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1、学习必备 欢迎下载 复数代数形式的四则运算（教学设计）（2）3.2.2 复数代数形式的乘除运算 教学目标：知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质 过程与方法目标：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观目标：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。教学过
2、程：一、复习回顾，新课引入：1、复数 z1与 z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数 z1与 z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.4、复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)二、师生互动、新课讲解：乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多
3、项式相乘，在所得的结果中把 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
4、证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a
5、1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i
6、)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i 学习必备 欢迎下载 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例 1（课本 P58 例 2）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例 2（课本 P59 例 3）计算：（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+i)2.解：（1）(3
7、+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)（1+i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z的共轭复数为z。4.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商，记为：(a+bi)(c+di)或者dicbia 5.除法运算规则：设复数 a+bi(a，bR)，除以 c+di(c，dR)，其商为 x+yi(x，yR)，即(a+bi)(c+di)=x+
8、yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知.,bcydxadycx 解这个方程组，得.,2222dcadbcydcbdacx 于是有:(a+bi)(c+di)=2222dcadbcdcbdac i.利用(c+di)(cdi)=c2+d2.于是将dicbia的分母有理化得：原式=22()()()()()()abiabi cdiacbidibcad icdicdi cdicd 222222()()acbdbcad iacbdbcadicdcdcd.(a+bi)(c+di)=idcadbcdcbdac2222.点评：是常
9、规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 c+di与复数 cdi，相当于我们初中学习的23 的对偶式23，它们之积为 1 是有理数，而(c+di)(cdi)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法 例 3（课本 P60 例 4）计算(12)(34)ii 解：(12)(34)ii 1234ii 解共轭复数的定义及性质过程与方法目标理解并掌握复数的除法运算实扩充的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极动地建构知识交换律复数的加法运算满足结合律二师生互动新课讲解乘法运算规则规学习必备 欢迎下载 22(12)(34)38645
10、1012(34)(34)342555iiiiiiii 例 4 计算iiii4342)1)(41(解：iiii4342)1)(41(22143247(7)(34)343434iiiiiii 21432825251.2525iiii 课堂练习：（课本 P60 练习 NO：1；2；3）三、课堂小结、巩固反思：复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：2222dcadbcdcbdacdicbiai(c+di0).两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共
11、轭复数，再把结果化简 四、布置作业：A 组：1、（课本 P61 习题 3.2 A 组：NO：4）2、（课本 P61 习题 3.2 A 组：NO：5）3、（课本 P61 习题 3.2 B 组：NO：1）B 组：1.【2012 高考安徽文 1】复数z 满足iiiz2)(，则 z=（A）i 1 （B）i1（C）i 31 （D）i 21 【答案】B【解析】2()21izi iiziii 。2.【2012 高考新课标文 2】复数 z3+i2+i的共轭复数是 （A）2+i （B）2i （C）1+i （D）1i【答案】D【解析】iiiiiiiiz1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为iz 1
12、，选 D.3.【2012 高考山东文 1】若复数 z 满足(2)117i(izi 为虚数单位)，则z为 (A)3+5i (B)35i (C)3+5i (D)35i【答案】A 解共轭复数的定义及性质过程与方法目标理解并掌握复数的除法运算实扩充的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极动地建构知识交换律复数的加法运算满足结合律二师生互动新课讲解乘法运算规则规学习必备 欢迎下载【解析】iiiiiiiiz5352515)2)(2()2)(711(2711.故选 A.4.【2012高考浙江文2】已知i 是虚数单位，则31ii=A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】3
13、1ii(3)(1)2412(1)(1)2iiiiii.5.【2012 高考上海文 15】若12i是关于x的实系数方程20 xbxc 的一个复数根，则（）A、2,3bc B、2,1bc C、2,1bc D、2,3bc 【答案】D【解析】因为i 21是实系数方程的一个复数根，所以i 21也是方程的根，则bii22121，cii3)21)(21(，所以解得2b，3c，选 D.6.【2012 高考陕西文 4】设,a bR，i是虚数单位，则“0ab”是“复数bai为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】00aab或0b，而复数
14、biaiba是纯虚数00ba且，ibaab0是纯虚数，故选 B.7.【2012 高考辽宁文 3】复数11 i(A)1122i (B)1122i (C)1 i (D)1 i【答案】A【解析】11111(1)(1)222iiiiii，故选 A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。8.【2012 高考江西文 1】若复数iz 1（i为虚数单位)z是 z 的共轭复数，则2z+z 的虚部为 A 0 B-1 C 1 D -2 【答案】A【解析】因为iz 1，所以iz 1，所以022)1()1(2222iiiizz，选 A.9.【2012 高考湖南文 2】复数 z=i（
15、i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 解共轭复数的定义及性质过程与方法目标理解并掌握复数的除法运算实扩充的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极动地建构知识交换律复数的加法运算满足结合律二师生互动新课讲解乘法运算规则规学习必备 欢迎下载 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【答案】A【解析】由 z=i（i+1）=1 i，及共轭复数定义得1zi.【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把 Z 化成标准的(,)abi a bR形式，然后由共轭复数定义得出1zi.10.【2012 高考湖北文 12】.若=a+bi（a，b 为实数，i 为虚数单
16、位），则 a+b=_.【答案】3【解析】因为31bia bii，所以 31bia biia bb a i .又因为,a b都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a bb ab 解得0,3,ab所以3a b.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.11.【2012 高考广东文 1】设i为虚数单位，则复数34ii A.43i B.43i C.43i D.43i【答案】D【解析】法一：34(34)()43()iiiiiii.法二：234(34)34431iiiiiiii
17、i 12.【2102 高考福建文 1】复数（2+i）2等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i【答案】A.【解析】iii43)22()14()2(2，故选 A.13.【2102 高考北京文 2】在复平面内，复数103ii对应的点的坐标为 A(1,3)B(3,1)C(-1,3)D(3,-1)【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。iiiiiiiiiii3110301091030)3)(3()3(1031022，实部为 1，虚部为 3，对应复平面上的点为(1,3)，故选 A 14.【2012 高考天津文科 1】i 是虚数单位，复数534ii=
18、（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i【答案】C【解析】复数iiiiiiii1171717)4)(4()4)(35(435，选 C.15.【2012 高考江苏 3】（5 分）设abR，117ii12iab（i 为虚数单位），则ab的值为 解共轭复数的定义及性质过程与方法目标理解并掌握复数的除法运算实扩充的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极动地建构知识交换律复数的加法运算满足结合律二师生互动新课讲解乘法运算规则规学习必备 欢迎下载【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由117ii12iab 得11 7i12i117i11 15i14i=53i12i12i12i14ab，所以=5=3ab，=8ab。16.【2012 高考上海文 1】计算：31ii （i为虚数单位）【答案】i 21【解析】复数iiiiiiii21242)1)(1()1)(3(13。abR，）解共轭复数的定义及性质过程与方法目标理解并掌握复数的除法运算实扩充的让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极动地建构知识交换律复数的加法运算满足结合律二师生互动新课讲解乘法运算规则规