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1、二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f xaxbxc a；（2）顶点式：2()()(0)f xa xmn a；其中，(,)m n为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f xa xxxxa，其中，12,x x是抛物线与x轴交点的横坐标.2二次函数的图像 二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.(1)单调性与最值 当0a 时，如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减，在,
2、)2ba上递增，当2bxa 时，2min4()4acbf xa；当0a 时，如图 2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,2ba 上递增，在,)2ba上递减，当2bxa 时，；2max4()4acbf xa.(2)与x轴相交的弦长 当240bac时，二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212|()4|M Mxxxxx xa.二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f xaxbxc a，当0a 时，()f x在区间,p q上的最大值是M，最小值是m，O 2bxa
3、 y 244acbax 图 2-8 O y x 2bxa 244acba图 2-9 令02pqx：（1）若2bpa，则(),()mf p Mf q；（2）若02bpxa，则(),()2bmfMf qa；（3）若02bxqa，则(),()2bmfMf pa；（4）若2bqa，则(),()mf q Mf p.三、一元二次方程与二次函数的转化 1实系数一元二次方程20(0)axbxca 的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x212124000bacbxxacx xa （2）方程有两个不等负根12,x x212124000bacbxxacx xa （3）方程有一正根和一负根，设
4、两根为12,x x120cx xa 2.一元二次方程20(0)axbxca 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bxa 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x为实系数方程20(0)axbxca 的两根，则一元二次20(0)axbxca 的根的分布与其限定条件如表 2-5所示.表 2-5 根的分布 图像 限定条件 12mxx 02()0bmaf m 12xmx ()0f m m 1x 2x O yx 1x O m2x yx12xxm 02()0bmaf m 根的分布 图像 限定条件 在区间(,)m n内 没有实根
5、 Onmyx 0 Onmyx 12120 xxmxxm或 Onmyx 02()0bmaf m Onmyx 02()0bnaf n Onmyx()0()0f mf n 在区间(,)m n内 有且只有一个实根 Onmyx()0()0f mf n Onmyx()0()0f mf n 1x O 2x yxm在区间(,)m n内 有两个不等实根 Onmyx 02()0()0bmnaf mf n 四、二次不等式转化策略 1.二次不等式的解集与系数的关系 若二次不等式2()0f xaxbxc 的解集是0(,)abaca 二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x轴交点横坐标有关的.2.二次函数恒大
6、于零或恒小于零的转化策略 已知二次函数2()(0)f xaxbxc a.()0f x 恒成立00a；()0f x 恒成立00a.注 若表述为“已知函数2()f xaxbxc”，并未限制为二次函数，则应有()0f x 恒成立00a 或00abc；()0f x 恒成立00a 或00abc.五、二次函数有关问题的求解方法与技巧 有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区
7、间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示 题型 1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例 2.41“0a”是“方程2210axx 至少有一个负数根”的（）必要不充分条件 充分不必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 解析 由于0a，则方程2210axx 的判别式440a，设12,x x为方程的两根
8、，则12122010 xxax xa ，故12,x x异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210axx 有负数根，当0a 时，即210 x 有负数根12x ，那么方程2210axx 有负数根0a.因此“0a”是方程“2210axx 至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选 B.变式 1 已知函数2()f xaxbxc，且abc，0abc ，集合|()0Am f m，则（）.A.mA ，都有(3)0f m B.mA ，都有(3)0f m C.0mA，使得0(3)0f m D.0mA，使得0(3)0f m 变式 2 已知函数2()24(03)f xaxaxa，若12xx，121xxa，则（
9、）.A.12()()f xf x B.12()()f xf x C.12()()f xf x D.1()f x与2()f x的大小不能确定 例 2.42 （2012 江苏 13）已知函数2()(,)f xxaxb a bR的值域为0,)，若关于x的不等式()f xc的解集为(,6)m m，则实数c的值为_.解析 将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f xxaxb的值域为0,)，得240ab.不等式()f xc()0f xc，即20 xaxbc 的解集为(,6)m m，设方程20 xaxbc 的两根为12,x x，则1212xxax xbc ，22121212|()444xxxxx x
10、abc 46c，得9c.评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2xaxbc 的解集为(,6)m m与方程2xaxbc 的实根12,x x之间的联系，即12|6xx.变式 1 （2012 浙江理 17）设aR，若0 x 时均有2(1)1(1)0axxax，则_a.变式 2 （2012 北京理 14）已知()(2)(3),()22xf xm xm xmg x，若同时满足条件：,()0 xR f x 或()0g x；(,4),()()0 xf x g x ，则m的取值范围是_.题型 2 二次方程20(0)axbxca 的实根分布及条件 思路提示 结合二次函数2()f xaxbx
11、c的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例243 已知,是方程2(21)420 xmxm 的两个根，且2，求实数m的取值范围.分析 根据二次方程根的分布结合图像求解.解析 根据题意，如图 2-10所示，对于2()(21)42f xxmxm，由图像知2，得(2)0f，故2(2)2(21)2420fmm ，解得3m，所以m的取值范围是(,3).图2-102Oyx 评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式 1 关于x的方程22(1)210mxmx 的两个根，一个小于 0，一个大于 1.求实数m的取值范围.变式2 已知二次函数2
12、()2(,)f xxbxc b cR满足(1)0f,且关于x的方程()0f xxb 的两个实数根分别在区间(3,2)和(0,1)内，求实数b的取值范围.例 2.44 已知方程32230(,)xaxbxca b cR 的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则22ab的取值范围是（）.A.10(,)3 B.10,)3 C.(10,)D.10,)解析 由方程32230(,)xaxbxca b cR 有三个实根123,x xx，且满足12301,1,1xxx.则231abc ，得1 23cab.32232310 xaxbxab,(*)由1x 是方程的根，可知方程(*)可写成：2
13、(1)(231)0 xxmxab，展开并与方程(*)对照系数可得21ma.所以2(21)(231)0 xaxab.令2()(21)(231)f xxaxab，(0)2310(1)4330fabfab ，如图 2-11，(,)a b所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A，则22ab的取值范围是10(,)3.故选 A.2a+3b+1=04a+3b+3=0O图2-11ba-1A（-1,13）变式 1 设直线2yxm 与y轴相交于点 P，与曲线22:33(1)Cxyx相交于 Q，R，且|PQ|bc，a+b+c=0，则().A.x(0,1)，都有(x)0 B.x(0,1)，都有(x)0 5.已知点
14、A(0,2)，B(2,0)，若点 C 在函数 y=x2的图像上，则使得 ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为().A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知函数(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数 x，(x)与 g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是().A.-4,4 B.(-4,4)C.(-,4)D.(-,-4)7.若函数(x)=x2+(a+2)x+b(x a,b)的图像关于直线 x=1 对称，则(x)max=_.8.关于 x 的方程 2x2+ax-5-2 a=0 的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数 a 的取值范围是_.9
15、.当 x 0,2时，函数(x)=ax2+4(a-1)x-3在 x=2 时取得最大值，则 a 的取值范围是_.10.已知二次函数(x)=ax2-x+c(x R)的值域为0,+)，则caac22的最小值为_.11.已知定义域为 R 的函数(x)满足(x)-x2+x)=(x)-x2+x.(1)若(2)=3，求(1)，又若(0)=a，求(a)；(2)设有且仅有一个实数 x0，使得(x0)=x0，求函数(x)的解析式.12.已知二次函数(x)=x2+mx+1(x Z)，且关于 x 的方程(x)=2 在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求(x)的解析式；(2)若 x 1,t(t1)时，总有(x-4)4x 成立，求 t 的最大值.