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1、1 初一数学竞赛讲座第 11 讲 染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言，染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些，我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。一、染色法将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被研究的对象染上不同的颜色，许多隐藏的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处
2、理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。例 1 用 15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片（如下图所示），能否覆盖一个 88 的棋盘？解：如下图，将 8 8 的棋盘染成黑白相间的形状。如果15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片能够覆盖一个88 的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是 32 个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖 1 个或 3 个白格，而1 和 3 都是奇数，因此 15 个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖 2 个白格，从而 15 个“T”字形纸片与 1 个“田”
3、字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32 是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。例 2 如左下图，把正方体分割成 27 个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6 个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？2 解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成27 个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然，在27 个小正方体中，14 个是黑的，13 个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜
4、色。故它走 27 步，应该经过 14 个白色的小正方体、13 个黑色的小正方体。因此在27 步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。例 3 8 8 的国际象棋棋盘能不能被剪成7 个 22 的正方形和 9 个 41 的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。解：如下图，对88 的棋盘染色，则每一个41 的长方形能盖住2 白 2黑小方格，每一个22 的正方形能盖住1 白 3 黑或 3 白 1 黑小方格。推知7 个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。例
5、4 在平面上有一个2727 的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81 枚棋子，它们被摆成一个99 的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。因为一开始时，81 个棋子摆成一个99 的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每
6、走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。例5 图 1 是 由 数 字0，1 交 替 构 成 的，图 2 是 由 图 1 中 任 选减 1，如此反复多次形成的。问：图2 中的 A格上的数字是多少？3 解：如左下图所示，将88 方格黑白交替地染色。此题允许右上图所示的6 个操作，这 6 个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。所以图 1 中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2 中白格中的数字
7、之和减去黑格中的数字之和相等，都等于 32，由（31A）-32=32，得出 A=33。例 6 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是 124。现在有一批现成的木箱，内空尺寸是666。问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题。先将 666 的木箱分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体，可以组成27 个棱长为 2 的正方体。我们将这些棱长为2 的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。容易计算出，有 14 个黑色的，有 13 个白色的。现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8 个棱长为 1 的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据 4 个。现在白色的小正
8、方体共有813=104（个），再配上 104 个黑色的小正方体，一共可以放26 件商品，这时木箱余下的是8 个黑色小正方体所占据的空间。这 8 个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。例 7 6 个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识。证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者互相认识，或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。4 证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段。本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。设这六个点为 A，B，C
9、，D，E，F。我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由 A 点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色。再考虑 BCD的三边：若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形。下面再来证明有两个同色三角形：不妨设ABC的三条边都是红色的。若DEF也是三边同为红色的，则显然就有两个同色三角形；若DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑 DA，DB，DC三条线段：若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的，则设其为DA，DB。此时在 EA，EB 中若有一边为蓝色，则存在一
10、个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形。故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形。二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。例 8 一群旅游者，从 A 村走到 B 村，路线如下图所示。怎样走才能在最短时间内到达 B 村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。解：我们先把从 A村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示。由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60 分钟）内从A 村
11、走到 B 村。5 例 9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。例 10 平面上 n（n2）个点 A1，A2，,，An 顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知 A1和
12、 An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值 2，点 Ai 以整数值为 ai，当 Ai为黑点时，ai=1，当 Ai为白点时，ai=2。再赋予线段 AiAi+1以整数值 ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2 或 4，两端异色的线段具有的整数值为 3。所有线段对应的整数值的总和为（a1a2）（a2a3）（a3a4）,（an-1an）a1an2（a2a3,an-1）212（a2a3,an-1）奇数。设具有整数值 2，3，4 的线段的条数依次为l，m，n，则2lm4n=奇数。由上式推知，m 必为奇数，证明完毕
13、。例 11 下面的表 1 是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即 A 变成 B，B 变成 C,Z 变成 A）。问：能否经过若干次操作，使表1 变为表 2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。S O B RK B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A表 1 表 2解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A 用 1，B 用 2,Z 用 26 代替）。这样表 1 和表 2 就分别变成了表3 和表 4。每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：12，23，,，2526，261。19 1521820 26616