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1、精品资料 欢迎下载 实际问题与一元一次方程（一）（基础）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 分析抽象方程 求解检验解答由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方
2、程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值 （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等 2行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度时间 （2）基本类型有：相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻
3、找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离 追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间 寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程 航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析 3工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=工作效率
4、工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和 4调配问题 精品资料 欢迎下载 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差倍分问题 120XX 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的 3 倍还多 0.6 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?【答案与解析】设生产运营用水 x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米 依题意，得 5.8-x3x+0.6 解得 x1.3 5.8-x5.8-1.34.5（亿立方米）答：生产运营用水 1.3 亿立方米，居民家庭用水 4.5 亿立方米
5、【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为 x，另外一个用含 x 的式子表示本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量5.8 亿立方米 举一反三：【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱 2800 台，第一个季度销售量是第二个季度的 2倍第三个季度销售量是第一个季度的 2 倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱 x 台，则第一季度销售量为 2x 台，第三季度销售量为 4x台，依题意可得：x+2x+4x 2800，解得：x400 答：麻商集团第二个季度销售冰箱 400 台 类型二、行程问题 1.一般问题 2小山娃要到城里参加
6、运动会，如果每小时走 4 千米，那么走完预订时间离县城还有 0.5 千米，如果他每小时走 5 千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城试问学校到县城的距离是多少千米?【答案与解析】解：设小山娃预订的时间为 x 小时，由题意得：4x+0.55(x-0.5)，解得 x3 所以 4x+0.543+0.512.5(千米)答：学校到县城的距离是 12.5 千米【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量 举一反三：【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为 10 千米/时，下坡的速度为 20 千米/时，求汽车的平均速度【答案
7、】解：设这段坡路长为 a 千米，汽车的平均速度为 x 千米/时，则上坡行驶的时间为10a小时，下坡行驶的时间为20a小时依题意，得：21020aaxa，化简得：340axa 显然 a0，解得1133x 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 答：汽车的平均速度为1133千米/时 2.相遇问题（相向问题）【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410 相遇问题】3 A、B 两地相距 100km，甲、乙两人骑自行车分别从 A、B
8、 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是 21km/h，甲骑了 1h 后，乙从 B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？【答案与解析】解:设甲经过 x 小时与乙相遇.由题意得：23 12321(1)100 x 解得，x=2.75 答：甲经过 2.75 小时与乙相遇【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km 举一反三：【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距 45km 的两地相向而行，2 小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?【答案】解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：2(2.5)245xx 解得：10 x
9、 2.5102.512.5x（千米）答：甲每小时行驶 12.5 千米，乙每小时行驶 10 千米 3.追及问题（同向问题）4一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5 千米/时的速度行进，走了 18 分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?【答案与解析】解：设通讯员 x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，得18145560 xx，得：16x，16小时=10 分钟 答：通讯员用 10 分钟可以追上学生队伍【总结升华】追及问题：路程差=速度差时间，此外注意：方程中 x 表示小时，18 表示分钟，两边单位不一
10、致，应先统一单位 4.航行问题（顺逆风问题）5一艘船航行于 A、B 两个码头之间，轮船顺水航行需 3 小时，逆水航行需 5 小时，已知水流速度是 4 千米/时，求这两个码头之间的距离【答案与解析】解法 1：设船在静水中速度为 x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)5(x-4)，解得：x=16，（16+4）3=60（千米）解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精
11、品资料 欢迎下载 答：两码头之间的距离为 60 千米 解法 2：设 A、B 两码头之间的距离为 x 千米，则船顺水航行时速度为3x千米/时，逆水航行时速度为5x千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：4435xx ，解得：60 x 答：两码头之间的距离为 60 千米【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程 类型三、工程问题 6一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10 小时可以注满水池；甲管单独开 15 小时可以注满水池，现两管同时注水 7 小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?【思路点拨】视
12、水管的蓄水量为“1”，设乙管还需 x 小时可以注满水池；那么甲乙合注 1 小时注水池的110，甲管单独注水每小时注水池的115，合注 7 小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015【答案与解析】解：设乙管还需 x 小时才能注满水池 由题意得方程：1171101510 x 解此方程得：x9 答：单独开乙管，还需 9 小时可以注满水池【总结升华】工作效率工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”举一反三：【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12天，前 7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由
13、乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】解：设乙中途离开x天，由题意得 1117(72)21141812x 解得：3x 答：乙中途离开了 3 天 类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）7星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每 3m 长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?【思路点拨】每 3 米布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，意思是每 1 米布料可做上衣32 件，或做裤子 1 条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量【答案与解析】解：设做
14、上衣需要 xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为23x件，做裤子的件数为75033x，解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 则有：23(750)33xx 解得：x450，750-x750-450300(m)，45023003（套）答：用 450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产 300 套【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数裤子的总件数 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一
15、次方程(一)调配问题】【变式】甲队有 72 人，乙队有 68 人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34.解：设从甲队调出 x 人到乙队.由题意得，372684xx 解得，x=12.答：需要从甲队调出 12 人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34.实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 分析抽象方程 求解检验解答由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答 要点
16、诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚 要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原
17、有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等 2行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度时间 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 （2）基本类型有：相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离 追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间 寻找相等关系：第三，同地不同时出发：前者走的路程追者
18、走的路程；第四，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程 航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析 3工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和 4调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差
19、倍分问题 1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？【答案与解析】解：设油箱里原有汽油 x 公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40%解得：x=10 答：油箱里原有汽油 10 公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人 3 张则多 24 张，若平均每人 4 张则少 26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有 x 名学生，根据
20、题意得：3x+244x-26 解得：x50 所以 3x+24350+24174 答：这个班有 50 名学生，一共展出了 174 张邮票 类型二、行程问题 1.车过桥问题 2.某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义【答案与解析
21、】解：设火车车身长为 xm，根据题意，得：120012005030 xx，解得：x300，所以12001200300305050 x 答：火车的长度是 300m，车速是 30m/s【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长车长由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度整个火车在桥上的速度 举一反三：【变式】某要塞有步兵 692 人，每 4 人一横排，各排相距 1 米向前行走，每分钟走 86
22、 米，通过长 86 米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】解：设从第一排上桥到排尾离桥需要 x 分钟，列方程得：6928611 864x，解得：x3 答：从第一排上桥到排尾离桥需要 3 分钟 2.相遇问题（相向问题）3小李骑自行车从 A地到 B地，小明骑自行车从 B地到 A地，两人都匀速前进.已知两人在上午 8时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12 点，两人又相距 36 千米.求 A、B 两地间的路程.【答案与解析】解：设 A、B两地间的路程为x千米，由题意得：363624xx 解得：x 108 答：A、B两地间的路程为 108 千米.【点评】根据“匀速
23、前进”可知 A、B 的速度不变，进而 A、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和时间可得方程 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410 二次相遇问题】解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 A 站 34km，已知甲车的速度是 70km/h，乙车的速度是52km
24、/h，求 A、B两站间的距离.【答案】解：设 A、B两站间的距离为x km，由题意得：234347052xx 解得：x=122 答：A、B两站间的距离为 122km.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 2 小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理 15 分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度【答案与解析】解：设卡车的速度为 x 千米/时，由题意得：1122(30)(1)(30)243xxxxxx 解得：x=24 答：卡车的速度为 24 千米/时【点评】
25、采用“线示”分析法，画出示意图利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间 4.航行问题（顺逆风问题）5(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5 千米/时的航段，从 A 地上船，沿江而下至 B 地，然后溯江而上到 C 地下船，共乘船 4 小时已知 A、C 两地相距 10 千米，船在静水中的速度为7.5 千米/时，求 A、B 两地间的距离【思路点拨】由于 C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在 A、B之间；（2）C地在 A地上游【答案与解析】解：设 A、B 两地间的距离为 x 千米 (1)当 C 地在 A、B 两地之间时，依题意得 1047.52.5
26、7.52.5xx 解这个方程得：x20(千米)(2)当 C 地在 A 地上游时，依题意得：1047.52.57.52.5xx 解这个方程得：203x 答：A、B 两地间的距离为 20 千米或203千米【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4 小时构建方程求解 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 5.环形问题 6环城自行车赛，最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人，已
27、知最快的人的速度是最慢的人速度的 3倍，环城一周是 20 千米，求两个人的速度.【答案与解析】解；设最慢的人速度为 x 千米/时，则最快的人的速度为x 千米/时，由题意得:x-x=20 解得：x=10 答：最快的人的速度为 35 千米/时，最慢的人的速度为 10 千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周 20 千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20 千米.举一反三：【变式】两人沿着边长为 90m 的正方形行走，按 ABCDA方向，甲从 A 以 65m/min 的速度，乙从 B 以 72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上
28、?【答案】解：设乙追上甲用了 x 分钟，则有：72x-65x390 2707x（分）答：乙第一次追上甲时走了2707227777(m)此时乙在 AD 边上 类型三、工程问题 7一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过 x 小时可把水注满由题意得：11111()2()168689x 解得：30421313x 答：打开丙管后4213小时可把水放满【点评】相等关系：甲、乙开 2h 的工作量+甲、乙、
29、丙水管的工作量=1 举一反三：解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载【变式】收割一块水稻田，若每小时收割 4 亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早 1 小时完成，求这块水稻田的面积【答案】解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得：21331144142xxx 解得：36x 答：这块水稻田的面积为 36 亩 类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8某工程队每天安排 12
30、0 个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 m3或运土 3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排 x 人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：5x3(120-x)，解得 x45 120-4575(人)答：应安排 45 人挖土，75 人运土【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)配制问题】【变式】某商店选用 A、B两种价格分别是每千克 28 元和每千克 20 元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克 25 元，要配制这种杂拌糖果 1
31、00 千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用 A种糖果 x 千克，则 B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25 100 解得：x=62.5.当 x=62.5 时，100-x=37.5.答：要用 A、B两种糖果分别为 62.5 千克和 37.5 千克.实际问题与一元一次方程（二）（基础）知识讲解【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 分析抽象方程 求解检验解答
32、由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答 要点诠释：解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一（4）“解”就是解方程，求出未知数的值 （5）“
33、检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1利润问题 （1）=100%利润利润率进价 (2)标价成本(或进价)(1利润率)(3)实际售价标价 打折率(4)利润售价成本(或进价)成本 利润率 注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售 2存贷款问题 （1）利息=本金利率期数（2）本息和（本利和）本金利息本金本金 利率 期数本金(1利率 期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息利息税率（5）年
34、利率月利率 12（6）月利率年利率121 3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为 10b+a 4方案问题 选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、利润问题【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)利润问题例 2】1以现价销售一件商品的利润率为 30%，如果商家在现有的价格基础上先提价 40%，后降价 50%的方法进行销售，商家还
35、能有利润吗？为什么？【答案与解析】解：设 该商品的成本为a元，则商品的 现价为(1+30%)a元，依题意其 后来折扣的售价为(1+30%)a(1+40%)(1-50%)=0.91a.0.91a-a=-0.09a,0.09aa100%=-9%.解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为 9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要 举一反三：【高清课
36、堂：实际问题与一元一次方程(二)388413 利润问题例 3】【变式 1】某个商品的进价是 500 元，把它提价 40%后作为标价.如果商家要想保住 12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？【答案】解：设该商品打x折，依题意，则：500(1+40%)10 x=500（1+12%）.x=10 1.121.4=8.答：该商品的广告上可写上打八折.【变式 2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价 【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为 x 元，由题意得：0.8x+20 x-12，解这个方程得：x160 答：李明上次所买书籍的
37、原价是 160 元 类型二、存贷款问题 2爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 2.7，五年后取出本息和为 17025 元，爸爸开始存入多少元.【答案与解析】解：设爸爸开始存入 x 元.根据题意，得 xx 2.7 517025.解之，得 x15000 答：爸爸开始存入 15000 元.【总结升华】本息和本金利息，利息本金 利率 期数 类型三、数字问题 3一个三位数，十位上的数是百位上的数的 2 倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大 2，又个位、十位、百位上的数的和是 14，求这个三位数.【答案与解析】解：设百位上的数为 x，则十位上的数为 2x，个位上的数为 14-2x-x 由题意得
38、：x+14-2x-x=2x+2 解得：x=3 x=3，2x=6，14-2x-x=5 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 答：这个三位数为 365【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出 x 就答；(3)三位数字的表示方法是百位上的数字乘以 100，10 位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加 举一反三：【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上
39、的数字大 4，这个两位数又是这两个数字的和的 4 倍，求这个两位数.【答案】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（4x），由题意得：10(4)(4)4xxxx 解得：4x 4 10(44)48 答：这两位数是 48.类型四、方案设计问题 4为鼓励学生参加体育锻炼学校计划拿出不超过 1600 元的资金再购买一批篮球和排球已知篮球和排球的单价比为 3:2，单价和为 80 元 (1)篮球和排球的单价分别是多少元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是 36 个，且购买的篮球数量不少于 26 个请探究有哪几种购买方案?【答案与解析】解：(1)设篮球和排球的单价分别为 3x 元和 2x 元 依题意
40、3x+2x80，解得 x16 即 3x48，2x32 答：篮球和排球的单价分别为 48 元和 32 元 (2)采用列表法探索：类别 方案 篮球（x 个）排球（36-x）个 合计（元）(1)26 10 1568(2)27 9 1584(3)28 8 1600(4)29 7 1616 由列表可知，共有三种购买方案：方案一：购买篮球 26 个，排球 10 个；方案二：购买篮球 27 个，排球 9 个；方案三：购买篮球 28 个，排球 8 个【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴采用列表的方法探索方案，值得学习 举一反三：【变式】(武昌区期末调考)某校组织 10 位教师和部分学生外出考察，全程
41、票价为 25 元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的 88%购票；方案二：前 20 人购全票，从第 21 人开始，每人按票价的 80%购票 解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 (1)若有 30 位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?【答案】解：设有 x 位学生参加考察 按方案一购票费用为：2588%(10+x)22x+220 按方案二购票费
42、用为：2025+2580%(x+10-20)20 x+300 (1)当 x30 时：22x+220660+220880(元)20 x+300600+300900(元)答：当有 30 位学生参加考察，选择方案一更省钱 (2)设 22x+22020 x+300，解得：x40 答：参加考察的学生人数为 40 人时，两种方案车费一样多 实际问题与一元一次方程（二）（提高）知识讲解【学习目标】(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：
43、问题 分析抽象方程 求解检验解答由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一（4）“解”就是解方程，求出未知数的值 （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1利润问
44、题 （1）=100%利润利润率进价 (2)标价成本(或进价)(1利润率)(3)实际售价标价 打折率(4)利润售价成本(或进价)成本 利润率 注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售 2存贷款问题 （1）利息=本金利率期数（2）本息和（本利和）本金利息本金本金 利率 期数本金(1利率 期数)解应用题的基本思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载（3）实得利息=利息-利息税（
45、4）利息税=利息利息税率（5）年利率月利率 12（6）月利率年利率121 3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为 a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为 10b+a 4方案问题 选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论【典型例题】类型一、利润问题 1文星商店以每支 4 元的价格进 100 支钢笔，卖出时每支的标价 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打 9 折出售，卖完时商店赢利 188
46、 元，其中打 9 折的钢笔有几支?【答案与解析】解：设打折的钢笔有 x 支，则有：6(100-x)+6 90%x 100 4+188 解得 x20 答：打 9 折的钢笔有 20 支【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：售价 数量 售出总价 按标价出售 6 100-x 6(100-x)剩余的打折出售 690%x 690%x 此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(60.9-4)x188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413 思考与研究 1】【变式】某种商品的标价为 900 元，为了适应市场竞争，店主打出广告
47、：该商品九折出售，并返 100 元现金.这样他仍可获得 10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）【答案】解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：(9000.9-100)-x=10%x，得：x=564511 x645.答：此商品的进价约为 645 元.类型二、存贷款问题 2某公司从银行贷款 20 万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为 15%(不计复利)，每个产品成本是 3.2 元，售价是 5 元，应纳税款为销售款的 10%如果每年生产 10 万个，并把所得利润(利润售价成本应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?【答案与解析】解应用题的基本
48、思路为问题分析抽象方程求解检验解答由此可得解决此么就设什么为但有时也可以间接设未知数列就是列方程即列代数式表示及时指出舍去即可答就是写出答案注意单位要写清楚知识点二常见列方精品资料 欢迎下载 解：设 x 年后能一次性还清贷款，根据题意，得(5-3.2-510%)10 x20+2015%x 解之，得 x2 答：所以 2 年后能一次性还清贷款【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润售价成本应纳税款，产品的总利润等于本息和 举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413 贷款问题】【变式】小华
49、父母为了准备她上大学时的 16000 元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为 2.88%），上大学贷款的部分打算用 8年时间还清（年贷款利息率为 6.21%），贷款利息的 50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【答案】解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，x2.88%6=(16000-x)6.21%850%,解得,x9436(元)16000-9436=6564(元).答：小华父母用 9436 元参加教育储蓄，还准备贷 6564 元.类型三、数
50、字问题 3一个两位数，十位数字比个位数字的 4 倍多 1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小 63，求原数【答案与解析】解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 4x+1根据题意得：10(4x+1)+x10 x+(4x+1)+63，解得 x2，4x+142+19，故这个两位数为 92 答：这个两位数是 92【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出 x 就答；（3）两位数的表示方法是 10 位上的数字乘以 10，把所得的结果和个位数字相加 类型四、方案设计问题 4某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，