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1、精品资料 欢迎下载 2.7 对数与对数函数 一【教学目标】1理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题 二【教学重点】运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三【命题规律】主要考察指数式baN与对数式logaNb的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。四【知识回顾】1.对数的概念 如果 ,那么数b叫做以a为底 N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做对数的 。即指数式与对数式的互化：logbaaNbN 2.常用对
2、数：通常将以 10 为底的对数10logN叫做常用对数，记作lg N。自然对数：通常将以无理数2.71828e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N。3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：logNaa=(01,0)aaN且logNaa=(01,0)aaN且（2）换底公式：logaN loglogbbNa（3）对数的性质：负数和零没有对数 1 的对数是零，即log10a 底的对数等于 1，即log1aa logloglogabcbcdlogad 4.对数的运算性质 如果01,0,0aaMN且，那么（1）log()aMN ；（2）logaMN ；（3）lognaM ；（4）logn
3、amM 。（5）loglogabba ；（6）logab 1logba 5.对数函数 精品资料 欢迎下载 函数log(01)ayx aa且做对数函数，其定义域为(0，+)，值域为(-，+).、6.对数函数图像与性质 注：对数函数1loglog(01)aayxyx aa与且的图像关于x轴对称。7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大，即01cdab 8.对数式、对数函数的理解 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3lnxyyx yx
4、等函数均不符合形式log(01)ayx aa且，因此，它们都不是对数函数 画对数函数logayx的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)aa【例题精讲】考点一：对数式的运算 例 1.计算（1）222 lg2lg2 lg5lg2lg 2 1 （2）231lg5 lg8lg1000lg 2lglg 0.066 命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对精品资料 欢迎下载 【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果
5、中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。【举一反三】1.求值：（1）22271loglog 12log 42 1482（2）2lg 2lg 2 lg50lg 25（3）3948log 2log 2log 3log 3 考点二：对数值的大小比较 比较大小常用的方法有：做差比较法 做商比较法 函数单调性法 中间值法，在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1)对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。2)对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。3)对于底数和真数均不同
6、的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较 4)对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是 0 和 1）进行分组，再比 较各组的大小。5)对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。例 2.比较大小 （1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与 （3）76log 6log 7与 （4）21log1log2aabbbR 与 【举一反三】2.（08 年北京卷改编）若0.5222,log 3,log sin5abc，则,a b c的大小关系是 。命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指
7、数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对精品资料 欢迎下载 考点三：与对数函数有关的定义域问题 求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于 0 且不等于 1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。例 3.求下列函数的定义域（1）224lg23xyxx （2）log2ayx 考点四：与对数函数有关的值域问题（1）型如(log)ayfx：采用换元法，令logatx，根据定义域先求logatx值域，再求()yf t的值域。（2）型如log()ayf x：由真数()0f x 求出定义域，再求出()yf
8、 x的值域，再根据a的值确定复合函数的值域.例 4.求下列函数的值域（1）21log31log1,0,12ayxxx （2）log()axyaa 考点五：定义域或值域为 R 的问题（1）若 log()ayx的定义域为 R,则对任意实数x，恒有()0 x。特别地，当2()(0)xaxbxc a时，要使定义域为 R，则必须00a 且（2）若 log()ayx的值域为 R，则()x必需取遍0 ，内所有的数。特别地，当2()(0)xaxbxc a时，要使值域为 R，则必须00a 且 例 5.已知函数21()log(1)4af xmxmx（1）若定义域是 R，求m的取值范围；（2）若值域是 R，求m的取
9、值范围。命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对精品资料 欢迎下载 考点六：对数函数的综合问题 例 6.已知函数()log3af xax（1）当 0,2x时，函数()f x恒有意义，求实数a的取值范围。（2）是否存在这样的实数a，使得函数()f x在区间12，上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出a的值，如果不存在，请说明理由。【反思归纳】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知
10、条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立。【举一反三】3.已知2()log(01)af xaxxaa且在区间 2 4，上是增函数，求实数a的取值范围。命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对精品资料 欢迎下载 【练习】1.函数()logxaf xax在区间12，上的最大值与最小值之和为14，最大值与最小值之积为38，则a等于 。2.（08 年天津卷改编）设1a，若对于任意的,2xaa，都有2,ya a满足方程loglog3aaxy，这
11、时a的取值的集合为 。3.（08 年高考山东卷）已知2(3)4 log 3233xfx，则8(2)(4)(8)(2)ffff 的值等于 。4.设01aa，函数2lg(23)()xxf xa 有最大值，则不等式2log(57)0axx的解集是 。5.若234342423log log loglog log loglog log log0 xyz，则xyz 。6.已知18log9,185ba，则36log45 。（用,a b表示）。7.已知等比数列na满足0,1,2,nan且25252(3)nnaan，则1n时，21log a 22221loglognaa 。8.已知22()log(3)f xxa
12、xa，对于任意2x，当0 x 时，恒有()()f xxf x ，则实数a的取值范围为 。9.不等式21log(6)3xx 的解集为 。命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对精品资料 欢迎下载 10.若4()lg(5)5xxf xm的值域为 R，则m的取值范围是 。11.设,A B为函数2logyx的图像上两点，其横坐标分别为a和4a，直线2xa 与函数2logyx的图像交于点 C，与直线 AB交于点 D。（1）求 D的坐标（2）当ABC的面积大于 1 时，求实数a的取值范围。命题规律主要考察指数式的互化对数函数的图像和性质或由对数函数复对数记作叫做对数的其中叫做即指数式与对数式的互化常用对数通常将和零没有对数的对数是零即底的对数等于即对数的运算性质如果那么对