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1、 高 中 培 优 讲 义 定 积 分 及 其 简 单 应 用 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第十三讲 定积分及其简单应用 教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾 课前热身 知识点 1、定积分(1)定积分的相关概念 在 baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义 当函数 f(x)在区间 a，b上恒为正时，定积分 baf(x)dx 的几何意义是由直
2、线 x a，x b(a b)，y 0 和曲线 y f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分 baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x a，x b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质 bakf(x)dx k baf(x)dx.baf1(x)f2(x)d x baf1(x)dx baf2(x)dx.baf(x)dx caf(x)dx bcf(x)dx.(4)定积分 baf(x)g(x)d x(f(x)g(x)的几何意
3、义是什么？提示：由直线 x a，x b 和曲线 y f(x)，y g(x)所围成的曲边梯形的面积 知识点 2、微积分基本定理 如果 f(x)是区间 a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 baf(x)dx F(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼兹公式为了方便，常把 F(b)F(a)记成 F(x)|ba，即 baf(x)dx F(x)|ba F(b)F(a)基础练习 1.421xdx 等于()A 2ln 2 B 2ln 2 C ln 2 D ln 2 知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴
4、影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解析：选 D 421xdx ln x|42 ln 4 ln 2 ln 2.2一质点运动时速度和时间的关系为 V(t)t2 t 2，质点作直线运动，则此物体在时间 1,2 内的位移为()A.176 B.143 C.136 D.116 解析：选 A S 21(t2 t 2)dt 13t312t2 2t 21176.3直线 x
5、0，x 2，y 0 与曲线 y x2 所围成的曲边梯形的面积为 _ 解析：20 x2dx13x3|2083.答案：83 4 101 x2dx _.解析：由定积分的几何意义可知，101 x2dx 表示单位圆 x2 y2 1 在第一象限内部分的面积，所以 101 x2dx14.答案：14 二、例题辨析 推陈出新 例 1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)21(x2 2x 1)dx；(2)0(sin x cos x)dx；(3)20 x(x 1)dx；(4)21e2x1xdx；(5)20 sin2x2dx.解答(1)21(x2 2x 1)dx 21x2dx 212xdx 211dxx33|21
6、x2|21 x|21193.(2)0(sin x cos x)dx 0sin xdx 0cos xdx(cos x)|0 sin x|0 2.(3)20 x(x 1)dx 20(x2 x)dx 20 x2dx 20 xdx13x3|2012x2|2013 23 0 12 22 0 143.(4)21e2x1xdx 21e2xdx 211xdx12e2x|21 ln x|2112e412e2 ln 2 ln 112e412e2 ln 2.(5)20 sin2 x2dx 201212cos x dx 2012dx1220cos xdx12x2012sin x20412 24.变式练习 1求下列定积
7、分：(1)20|x 1|dx；(2)201 sin 2xdx.知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：(1)|x 1|1 x，x 0，1x 1，x 1，2故20|x 1|dx 10(1 x)dx 21(x 1)dx xx22|10 x22 x|211
8、212 1.(2)201 sin 2xdx 20|sin x cos x|dx 40(cos x sin x)dx 24(sin x cos x)dx(sin x cos x)40(cos x sin x)24 2 1(1 2)2 2 2.例 2、10 x2 2xdx _.解答 10 x2 2xdx 表示 y x2 2x与 x 0，x 1 及 y 0 所围成的图形的面积 由 y x2 2x得(x 1)2 y2 1(y 0)，又 0 x 1，y x2 2x与 x 0，x 1 及 y 0 所围成的图形为14个圆，其面积为4.10 x2 2xdx4.在本例中，改变积分上限，求 20 x2 2xdx
9、的值 解：20 x2 2xdx 表示圆(x 1)2 y2 1 在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 20 x2 2xdx2.变式练习 2(2013 福建模拟)已知函数 f(x)x0(cos t sin t)dt(x0)，则 f(x)的最大值为 _ 解析：因为 f(x)x02sin4 t dt 2cos4 t|x0 2cos4 x 2cos 4 sin x cos x 1 2sinx4 1 2 1，当且仅当 sinx4 1 时，等号成立 答案：2 1 三、归纳总结 方法在握 归纳 1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分
10、(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小 归纳 2、求定积分的一般步骤 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 与常数的积的和
11、或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值 归纳 3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案 四、拓展延伸 能力升华 利用定积分求平面图形的面积 例 1、(2012 山东高考)由曲线 y x，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.103 B 4 C.163 D 6 解答 由 y x及 y
12、x 2 可得，x 4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由 y x及y x 2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为 40(x x 2)dx23x3212x2 2x|40163.答案 C 若将“y x 2”改为“y x 2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由 y x及 y x 2 可得 x 1.由定积分的几何意义可知，由 y x，y x 2 及x 轴所围成的封闭图形的面积为 20f(x)dx 10 xdx 21(x 2)dx23x32|102xx22|2176.变式练习 3(2013 郑州模拟)如图，曲线 y x2 和直线 x 0，x 1，y14所围成的图形(阴
13、影部分)的面积为()A.23 B.13 C.12 D.14 解析：选 D 由 y14，y x2 x12或 x12(舍)，所以阴影部分面积 S12014 x2dx112x214dx14x13x312013x314x11214.知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系
14、网站删除 定积分在物理中的应用 例 2、列车以 72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度 a 0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解答 a 0.4 m/s 2，v0 72 km/h 20 m/s.设 t s 后的速度为 v，则 v 20 0.4t.令 v 0，即 20 0.4 t 0得 t 50(s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s，则 s500vdt 500(20 0.4t)dt(20t 0.2t2)|500 20 50 0.2 502 500(m)，即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处开始制动 变式练习 4一物体在力 F
15、(x)10 0 x 23x 4 x2(单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力 F(x)做功为()A 44 J B 46 J C 48 J D 50 J 解析：选 B 力 F(x)做功为 2010dx 42(3x 4)dx 10 x|20 32x2 4x 42 20 26 46.例 3、(2012 上海高考)已知函数 y f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B12，5，C(1,0)函数 y xf(x)(0 x 1)的图象与 x轴围成的图形的面积为 _ 解析 由题意可得 f(x)10 x，0 x12，10 10 x，12x 1，所以 y xf(x)10 x2
16、，0 x12，10 x 10 x2，12x 1，与 x轴围成图形的面积为12010 x2dx112(10 x 10 x2)dx103x31205x2103x311254.答案 54 变式练习 1由曲线 y x2，y x3围成的封闭图形面积为()A.112 B.14 C.13 D.712 知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最
17、新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解析：选 A 由 y x2，y x3，得 x 0 或 x 1，由图易知封闭图形的面积10(x2 x3)dx1314112.2(2012 山东高考)设 a0.若曲线 y x与直线 x a，y 0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a _.解析：由题意 a0 xdx a2.又23x32 x，即23x32|a0 a2，即23a32 a2.所以 a49.答案：49 五、课后作业 巩固提高 1.e11 ln xxdx()A ln x12ln2x B.2e 1 C.32 D.12 解析：选 C e11 ln xxdxln xln2
18、x2e132.2(2012 湖北高考)已知二次函数 y f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为()A.25 B.43 C.32 D.2 解析：选 B 由题中图象易知 f(x)x2 1，则所求面积为 210(x2 1)dx 2x33 x1043.3设 f(x)x2，x 0，1，2 x，x 1，2，则 20f(x)dx()A.34 B.45 C.56 D 不存在 解析：选 C 如图 20f(x)dx 10 x2dx 21(2 x)dx13x3|102x12x2|21134 2 21256.4以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v 40 10t2，则此物体达到
19、最高时的高度为()知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A.1603 m B.803 m C.403 m D.203 m 解析：选 A v 40 10t2 0，t 2，20(40 10t2)dt40t103t3|20 40 2103 81603(m)5
20、(2013 青岛模拟)由直线 x3，x3，y 0 与曲线 y cos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12 B 1 C.32 D.3 解析：选 D 结合函数图象可得所求的面积是定积分 33cos xdx sin x333232 3.6设 a 0sin xdx，则曲线 y f(x)xax ax 2 在点(1，f(1)处的切线的 斜 率 为_ 解析：a 0sin xdx(cos x)|0 2，y x 2x 2x 2.y 2x x 2xln 2 2.曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率 k y|x 1 4 2ln 2.答案：4 2ln 2 7在等比数列 an 中，首项 a123，a4 41(1
21、2x)dx，则该数列的前 5 项之和 S5等于 _ 解析：a4 41(1 2x)dx(x x2)|41 18，因为数列 an 是等比数列，故 1823q3，解得 q 3，所以 S523 1 351 32423.答案：2423 8(2013 孝感模拟)已知 a0，2，则当 a0(cos x sin x)dx 取最大值时，a _.解析：a0(cos x sin x)dx(sin x cos x)|a0 sin a cos a 1 2sina4 1，a0，2，当 a4时，2sina4 1 取最大值 答案：4 9计算下列定积分：(1)20 sin2xdx；(2)32x1x2dx；(3)120e2xdx
22、.解：(1)20sin2xdx 201 cos 2x2dx12x14sin 2x 20414sin 04.(2)32x1x2dx 32x1x 2 dx12x2 2x ln x|3292 6 ln 3(2 4 ln 2)92 ln 3 ln 292 ln 32.知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么最新好资料推荐-如有侵权请联系
23、网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除(3)120e2xdx12e2x12012e12.10如图所示，直线 y kx 分抛物线 y x x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值 解：抛物线 y x x2与 x 轴两交点的横坐标为 x1 0，x2 1，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 S 10(x x2)dxx2213x3|1016.又 y x x2，y kx，由此可得，抛物线 y x x2 与 y kx 两交点的横坐标为 x3 0，x4 1 k，所以，S2 1 k0(x x2 kx)dx1 k2x213x3|1 k016(1 k)3.又知 S16，所以(1 k)312
24、，于是 k 1 312 1342.11如图，设点 P 从原点沿曲线 y x2 向点 A(2,4)移动，直线 OP 与曲线 y x2 围成图形的面积为 S1，直线OP 与曲线 y x2 及直线 x 2 围成图形的面积为 S2，若 S1 S2，求点 P 的坐标 解：设直线 OP 的方程为 y kx，点 P 的坐标为(x，y)，则x0(kx x2)dx 2x(x2 kx)dx，即12kx213x3|x013x312kx2|2x，解得12kx213x383 2k13x312kx2，解得 k43，即直线 OP 的方程为 y43x，所以点 P 的坐标为43，169.12求曲线 y x，y 2 x，y13x 所围成图形的面积 解：由 y x，y 2 x，得交点 A(1,1)；由 y 2 x，y13x，得交点 B(3，1)故所求面积 S10 x13x dx 312 x13x dx23x3216x2|102x13x2|31231643136.知识点定积分定积分的相关概念在中分别叫做积分下限与积分上限区间叫做积分区间叫做被积函数叫做积分变量叫做 图中阴影部分一般情况下定积分的几何意义是介于轴曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和上图中阴影所示其中 几何意义是什么提示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积知识点微积分基本定理如果是区间上的连续函数并且那么