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1、1 初一数学竞赛讲座第 6 讲 图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：1两个可以完全重合的图形的面积相等；2图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如：正方形面积=边长边长；矩形面积=长宽；平行四边形面积=底高；三角形面积=底高 2；梯形面积=（上底+下底）高 2。此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。1等腰三角形底边上的高线平分三角形
2、面积；2三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3平行四边形的对角线平分它的面积；4等底等高的两个三角形面积相等。解决图形面积的主要方法有：1观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4把图形进行割补（叫做割补法）。例 1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4 等份吗？解：最容易想到的是将 ABC的底边 4 等分，如左下图构成 4 个小三角形，面积都为原来的三角形面积的41。另外，先将三角形 ABC的面积 2 等分（如右上图），即取 BC的中点 D，连接 AD，则
3、SABD=SADC，然后再将这两个小三角形分别 2 等分，分得的 4 个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。还有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。例 2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。解法 1：把六边形分成 6 块：ABC，AGF，PEF，EKD，CDH和正方形 GHKP。用 S 表示三角形面积，如用SABC表示ABC的面积。2 故六边形 ABCDEF的面积等于
4、 6+2+1+21+4+9=)(21222cm说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。解法 2：先求出大正方形 MNRQ 的面积为 66=36（cm2）。说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。解法 3：六边形面积等于SABC+S梯形 ACDF-SDEF=6221+（3+6）421-3121=6+18-121=)(21222cm说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会
5、对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。例 3 如下图所示，BD，CF将长方形 ABCD 分成 4 块，DEF的面积是 4cm2，CED的面积是 6cm2。问：四边形 ABEF的面积是多少平方厘米？解：如下图，连结 BF。则BDF与CFD面积相等，3 减去共同的部分 DEF，可得 BEF与CED面积相等，等于 6cm2。四边形 ABEF的面积等于SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11（cm2）。问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大
6、？分析：只需比较 ACE与BDF面积的大小。因为ACE与BDF的高相等（都是 CD），所以只需比较两个三角形的底AE与 BF 的大小。因为 ACE与BDF高相等，所以 SACE SBDF。减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。例 5 在四边形 ABCD中（见左下图），线段 BC长 6cm，ABC为直角，BCD为 135，而且点 A到边 CD的垂线段 AE的长为 12cm，线段 ED的长为 5cm，求四边形 ABCD的面积。解：延长 AB，DC相交于 F（见右上图），则BCF=45，FBC=90，从而 BFC=45。因为 BFC=BCF，所以 BF=BC=
7、6（cm）。在 RtAEF中，AFE=45，所以 FAE=90-45=45，从而 EF=AE=12（cm）。故 S 四边形 ABCD=S ADF-S BCF=102-18=84（cm2）。说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜。例 6 正六边形 ABCDEF的面积是 6cm2，M，N，P 分别是所4 在边的中点（如上图）。问：三角形 MNP的面积是多少平方厘米？解法 1：如左下图，将
8、正六边形分成6 个面积为正1cm2的正三角形，将另外三个面积为1cm2的正三角形分别拼在边 BC，DE，AF外面，得到一个大的正三角形XYZ，其面积是 9cm2。这时，M，N，P 分别是边 ZX，YZ，Xy 的中点，推知解法 2：如右上图，将正六边形分成6 个面积为 1cm2的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4 个面积为41的小正三角形。于是正六边形ABCDEF被分成了24 个面积为41的小正三角形。因为 MNP由 9 个面积为41的小正三角形所组成，所以SMNP=419=2.25（cm2）二、圆与组合图形以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的面积
9、计算。1圆的周长与面积计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。主要公式有：（1）圆的周长=直径=2半径，即 C=d=2r；（2）中心角为 n的弧的长度=n（半径）180，即 1=180rn（3）圆的面积=（半径）2，即 S=r2；（4）中心角为 n的扇形面积=n（半径）2360，即lrrnS213602例 7 右图是三个半圆（单位：cm），其阴影部分的周长是多少？解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成，所以其周长为说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。推而广之，若 n 个小圆的
10、直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+,+dn=D，那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即5 d1+d2+d3+,+dn=（d1+d2+d3+,+dn）=D。例 8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为 R，小圆半径为 r，且 R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。解：因为 S 句号=S 大圆-S 小圆=R2-r
11、2=（2r）2-r2=3r2说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考察转化的可能性和转化的途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。2圆与组合图形在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。例 9 下图中，ABCD 是边长为 a 的正方形，分别以 AB，BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因此，我们就得到以下的算式：说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。如题图，设 x 和 y 分别表示相应部分的面积，由图看出