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1、 超级狩猎者 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分把答案填在题中横线上）（1）设函数0,e,0,2arcsine1)(2tanxaxxxfxx在0 x处连续，则a_【答案】2【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(xf在0 xx 处连续，则有;)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 解析：tan0001tanlim()limlim2arcsin22xxxxexf xxx=200lim()lim,(0),xxxf xaea fa ()f x在0 x
2、 处连续(0)(0)(0),fff即2.a （2）位于曲线xxey,x0下方，x轴上方的无界图形的面积是_【答案】1【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】解析：所求面积为1)(00000 xxxxxedxexeexddxxeS 其中，01limlimlimxxxxxxeexxe洛必达.（3）微分方程02 yyy满足初始条件10 xy，21|0 xy的特解是_【答案】1yx 超级狩猎者【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x，则令dydppypy,.解析：方法 1：将20yyy 改写为()0yy ，从而得1yyC.以初始
3、条件1(0)1,(0)2yy代入，有1112C，所以得12yy.即21yy，改写为2()1y.解得2,yxC 2yxC.再以初值代入，21C 所以应取 且21C.于是特解1yx.方法 2：这是属于缺x的类型(,)yf y y.命,dpdp dydpyp ypdxdy dxdy.原方程20yyy 化为20dpyppdy，得0p 或0dpypdy 0p 即0dydx，不满足初始条件102yx，弃之，由0dpypdy 按分离变量法解之，得1.Cy由初始条件11,002yyxx可将1C先定出来：1111,212CC.于是得12dydxy,解之，得222,yxCyxC .以01xy代入，得21C，所以应
4、取“+”号且21C.于是特解是1yx.（4）nnnn2cos1cos11limcos1nn_ 【答案】2 2【考点】定积分的概念【难易度】【详解】解析：记 121cos1cos.1cosnnunnnn 111 cos,niinn 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 所以 1011limlim1 cos1 cosnn
5、nniiuxdxnn 11120002cos2cos2cos222xxxdxdxdx 122 22sin02x.（5）矩阵222222220的非零特征值是_ 【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】【详解】解析：22222220222222EA 200011(4)222 故4是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0(二重)）二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数)(uf可导，)(2xfy 当自变量x在1x处取得增量1.0 x时，相应的函数增量y的线性主部为1.0，则)1(f（）
6、（A）1（B）0.1（C）1（D）0.5【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：dy为y的线性主部；)()()(xgxgfxgf；解析：在可导条件下，0()x xdyyxoxdx .数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 当00 x xdydx时0 x xdyxdx称为
7、y的线性主部，现在2()2dyxfxx xdx，以1,0.1xx 代入得(1)0.2dyxfdx，由题设它等于 0.1，于是(1)0.5f ，应选（D）.（2）设函数)(xf连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A）.d)(20ttfx （B）.d)(20ttfx（C）.d)()(0ttftftx （D）.d)()(0ttftftx【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：()()t f tft 为t的奇函数，0()()xt f tft dt为x的偶函数，（D）正确，（A）、（C）是x的奇函数，（B）可能非奇非偶.例如()1f tt，均不选.（3）设)(xy
8、y 是二阶常系数微分方程xqypyy3e满足初始条件)0(y 0)0(y的特解，则当0 x时，函数)()1ln(2xyx的极限（）（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 3【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法 1：220000ln(1)222limlimlimlim2()()()()1xxxxxxxy xy xy xyx 洛洛 方法 2：由(0)(0)0,(0)1yyy.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有 22()00()2xy xo x ，代入，有222000222ln(1)1limlimlim211()()()22xxxxxo xy xxo
9、xx=.（4）设函数)(xfy 在),0(内有界且可导，则（）（A）当0)(limxfx时，必有.0)(limxfx 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者（B）当)(limxfx存在时，必有.0)(limxfx（C）当0)(lim0 xfx时，必有.0)(lim0 xfx（D）当)(lim0 xfx存在时，必有.0)
10、(lim0 xfx【答案】B【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：方法 1：排斥法（A）的反例21()sin,f xxx它有界，221()sin2cos,lim()0 xfxxxf xx ，但lim()xfx不存在.(C)与(D)的反例同（A）的反例.0lim()0 xf x,但0lim()10 xfx ，（C）不成立；0lim()10 xfx ，（D）也不成立.（A）、（C）、（D）都不对，故选（B）方法 2：证明（B）正确.设lim()xfx存在，记为A，求证0A.用反证法，设0A.若0A，则由保号性知，存在00 x，当0 xx时()2Afx,在区间0,xx上对()f x用拉格朗日中值
11、定理知,有00000()()()()()(),.2Af xf xfxxf xxxxx ,x，从而有()f x ，与()f x有界矛盾.类似可证若0A亦矛盾.（5）设向量组321,线性无关，向量1可由321,线性表示，而向量2不能由321,线性表示，则对于任意常数k，必有（）（A）321,21,k线性无关（B）321,21,k线性相关（C）321,21,k线性无关（D）321,21,k线性相关【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】【详解】解析：方法 1：对任意常数k，向量组123,，12k 线性无关.用反证法，若123,，12k 线性相关，因已知123,线性无关，故 12k 可由123,线性
12、表出.数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 设12112233k ,因已知1可由123,线性表出，设为1112233lll代入上式，得2111222333()()()lll 这和2 不能由123,线性表出矛盾.故向量组123,，12k 线性无关，应选（A）.方法 2：用排除法 取0k，向量组123,，12k 即123
13、,，2线性相关不成立，排除（B）.取0k，向量组123,，12k，即123,，1线性无关不成立，排除（C）.0k 时，123,，12k线性相关不成立（证法与方法 1 类似，当1k 时，选项（A）、（D）向量组是一样的，但结论不同，其中（A）成立，显然（D）不成立.）排除（D）.三、（本题满分 6 分）已知曲线的极坐标方程是cos1r，求该曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：切线方程：)(000 xxyyy 法线方程：)(1000 xxyyy 解析：极坐标曲线1 cosr 化成直角坐标的参数方程为(1cos)
14、cos(1cos)sinxy 即2coscossincossinxy 曲线上6的点对应的直角坐标为33 13(,)24 24 22666cossincos1.sin2cossindydyddxdxd 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424yx，即353044xy 法线
15、方程为13133()(),24124yx 即31044xy .四、（本题满分 7 分）设,10,)1e(e,01,232)(22xxxxxxfxx求函数ttfxFxd)()(1的表达式 【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：当10 x 时2233213111()(2)().12222xxF xttdtttxx 当01x 时，0110()()()()xxF xf t dtf t dtf t dt 23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln202121txxtttxxttxttxxxtettdttdeextdtxe
16、 dteeeexxxeeee 所以3211,1022()1lnln2,01112xxxxxxF xexxee 当当 五、（本题满分 7 分）已知函数)(xf在),0(内可导，1)(lim,0)(xfxfx，且满足,e)()(lim110 xhhxfhxxf 求)(xf 【考点】导数的概念、一阶线性微分方程 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答
17、案考点定积分的 超级狩猎者【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：e10)1(lim；)()(lim)(0 xfxfxf，其中可以代表任何形式；解析：11()lnh()()()f x hxhf xf xhxef x，001()1()()limlnlimln(1)()()hhf xhxf xhxf xhf xhf x 001()()()()limln()lim()()()()(),0.()hhf xhxf xxf xhxf xhf xf xf xxfxxf x 从而得到 1()1()0()lim()xfxhf xxhf xhxeef x由题设 于是推得 ()1()xfxf xx，即 2()1(
18、)fxf xx 解此微分方程，得 11ln()f xCx 改写成 1()xf xCe 再由条件lim()1xf x，推得1C，于是得1().xf xe 六、（本题满分 7 分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy，使得由曲线)(xyy 与直线2,1 xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：dxxfVbax)(2 解析：一阶线性微分方程21yyx ，由通解公式有 22dxdxxxyeedxC 221xdxCx221(),12xCxCxxx 数在处连续则有解析在处连
19、续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 由曲线2yxCx 与1,2xx及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 2222131157()()523VxCxdxCC,令6215()052dVCdC,得75.124C 又()0V C，故75124C 为V的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124yxx 七、（本题满分 7
20、 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高 h 应为多少m（米）？【考点】定积分的物理应用压力【难易度】【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dAxdy，因此压力微元 2(1)dpgxhy dy 平板ABCD上所受的总压力为 1102(1)hPgxhy dy 其中以1x 代入，计算得 21Pgh.抛物板AOB上所受的总压力为 1202(1),Pgxhy dy 其中由抛物线方程知xy，代入，计算得
21、2124()315Pgh，由题意12:5:4PP，即，251244()315hh 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 解之得2h（米）（13h 舍去），即闸门矩形部分的高应为2m.八、（本题满分 8 分）设),2,1()3(,3011nxxxxnnn，证明数列nx的极限存在，并求此极限 【考点】数列的极限【难易度】
22、【详解】解析：方法 1：考虑（1）19(3)334(3)322(3)2nnnnnnnxxxxxxx 222933()42033(3)(3)22nnnnnnnxxxxxxx 所以132nx（当1,2,n），即32nx（当2,3,n），数列2,3,nx n 有上界32.再考虑（2）21(3)(3)(3)nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx(32)0.(3)nnnnnxxxxx 2,3,n.所以nx单调增加.单调增加数列nx有上界，所以limnnx存在，记为.a(3)由1(3)nnnxxx两边取极限，于是得(3),aaa2230,aa 得32a 或0a，但因0nx 且单调增，故0a，所以3l
23、im2nnx.方法 2：由103x 知1x及13x（）均为正数，故()21111130(3)(3).22xxxxx=设302kx，则 113(3)(3).22kkkkkxxxxx=由数学归纳法知，对任意正整数2n 有302nx.21(3)(32)(3)0.(3)(3)nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx-=所以nx单调增，单调增加数列nx有上界，所以limnnx存在，记为a.数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件
24、代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 再由1(3)nnnxxx两边命n 取极限，得(3)aaa,32a 或0a，但因0nx 且单调增加，故0a，所以32a.九、（本题满分 8 分）设ba 0，证明不等式abababbaa1lnln222【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，方法 1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.lnln1(ln),0.xbaxabba 而 22112abab.其中第二个不等式来自不等式222abab（当0ab 时），这样就证明了要
25、证明的左边.方法 2：用单调性证，将b改写为x并移项，命222()()lnlna xaxxaax，有()0a.22222124()()()aax xaxxaxax 222222()4()0()()xaax xax axax（当0ax），而推知当0 xa 时()0 x，以xb代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b改写为x并移项，命1()lnln(),xxaxaax 有()0a，及2111()()()0,222axaxxaxx xx ax 所以当0 xa 时，()0 x，再以xb代入，便得 1lnln(),babaab即lnln1babaab.右边证毕.十、（本题满分 8 分）设函数)(x
26、f在0 x的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(fff.数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 证明：存在惟一的一组实数321,，使得当0h时，)0()3()2()(321fhfhfhf是比2h高阶的无穷小 【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】【详解】解析：方法 1：由题目，去证存在唯一的一组
27、123,12320()(2)(3)(0)lim0hf hfhfhfLh 由此知，分子极限应为 0，由()f x在0 x 连续，于是推知，应有 1231.（1）由洛必达法则，12320()(2)(3)(0)limhf hfhfhfLh 1230()2(2)3(3)lim2hfhfhfhh （2）分子的极限为1231230lim()2(2)3(3)(23)(0)hfhfhfhf，若不为0，则式（1）应为，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230 （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22hfhfhfhLf 由(0)0f ，故应有 1234
28、90 （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法 2：由佩亚诺余项泰勒公式 2211()(0)(0)(0)(),2f hffhfho h 222(2)(0)2(0)2(0)(),fhffhfhoh 2239(3)(0)3(0)(0)(),2fhffhfho h 代入 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可
29、将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 12320()(2)(3)(0)0limhf hfhfhfh 2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2limhffhfhh 2221 122332()()()o ho ho hh，上面 中第二项极限为 0，所以第一项中应有 1231231231230490 由于系数行列式11112320,149 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分 6 分）已知BA,为3阶矩阵，且满足EBBA421，其中E是3阶单位矩阵（1）证明：矩阵EA 2可逆；（2）若200021
30、021B，求矩阵A 【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若有EAB则称BA,互逆.解析：（1）由题设条件124A BBE 两边左乘A，得 24BABA 即 24ABBA(2)4884(2)8AE BAEEAEE(2)(4)8AE BEE 1(2)(4)8AEBEE 数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考
31、点定积分的 超级狩猎者 得证2AE可逆（且11(2)(4)8AEBE）.(2)方法 1：由（1）结果知 111(2)(4)8(4)8AEBEBE 18(4)2ABEE 1204003204120040120002004002BE 320 100120 0104120 010320 100002 001002 001BE E 010120 01012013080 13001008800110011000022 11044100130100880011002 故 11104413(4)0881002BE 10208(4)2110002ABEE.方法 2：由题设条件 124A BBE 数在处连续则有
32、解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 等式两边左乘A，得 2(4)BA BE 则12(4)AB BE（求1(4)BE过程见方法 1）110441201202201312 12001201308840020020041002 08002014401104008002 .十二、（本题满分 6 分）已知4阶方阵43214321,),(A
33、均为4维列向量，其中432,线性无关，,2321如果4321，求线性方程组Ax的通解 【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】【详解】解析：方法 1：由234,线性无关，及123420,即1234,线性相关，及1234 知 12341234,()3,rr Ar Ar 故Ax有解，且其通解为k，其中k是对应齐次方程0Ax 的通解，是Ax的一个特解,因 123420,故 123412341220,010 故1,2,1,0T 是0Ax 的基础解系.数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本
34、题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的 超级狩猎者 又1234123411,11 故1,1,1,1T是Ax的一个特解，故方程组的通解为1,2,1,01,1,1,1TTk.（其中k是任意常数）方法 2：令1234,Txx x x x则线性非齐次方程为 1 12233441234,xxxxx 已知1234 ，故 1 1223344xxxx1234 将1232代入上式，得 12213344(23)()(1)0 xxxxx 由已知234,线性无关，上式成立当且仅当 1213423010 xxxxx 取自由未知量3xk，则方程组有解 431321,23xxk xxk xk 即方程组Ax有通解 123410232310101xkxkkxkx .（其中k是任意常数）数在处连续则有解析在处连续即位于曲线下方轴上方的无界图形的面积是答案考点定积分的几何应用平面图形的面积难易度详解本题涉及到的主要知识点可降阶的高阶微分方程若缺则令解析方法将改写为从而得以初始条件代入有所以之由按分离变量法解之得由初始条件可将先定出来于是得解之得以代入得所以应取号且于是特解是答案考点定积分的