(1)有 两 解；(2)0；(3)2x b2+c2 力 是 钝 角 AABC是 钝 角 三 角 形 a252+32,BPa2b2+c2,：.AABC是 钝 角 三 角 形。随 堂 练 习 2(1

37、)在 AABC 中，已 知 sin/:sin6:sinC=l:2:3,判 断 AABC 的 类 型。(2)已 知 ABC满 足 条 件 acos力=Z;cos8,判 断 A ABC的 类 型。(答 案：(1)AABC是 钝 角 三 角 形；(2)A ABC是 等 腰 或 直 角 三 角 形)例 3.在 AABC中,A=60,Z?=1,面 积 为 求 乙 _a+8+c_sin/+sin8+sin。的 值 分 析：可,利 用 三 角 形 面 积 定 理 S=Ta6sinC=Bacsin5=gAsin4以 及 正 弦 定 理 a _ b _ c _ a+b+csin J sin 方 sinC sin

38、 J+sin+sinC1解：由 S=：Z;csin】=U 得。=2,C t 乙则 3?=b2+c2-2Z?ccos/4=3,即 a=囱，11-7-a+6+c Q 门 从 而;-：-：-=2sinH+sin5+sinc sin/lm.课 堂 练 习(1)在 AABC中，若 a=55,6=1 6,且 此 三 角 形 的 面 积 S=220囱，求 角 C(2)在 AABC中，其 三 边 分 别 为 a、b、c,且 三 角 形 的 面 积 S=十，求 角 C4(答 案:(1)60或 120；(2)45)IV.课 时 小 结(1)在 已 知 三 角 形 的 两 边 及 其 中 一 边 的 对 角 解 三

39、 角 形 时，有 两 解 或 一 解 或 无 解 等 情 形;(2)三 角 形 各 种 类 型 的 判 定 方 法；(3)三 角 形 面 积 定 理 的 应 用。V.课 后 作 业(1)在 AABC中，已 知 力=4,c=10,6=30,试 判 断 此 三 角 形 的 解 的 情 况。(2)设 x、x+1、x+2是 钝 角 三 角 形 的 三 边 长，求 实 数 x 的 取 值 范 围。(3)在 AABC 中，力=60,a=l,b+c=2,判 断 AABC 的 形 状。(4)三 角 形 的 两 边 分 别 为 3cm,5cm,它 们 所 夹 的 角 的 余 弦 为 方 程 5/_7x-6=0

40、的 根，求 这 个 三 角 形 的 面 积。板 书 设 计 授 后 记课 题：2.2 解 三 角 形 应 用 举 例 第 一 课 时 授 课 类 型：新 授 课 教 学 目 标 知 识 与 技 能:能 够 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 等 知 识 和 方 法 解 决 一 些 有 关 测 量 距 离 的 实 际 问 题，了 解 常 用 的 测 量 相 关 术 语 过 程 与 方 法：首 先 通 过 巧 妙 的 设 疑，顺 利 地 引 导 新 课，为 以 后 的 几 节 课 做 良 好 铺 垫。其 次 结 合 学 生 的 实 际 情 况，采 用“提 出 问 题 引 发 思 考 探 索 猜

41、 想 总 结 规 律 反 馈 训 练”的 教 学 过 程，根 据 大 纲 要 求 以 及 教 学 内 容 之 间 的 内 在 关 系，铺 开 例 题，设 计 变 式，同 时 通 过 多 媒 体、图 形 观 察 等 直 观 演 示，帮 助 学 生 掌 握 解 法，能 够 类 比 解 决 实 际 问 题。对 于 例 2这 样 的 开 放 性 题 目 要 鼓 励 学 生 讨 论，开 放 多 种 思 路，引 导 学 生 发 现 问 题 并 进 行 适 当 的 指 点 和 矫 正 情 感 态 度 与 价 值 观：激 发 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣，并 体 会 数 学 的 应 用 价 值；同 时

42、培 养 学 生 运 用 图 形、数 学 符 号 表 达 题 意 和 应 用 转 化 思 想 解 决 数 学 问 题 的 能 力 教 学 重 点 实 际 问 题 中 抽 象 出 一 个 或 几 个 三 角 形，然 后 逐 个 解 决 三 角 形，得 到 实 际 问 题 的 解 教 学 难 点 根 据 题 意 建 立 数 学 模 型，画 出 示 意 图 教 学 过 程 I.课 题 导 入 1、复 习 旧 知 复 习 提 问 什 么 是 正 弦 定 理、余 弦 定 理 以 及 它 们 可 以 解 决 哪 些 类 型 的 三 角 形？2、设 置 情 境 请 学 生 回 答 完 后 再 提 问：前 面

43、引 言 第 一 章“解 三 角 形”中，我 们 遇 到 这 么 一 个 问 题，“遥 不 可 及 的 月 亮 离 我 们 地 球 究 竟 有 多 远 呢？”在 古 代，天 文 学 家 没 有 先 进 的 仪 器 就 已 经 估 算 出 了 两 者 的 距 离，是 什 么 神 奇 的 方 法 探 索 到 这 个 奥 秘 的 呢？我 们 知 道，对 于 未 知 的 距 离、高 度 等，存 在 着 许 多 可 供 选 择 的 测 量 方 案，比 如 可 以 应 用 全 等 三 角 形、相 似 三 角 形 的 方 法，或 借 助 解 直 角 三 角 形 等 等 不 同 的 方 法，但 由 于 在 实

44、际 测 量 问 题 的 真 实 背 景 下，某 些 方 法 会 不 能 实施。如 因 为 没 有 足 够 的 空 间，不 能 用 全 等 三 角 形 的 方 法 来 测 量，所 以，有 些 方 法 会 有 局 限 性。于 是 上 面 介 绍 的 问 题 是 用 以 前 的 方 法 所 不 能 解 决 的。今 天 我 们 开 始 学 习 正 弦 定 理、余 弦 定 理 在 科 学 实 践 中 的 重 要 应 用，首 先 研 究 如 何 测 量 距 离。n.讲 授 新 课(1)解 决 实 际 测 量 问 题 的 过 程 一 般 要 充 分 认 真 理 解 题 意，正 确 做 出 图 形，把 实 际

45、 问 题 里 的 条 件 和 所 求 转 换 成 三 角 形 中 的 已 知 和 未 知 的 边、角，通 过 建 立 数 学 模 型 来 求 解 例 题 讲 解(2)例 1、如 图，设 A、B 两 点 在 河 的 两 岸，要 测 量 两 点 之 间 的 距 离，测 量 者 在 A 的 同 侧，在 所 在 的 河 岸 边 选 定 一 点 C,测 出 AC的 距 离 是 55m,ZBAC=51,NACB=75。求 A、B两 点 的 距 离(精 确 到 0.Im)B图 1.2-1启 发 提 问 1：AABC中，根 据 已 知 的 边 和 对 应 角，运 用 哪 个 定 理 比 较 适 当？启 发 提

46、 问 2：运 用 该 定 理 解 题 还 需 要 那 些 边 和 角 呢？请 学 生 回 答。分 析：这 是 道 关 于 测 量 从 一 个 可 到 达 的 点 到 一 个 不 可 到 达 的 点 之 间 的 距 离 的 问 题，题 目 条 件 告 诉 了 边 AB的 对 角，AC为 已 知 边，再 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 很 容 易 根 据 两 个 已 知 角 算 出 AC的 对 角，应 用 正 弦 定 理 算 出 AB边。解：根 据 正 弦 定 理，得 A 8=ACsin ZACB sinZABCAB=ACsinZACBsinZABC=55sinZ4c8sinZABC=

47、55sin750sinfl8(P-51o-75)=55sin750sin54心 65.7(m)答:A、B 两 点 间 的 距 离 为 65.7 米 变 式 练 习：两 灯 塔 A、B 与 海 洋 观 察 站 C 的 距 离 都 等 于 a km,灯 塔 A 在 观 察 站 C 的 北 偏 东 30灯 塔 B 在 观 察 站 C 南 偏 东 60,则 A、B 之 间 的 距 离 为 多 少？老 师 指 导 学 生 画 图，建 立 数 学 模 型。解 略：V2a km例 2、如 图，A、B 两 点 都 在 河 的 对 岸(不 可 到 达)，设 计 一 种 测 量 A、B 两 点 间 距 离 的 方

48、 法。分 析：这 是 例 1 的 变 式 题，研 究 的 是 两 个 不 可 到 达 的 点 之 间 的 距 离 测 量 问 题。首 先 需 要 构 造 三 角 形，所 以 需 要 确 定 C、D 两 点。根 据 正 弦 定 理 中 已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 内 角 与 一 边 既 可 求 出 另 两 边 的 方 法，分 别 求 出 AC和 B C,再 利 用 余 弦 定 理 可 以 计 算 出 AB的 距 离。图 1.2-2解：测 量 者 可 以 在 河 岸 边 选 定 两 点 c、D,测 得 CD=a,并 且 在 C、D 两 点 分 别 测 得 NBCA=a,Z ACD=p,

49、ZCDB=z,ZBDA=6,在 AADC和 A B D C中，应 用 正 弦 定 理 得 AC=sin(/+力=sin(7+sin18(P-(/?+?+sin(+/+(y)BC=asiny asinysin180P-(a+/?+/)sin(a+/7+/)计 算 出 AC和 BC后，再 在 A A B C中，应 用 余 弦 定 理 计 算 出 AB两 点 间 的 距 离 AB=VAC 2+B C2-2AC X BC cos a分 组 讨 论：还 没 有 其 它 的 方 法 呢？师 生 一 起 对 不 同 方 法 进 行 对 比、分 析。变 式 训 练:若 在 河 岸 选 取 相 距 40米 的

50、C、D 两 点,测 得 NBCA=60,Z ACD=30,Z CDB=45,ZBDA=60略 解：将 题 中 各 已 知 量 代 入 例 2 推 出 的 公 式，得 AB=20后 评 注：可 见，在 研 究 三 角 形 时，灵 活 根 据 两 个 定 理 可 以 寻 找 到 多 种 解 决 问 题 的 方 案，但 有 些 过 程 较 繁 复，如 何 找 到 最 优 的 方 法，最 主 要 的 还 是 分 析 两 个 定 理 的 特 点，结 合 题 目 条 件 来 选 择 最 佳 的 计 算 方 式。学 生 阅 读 课 本 4 页，了 解 测 量 中 基 线 的 概 念，并 找 到 生 活 中