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1、学习必备 精品知识点 第六章 实数 知识讲解+题型归纳 知识讲解 一、实数的组成 1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应 二、相反数、绝对值、倒数 1.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 a 的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.性质：互为相反数的两个数之和为 0。2.绝对值：表示点到原点的距离，数 a 的绝对值为 3.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。非 0 实数 a 的倒数为1a.0 没有倒数。4.相反数是它本身的数只有 0；绝对值是它本身的数是非负数（0 和正数）；倒数是它本身
2、的数是1.三、平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于 a，这个数叫做 a 的平方根。数 a 的平方根记作 （a=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2.立方根：如果一个数的立方等于 a，则称这个数为 a 立方根。数 a 的立方根用3a表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算 有理数的加法法则：a）同号两数相
3、加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。绝对值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。3.乘法法则：a|a学习必备 精品知识点 a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零 b）几个不为 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0 4.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为 0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何
4、非 0 实数都得 0。b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。5.有理数的乘方:在 an中，a 叫底数，n 叫指数 a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是 0 b）a0=1（a 不等于 0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右 b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法 1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2）比差法：若 a-b0 则 ab；若 a-b0则 a1 则 ab；a/b1 则 a1 则 ab；a/bb C.一正一负时，正数负数 4）平方法：a、b 均为正数时，若 a2b2，则
5、有 ab；均为负数时相反 5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳 经典例题 类型一有关概念的识别 1下面几个数：0.23，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，是无理数 故选 C 举一反三：【变式 1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9 的平方根是3，A 正确 1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正确 【变式 2
6、】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的不同的两个数互为相反数数的相反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数的学习必备 精品知识点 原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A表示的数是（）A、1 B、1.4 C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为 1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，A 表示数为，故选 C 【变式 3】【答案】=3.1415，9310 因此 3-90，3-100 类型二计算类型题 2设，
7、则下列结论正确的是（）A.B.C.D.解析：（估算）因为，所以选 B 举一反三：【变式 1】1）1.25 的算术平方根是_；平方根是_.2）-27立方根是_.3）_，_，_.【答案】1）；.2）-3.3），【变式 2】求下列各式中的 （1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4 或 x=-2（3）x=-4 类型三数形结合 3.点 A在数轴上表示的数为，点 B 在数轴上表示的数为，则 A，B 两点的距离为_ 解析：在数轴上找到 A、B 两点，举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示 1，的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是（）不同的两个数互为相反数数的相
8、反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数的学习必备 精品知识点 A1 B1 C2 D2 【答案】选 C 变式 2 已知实数、在数轴上的位置如图所示：化简 【答案】：类型四实数绝对值的应用 4化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3|(x 3)(5)|x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：(1)=1.414 1.4|-1.4|=1.4-(2)=3
9、.14159 3.142|-3.142|=3.142-(3),|-|=-(4)x3,x-30,|x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对 这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|(x+3)20,(x+3)2+10|x2+6x+10|=x2+6x+10 举一反三：【变式 1】化简：【答案】=+-=类型五实数非负性的应用 5已知：=0，求实数 a,b 的值。分析：已知等式左边分母不能为0，只能有0，则要求a+70，分子+|a2-49|=0，由非负数的
10、和的性质知：3a-b=0 且 a2-49=0，不同的两个数互为相反数数的相反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数的学习必备 精品知识点 由此得不等式组 从而求出 a,b 的值。解：由题意得 由(2)得 a2=49 a=7 由(3)得 a-7，a=-7不合题意舍去。只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 a=7,b=21 为所求。举一反三：【变式 1】已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。解：(x-6)2+|y+2z|=0 且(x-6)20
11、,0,|y+2z|0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为 0。解这个方程组得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式 2】已知那么 a+b-c的值为_ 【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2 类型六实数应用题 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。解：设新正方形边长为 xcm，根据题意得 x2=112+138 x2=225 x=15 边长为正，x=-15 不合题意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取 1
12、5cm。举一反三：【变式 1】拼一拼，画一画：请你用 4 个长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4 个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积多 24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=不同的两个数互为相反数数的相反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数
13、的学习必备 精品知识点 大正方形的面积=，一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又 大正方形的面积比小正方形的面积多 24 cm2 所以有，化简得：将代入，得：cm 答：中间小正方形的边长 2.5 cm。类型七易错题 7判断下列说法是否正确 （1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是15.（3）当 x=0 或 2 时，（4）是分数 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 （2）表示 225 的算术平方根，即=15.实际上，本题是求 15 的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当 x=0 时，
14、=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故 x0，所以当 x=2 时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八引申提高 8（1）已知的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平不同的两个数互为相反数数的相反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数的学习必备 精品知识点 方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分 解：由 得 的整数部分 a=5,的小数部分，（2）解：(1)设 x=则 -得 9x=6 .(2)设 则 -，得 99x=23 .(3)设 则 -，得 999x=107，.不同的两个数互为相反数数的相反数是正数的相反数是负数负数的相反根如果一个数的平方等于这个数叫做的平方根数的平方根记作特性一个运算叫做开平方立方根如果一个数的立方等于则称这个数为立方根数的