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1、学习必备 欢迎下载 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形 如果两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形 全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，互相重合的顶点叫做对应顶点 全等三角形用符号“”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上将两个三角形的顶点同时按 1231 的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子 如图，ABC和DEF全等，记作ABC DFE 读作“ABC全等于DFE”2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等 如图，若ABC DFE，则 AB DF，AC DE，BC FE，(全等三角形的对应边相
2、等)AD，BF，CE(全等三角形的对应角相等)3、全等三角形的判定 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简记为“角边角”或“ASA”边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简记为“边角边”或“SAS”边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简记为“边边边”或“SSS”学习必备 欢迎下载 角角边定理：有两个角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等简记为“角角边”或“AAS”二、重难点知识 1、常见的全等三角形的基本图型 （1）平移全等型（如图）；（2）对称全等型（如图）；（3）旋转全等型（如图）2、判定方法边角边中的角是两边的夹角，角边角中的边是两角的夹
3、边 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.说明一个结论不成立只需举一个反例即可 如图在ABC与ABD中，AB AB，AC AD.用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载 BB，但ABC与ABD不能重合，故ABC与ABD不全等.所以应与两边及夹角对应相等的两个三角形全等区别开来，不能混为一谈 3、三角形全等的条件的选用 选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件 可选择的判
4、定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 三、典型例题分析 例 1、如下图，ABC ADE，且CAD 10，BD25，EAB 120，试求DFB和DGB的度数.分析：根据全等三角的对应角相等的性质，并结合三角形的内角和进行计算求解.解：ABC ADE，用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载 DAE BAC DAE BAC(EAB CAD)(120 10)55.在A
5、BF中，AFB 180(FAB B)180(55 1025)90 DFB 180AFB 1809090.又DFG 180DFB 1809090.在 RtDFG中，DGB 90D902565.DFB和DGB的度数分别为 90和 65.例 2、如图，四边形 ABCD 中，点 E在边 CD上，连接 AE、BE，其中，AD BC，12，AD BCAB，求证：(1)DE CE；(2)34.证明：延长 AE，BC相交于点 F (1)AD BF，1F.又12，2F，AB BF.又 AB AD BC，而 BFBCCF，AD CF 用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等
6、三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载 在ADE与FCE中，ADE FCE（AAS），DE CE.(2)由(1)知ADE FCE，AE EF 在ABE与FBE中，ABE FBE（SSS），34 例 3、如图，AE是BAC的平分线，AB AC.（1）若 D是 AE上任意一点，求证：ABD ACD.（2）若 D是 AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试证明你的猜想.（1）证明：AE平分BAC，12，在ABD和ACD中 ABD ACD（SAS）用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图
7、若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载（2）解：（1）中结论仍然成立.理由如下：AE平分BAC，3142180 34 在ABD和ACD中,ABD ACD（SAS）例 4、如图，已知 CE AD于 E，BFAD于 F，你能证明BDF与CDE全等吗？如果不能，请添加一个条件使这两个三角形全等，并证明 分析：根据全等的条件可知，只有“CE AD于 E，BFAD于 F”不能说明BDF和CDE全等，若要全等，需添一条边对应相等，所以添加的条件是 BD DC，可用AAS证明BDF CDE 解：不能；添加的条件是
8、BD DC；证明：CEAD于 E，BFAD于 F，BFD CED 90，用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载 在BDF和CDE中：BFD CED，BDF CDE，DB CD，BDF CDE（AAS）例 5、如图，在ABC中，ABC 60，AD、CE分别平分BAC、ACB 求证：AC AE CD 证明：在 AC上截取 AF AE，连接 OF 点 O是BAC与ACB的平分线 AD与 CE的交点，DOC OAC OCA（180ABC）
9、90ABC 60，得DOC AOE AOF 60，则FOC 60，故易证FOC DOC（ASA），DC FC，故 AC AF FCAE DC 点评：对于比较复杂的计算和证明问题，已知条件和结论之间的关系不明确，为了揭示图中隐含的性质，或是把分散的元素适当集中，或者把复杂的图形细分，或者为发挥特殊点线的作用，我们经常要利用添加辅助线来构造全等三角形从而证明我们所需要的结论 常用辅助线作法有(1)倍长中线法；（2）截长补短法；（3）分割构造全等三角形法 用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学学习必备 欢迎下载 用符号表示表示全等读作全等于注意对应顶点写在对应位置上将两个三角相等如图若则全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等角边或边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等简记为边边边或学