2.6对数与对数函数.pdf

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1、 1对数的概念 一般地，如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，N 叫做真数 2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logmnaMnmlogaM(m，nR，且 m0)(2)对数的性质 logaNa_N_；logaaN_N_(a0 且 a1)(3)对数的重要公式 换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab1logba，推广 lo

2、gablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0 当 0 x1 时，y1 时，y0 当 0 x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 MN0，则 loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数 ylog2x 及13log3yx都是对数函数()(4)对数函数 ylogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数()(5)函数 yln1

3、x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限()1(2015湖南改编)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则有关 f(x)的性质判断正确的是_(填序号)奇函数，且在(0,1)上是增函数；奇函数，且在(0,1)上是减函数；偶函数，且在(0,1)上是增函数；偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 解析 易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数，又 f(x)ln1x1xln12x1，由复合函数单调性判断方法知，f

4、(x)在(0,1)上是增函数 2已知1213113loglog232，abc则 a，b，c 的大小关系为_ 答案 abc 解析 131131,0loglog 2loglog 30233221，abc故 abc.3函数 f(x)lg(|x|1)的大致图象是_(填图象序号)答案 解析 由函数 f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为 R.又当 x1 时，函数单调递增，所以只有正确 4(2015浙江)若 alog43，则 2a2a_.答案 4 33 解析 23loglog 3log 3log33222222244aa 3334 33.5(教材改编)若 loga340，且 a1)，则

5、实数 a 的取值范围是_ 答案 0，34(1，)解析 当 0a1 时，loga34logaa1，0a1 时，loga341.实数 a 的取值范围是0，34(1，).题型一 对数式的运算 例 1 (1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m_.(2)lg 5lg 20的值是_ 答案(1)10(2)1 解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.m 10.(2)原式lg 100lg 101.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的

6、形式再进行运算 (1)计算：1log632log62log618log64_.(2)已知 loga2m，loga3n，则 a2mn_.答案(1)1(2)12 解析(1)原式 12log63log632log663log663log64 12log63log6321log631log63log64 12log63log6321log632log64 21log632log62log66log63log62log62log621.(2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.题型二 对数函数的图象及应用 例 2(1)函数 y2log4(1x)的图象大致是_(填

7、序号)(2)当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12上的图象，可知 f12g12，即 222，所以 a 的取值范围为22，1.思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 (1)已知 lg alg b0，则函数 f(x)ax与函数 g(x)logbx 的图象可能是_ (2)设方程 10 x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x2，则_ x1x21 0 x1x2

8、1，则 0b1，此时 f(x)ax是增函数，g(x)logbx 是增函数，符合，排除.若 0a1，g(x)logbx 是减函数，排除，故填.(2)构造函数 y10 x与 y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示 因为 x1，x2是 10 x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别 为x1，x2，不 妨 设x2 1，1x10，则0lg()111，xx0lg()221，xx因 此00lg211 21 1，xxx x因 为000211 1，xx所 以lg(x1x2)0，即 0 x1x2bc 解析 由对数运算法则得 alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数

9、图象得 log32log52log72，所以 abc.命题点 2 解对数不等式 例 4 若 loga(a21)loga2a0，故必有 a212a，又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，所以 a12.综上，a(12，1)命题点 3 和对数函数有关的复合函数 例 5 已知函数 f(x)loga(3ax)(1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解(1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，

10、x0,2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0 且 a1，a(0,1)1，32.(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为 f(1)loga(3a)，32a0，loga3a1，即 a0，12log()0，xx 若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1)cab(2)1,2)(3)(1,0)(1，)解析(1)323,122，log33log32log33，log51log52log

11、22，12a1,0b1，cab.(2)令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有 g10，a1，即 2a0，a1，解得 1a0，212loglogaa或 a1 或1a0.2比较指数式、对数式的大小 典例(1)设 a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是_(2)设 alog2，12log，b c2，则 a，b，c 的大小关系为_(3)已知log 3.4log 3.6log 0.3155()5243，abc则 a，b，c 大小关系为_ 思维点拨(1)可根据幂函数 yx0.5的单调性或比商法确定 a，b 的

12、大小关系，然后利用中间值比较 a，c 大小(2)a，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和 c 比较(3)化为同底的指数式 解析(1)根据幂函数 yx0.5的单调性，可得 0.30.50.50.510.51，即 balog0.30.31，即 c1.所以 balog221，blog12log21log210,0c121，bclog3103log43.6.方法二 log3103log331，且1033.4，log3103log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3103log43.6.由于 y5x为增函数，32410loglog 3.4log 3.63555.即32

13、4log 0.3log 3.4log 3.615()55，故 acb.答案(1)bacb(3)acb 温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0或 1.方法与技巧 1对数值取正、负值的规律 当 a1 且 b1 或 0a1 且 0b0；当 a1 且 0b1 或 0a1 时，logab0.2对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 ylogax

14、的定义域应为(0，)对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1 进行分类讨论 3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性 4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y1 交点的横坐标进行判定 失误与防范 1在运算性质 logaMlogaM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为 logaMloga|M|(N*，且 为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 A 组 专项基础训练 (时间：40 分钟)1.若函数 ylogax(a0，且 a

15、1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是_(填序号)答案 解析 由题图可知 ylogax 的图象过点(3,1)，loga31，即 a3.中，y3x(13)x在 R 上为减函数，错误；中，yx3符合；中，y(x)3x3在 R 上为减函数，错误；中，ylog3(x)在(，0)上为减函数，错误 2已知 xln，ylog52，12e，z则 x，y，z 的大小关系为_ 答案 yzln e，x1.ylog52log55，0y1412，12z1.综上可得，yzx.3若函数 f(x)12x x4，fx1 x4，则 f(log23)_.答案 124 解析 1log23log242，3log23(4,5)，f(

16、log23)f(log231)f(log232)f(log233)f(log224)22log 24log 24122 21log2412.24 4设 f(x)lg21xa是奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_ 答案(1,0)解析 由 f(x)是奇函数可得 a1，f(x)lg1x1x，定义域为(1,1)由 f(x)0，可得 01x1x1，1x0，f(x)log2xlog2(2x)12log2xlog2(4x2)12log2x(log242log2x)log2x(log2x)2log2x1221414.当且仅当 x22时，有 f(x)min14.7设函数 f(x)满足 f(x)1f(

17、12)log2x，则 f(2)_.答案 32 解析 由已知得 f(12)1f(12)log22，则 f(12)12，则 f(x)112log2x，故 f(2)112log2232.8(2015福建)若函数 f(x)x6，x2，3logax，x2(a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a的取值范围是_ 答案(1,2 解析 由题意 f(x)的图象如右图，则 a1，3loga24，1a2.9已知函数212log()yxaxa在区间(，2)上是增函数，求 a 的取值范围 解 函数212log()yxaxa是由函数12logyt和 tx2axa 复合而成 因为函数12logyt在区间(0，)上单调递减

18、，而函数 tx2axa 在区间(，a2)上单调递减，又因为函数212log()yxaxa在区间(，2)上是增函数，所以 2a2，22 2aa0，解得 a2 2，a2 21，即 2 2a2(21)10设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间0，32上的最大值 解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由 1x0，3x0，得 x(1,3)，函数 f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当 x(1,1时，f(x

19、)是增函数；当 x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数 f(x)在0，32上的最大值是 f(1)log242.B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11(2015陕西改编)设 f(x)ln x,0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则 p、q、r 的大小关系是_ 答案 prq 解析 0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上为增函数，fab2f(ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)ln abp，故 prq.12设函数 f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时，f(x)ln x，则 f13，f12，f(

20、2)的大小关系是_ 答案 f(12)f(13)|131|121|，f(12)f(13)f(2)13函数 f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，则 ba 的最小值为_ 答案 23 解析 由题意可知求 ba 的最小值即求区间a，b的长度的最小值，当 f(x)0 时 x1，当f(x)1 时 x3 或13，所以区间a，b的最短长度为 11323，所以 ba 的最小值为23.14已知函数 f(x)lnx1x，若 f(a)f(b)0，且 0ab1，则 ab 的取值范围是_ 答案 0，14 解析 由题意可知 lna1alnb1b0，即 lna1ab1b0，从而a1ab1b1，化简得 ab1，故

21、 aba(1a)a2aa12214，又 0ab1，0a12，故 0a122140，且 a1)的最大值是 1，最小值是18，求 a 的值 解 由题意知 f(x)12(logax1)(logax2)12(log2ax3logax2)12(logax32)218.当 f(x)取最小值18时，logax32.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得 若12(loga232)2181，则 a132,此时 f(x)取得最小值时，1332(2)x 22,8，舍去 若12(loga832)2181，则 a12，此时 f(x)取得最小值时，321()2 22,82，x 符合题意，a12.