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1、学习必备 精品知识点 因式分解 知识点回顾 1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算 2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(cbammcmbma（2）运用公式法：平方差公式：)(22bababa；完全平方公式：222)(2bababa（3）十字相乘法：)()(2bxaxabxbax 因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法 5、同底数幂的乘法
2、法则：mnm naaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：235()()()ababab 6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(4 7、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx 8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：333
3、4)()()(baababab 9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于 1。学习必备 精品知识点 ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(233 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一
4、个单项式。如：xyzyx3232 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：)(3)32(2yxyyxx 12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：)6)(5()3)(23(xxbaba 三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算：am an=am+n(m，n 都是正整数).(am
5、)n=amn(m，n 都是正整数).例题 1.若6422a，则 a=；若8)3(327n，则 n=例题 2.若125512x，求xx2009)2(的值。例题 3.计算mnxyyx2322 练习 1.若32na，则na6=.2.设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y等于 。2.积的乘方 因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点(ab)n=anbn(n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
6、.例题 1.计算：43ppmnnmmn 3.乘法公式 平方差公式：22bababa 完全平方和公式：2222bababa 完全平方差公式：2222bababa 例题 1.利用平方差公式计算：2009 200720082 例题 2.利用平方差公式计算：22007200720082006 3.（a2b3cd）（a2b3cd）考点一、因式分解的概念 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算 1、下列从左到右是因式分解的是（）A.x(a-b)=ax-bx B.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2 C.x2-1=(x+1)(x-1)D.ax+
7、bx+c=x(a+b)+c 2、若2249akabb可以因式分解为2(23)ab，则 k 的值为_ 3、已知 a 为正整数，试判断2aa是奇数还是偶数？4、已知关于 x 的二次三项式2xmxn有一个因式(5)x，且 m+n=17，试求 m，n 的值 考点二 提取公因式法 提取公因式法：)(cbammcmbma 公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母 3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题 1、将多项式3222012a ba bc分解因式，应提取的公因式是（）因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公
8、因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 A、ab B、24a b C、4ab D、24a bc 2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)xxxx可因式分解为()(8)axbxc，其中 a，b，c 均为整数，则 a+b+c 等于（）A、-12 B、-32 C、38 D、72 3、分解因式（1）6()4()a abb ab （2）3()6()a xyb yx （3）12nnnxxx （4）20112010(3)(3)4、先分解因式，在计算求值（1）22(
9、21)(32)(21)(32)(12)(32)xxxxxxx 其中 x=1.5 （2）22(2)(1)(1)(2)aaaaa 其中 a=18 5、已知多项式42201220112012xxx有一个因式为21xax，另一个因式为22012xbx，求 a+b 的值 6、若210ab ，用因式分解法求253()ab a babb的值 7、已知 a，b，c 满足3ababbcbccaca ，求(1)(1)(1)abc的值。（a，b，c都是正整数）因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除
10、底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 考点三、用乘法公式分解因式 平方差公式)(22bababa 运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题 1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、22x4y B、22x2y1 C、224xy D、224xy 2、分解下列因式（1）2312x （2）2(2)(4)4xxx （3）22()()xyxy （4）32xxy （5）2()1ab （6）22229()30()25()ababab （7）22009201120101 3、若 n 为正整数，则22(21)(21)nn一定能被 8 整除 完全平方式
11、222)(2bababa 运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题 1、在多项式22x2xyy 22x2xyy 22xxy+y 24x1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、B、C、D、因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 2、下列因式分解中，正确的有（）32224aa ba(4a b)2x y2xyxyxy(x2)aaba
12、ca(abc)29abc6a b3abc(32a)22222x yxyxy(xy)333 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、5 个 3、如果22(3)16xmx是一个完全平方式，那么 m 应为（）A、-5 B、3 C、7 D、7 或-1 4、分解因式 (1)242mxmxm (2)22-42aa (3)xxx232 （4）22(23)(3)xx （5）2882x yxyy （6）22224(x-2xy)+2y(x-2xy)+y （7）4x212xy+9y24x+6y-3 5、已知2ab，2ab，求32231122a ba bab 6、证明代数式2210845xyxy的值总是正数 7、已知
13、 a，b，c 分别是ABC的三边长，试比较2222()abc与224a b的大小 因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 考点四、十字相乘法（1）二次项系数为 1 的二次三项式2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式ab、的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式2xpxq分解成 bxaxabxbaxqpxx22 例题讲解 1、分解因式：652 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。
14、由于 6=23=(-2)(-3)=1 6=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5 1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解 2、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+（-6）=-7 练习 分解因式(1)24142 xx (2)36152 aa (3)542 xx (4)22xx (5)1522 yy (6)24102 xx 2、二次项系数不
15、为 1 的二次三项式cbxax2 条件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例题讲解 1、分解因式：101132 xx 分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）=-11 解：101132 xx=)53)(2(xx 分解因式：（1）6752 xx （2）2732 xx 因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 （3
16、）317102 xx （4）101162yy 3、二次项系数为 1 的多项式 例题讲解、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba 分解因式(1)2223yxyx (2)2286nmnm (3)226baba 4、二次项系数不为 1 的多项式 例题讲解 22672yxyx 2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)=-7y (-1
17、)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 分解因式：（1）224715yxyx （2）8622 axxa 考点五、因式分解的应用 1、分解下列因式（1）233x （2）324x yx （3）32627xxx （4）2221abb 因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 2、计算下列各题（1）2(441)(21)aaa （2）222(2)()abcababc 3、解方程（1）2216(1
18、)25(2)xx （2）2(23)(23)xx 4、如果实数ab，且101101ababab，那么 a+b 的值等于_ 5、2222222221234562009201020112012.1234562009201020112012 6、若多项式212xax能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a 的值（写出 3 个）7、先变形再求值（1）已知1216xy，4xy，求43342x yx y的值 （2）已知23820 xx，求21232xx的值 因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法
19、则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负学习必备 精品知识点 8、已知 a、b、c 为三角形三边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试说明该三角形是等边三角形 9、两个正整数的平方差等于 195，求出这两个正整数 10、阅读下列因式分解的过程，回答问题 2231(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)xx xx xxxx xxxx （1）上述分解因式的方式是_，共用了_次。（2）若 分 解220121(1)(1).(1)xx xx xx x ，则 需 上 述 方 法 _ 次，结 果 为_（3）分解因式21(1)(1).(1)nxx xx xx x （n 为正整数）因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公法则都是正整数同底数幂相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式的除法法则都是正整数且同底数幂相除底数不变指数相减如零指数和负