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1、课 题 定积分及其应用 重 点 定积分的概念与求法 定积分的应用 难 点 微积分基本定理 定积分的应用 一、课前检测 1.计算exxx1d)12(_2e.2.已知0t,若,(22)30txdx,则t _ 解析:332|2)22(2020tttxxdxxtt或1t(舍去),故3t 3.由曲线,2,1xyexy围成的封闭图形的面积为_.23e 4.若 a0 xdx=1，则实数 a 的值是_2；_.522sin xdx_2 6.将和式)21.2111(limnnnn表示为定积分_ 解dxx1011；7.曲线2xy 和曲线xy 围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是_.解13 二、知识梳理 1定
2、积分的概念 一般地，设函数()f x在区间,a b上连续，用分点 0121iinaxxxxxxb-=LL 将区间,a b等分成n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=），在每个小区间1,iixx-上任取一点()1,2,iinx=L，作和式：11()()nnniiiibaSfxfnxx=-=D=邋 如果xD无限接近于0（亦即n?）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()f x在区间,a b上的定积分。记为：()baSfx dx=，其中-积分号，b积分上限，a积分下限，()f x被积函数，x积分变量，,a b积分区间，()fx dx被积式。说明：（1）定积分()baf x
3、 dx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n?时）记为()bafx dx，而不是nS （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixxx-；求和：1()niibafnx=-；取极限：()1()limnbinaibaf x dxfnx=-=（3）曲边图形面积：()baSf x dx=；变速运动路程21()ttSv t dt=；变力做功()baWF r dr=2定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间,a b上函数()f x连续且恒有()0f x，那么定积分()baf x dx表示由直线,(),0 xa xb ab y=?和曲线()yf x=所围成的曲边梯形
4、(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx的几何意义。说明：一般情况下，定积分()baf x dx的几何意义是介于x轴、函数()f x的图形以及直线,xa xb=之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数()yf x=，若()yf x=在,a b上可取负值。考察和式()()()12()inf xxf xxf xxf xxD+D+D+DLL 不妨设1(),(),()0iinf xf xf x+L 于是和式即为()()()121()()iinf xxf xxf xxf xxf xx-D+D+D-D+-DLL 形图如图所示阴影部
5、分其面积是解二知识梳理定积分的概念一般地设函数为函数在区间上的定积分记为其中积分号积分上限积分下限被积函数面积变速运动路程变力做功定积分的几何意义从几何上看如果在区间上()baf x dx=阴影A的面积阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗？3定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1：()bakdxk ba=-；性质 2：()()()bbaakf x dxkf x dx k=蝌为常数（定积分的线性性质）；性质 3：1212()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx?蝌
6、?（定积分的线性性质）；性质 4:()()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb=+蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1)()()baabf x dxf x dx=-蝌；(2)()0aaf x dx=；说明：推广：1212()()()()()()bbbbmmaaaaf xfxfx dxf x dxfx dxfx北?北?蝌蝌LL 推广:121()()()()kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx=+蝌蝌L 性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba 三、范例分析 例 1计算下列定积分。（1）34|x dx （2）1211edxx 性质
7、 1 性质 4 AMNBAMPCCPNBSSS=+曲边梯形曲边梯形曲边梯形形图如图所示阴影部分其面积是解二知识梳理定积分的概念一般地设函数为函数在区间上的定积分记为其中积分号积分上限积分下限被积函数面积变速运动路程变力做功定积分的几何意义从几何上看如果在区间上解（1）34|x dx （2）1211edxx=0340()x dxxdx =12ln(1)|ex=2 02 34011|22xx =ln(1 1)ln(21)e =252 =1 例 2求定积分2201xdx。解：2122223001111(1)(1)()03xdxxdxxdxxx+321()213xx。例 3计算定积分：.3239x d
8、x=。0239x dx=.32329x dx=解 92 94 39328 例 4求由曲线22yx与3yx，0 x，2x 所围成的平面图形的面积。2232123201:(23)(32)1331(2)|(2)|32231xx dxxxdxxxxxxx 1201解 由题意知阴影部分的面积是:S=例 5已知曲线1C方程为xexf)(,过原点 O作曲线1C的切线2C(1)求2C的方程;(2)求曲线1C,2C及y轴围成的图形面积 S;xy012xy012形图如图所示阴影部分其面积是解二知识梳理定积分的概念一般地设函数为函数在区间上的定积分记为其中积分号积分上限积分下限被积函数面积变速运动路程变力做功定积分
9、的几何意义从几何上看如果在区间上(3)试比较ne1与)(*Nnne的大小,并说明理由 解:(1)设2C切1C于),(00 xexp 由xexf)(,则xexf)(0 xek切而00 xekopkx切 000 xxexe 得10 x ekep切),1(切线2C方程为exy (2)依题意得dxexeSx10)(121)21(102eexex (3)构造函数exexFx)(eexFx)(令0)(xF得1x 则)(xF在(0,1)为减函数,在(1,)为增函数 0)1()(FxF 令nx1 01neen 那neen1 当1n时neen1 当2n且Nn时neen1 四、课外练习 1.（1）26cos 2x
10、dx _ 解34 （2）.dxxx)1(212_;解2ln37 2.设函数)0()(2acaxxf.若)()(010 xfdxxf，0 x01,则x0的值为 33.3.已知()f x为一次函数，且10()2()f xxf t dt ，则()f x _()1f xx 4.过原点作曲线:xC ye的切线l，则曲线C、切线l及y轴所围成封闭区域的面积为_.解e（12e）5.利用定积分的几何意义，计算：dxx2124 形图如图所示阴影部分其面积是解二知识梳理定积分的概念一般地设函数为函数在区间上的定积分记为其中积分号积分上限积分下限被积函数面积变速运动路程变力做功定积分的几何意义从几何上看如果在区间上
11、解2332；解：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积3121461S2332 6.已知函数()ln(0)f xxx,函数1()()(0)()g xafxafx 函数()yg x在(1,1)a处的切线与35yx 平行,求a的值;在的条件下,求直线132yx与函数()yg x的图象所围成图形的面积.解:()lnf xx;,1()fxx;函数()ayg xxx ,2()1ag xx ,由条件得 (1)3g 4a 由1324yxyxx 解得121224,45xxyy 直线132yx与函数()yg x的图象所围成图形的面积：4214(3)()2Sxxdxx =32ln 2 7.已知()yf x是二次函数，方程()0f x 有两相等实根，且()22fxx ()求()f x的解析式(）求函数()yf x与函数241yxx 所围成的图形的面积。解：（）设2().(0)f xaxbxc a 240222bacaxbx 得：1,2,1abc 2()21f xxx（）由题22213041yxxxxyxx 或 0223(41)(21)Sxxxxdx 32032(3)|3xx9 形图如图所示阴影部分其面积是解二知识梳理定积分的概念一般地设函数为函数在区间上的定积分记为其中积分号积分上限积分下限被积函数面积变速运动路程变力做功定积分的几何意义从几何上看如果在区间上