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1、学习必备 精品知识点 全等三角形 知识点梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。（4）全等三角形对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的周长和面积相等；3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三
2、角形全等。（AAS）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AA
3、S)（2）已知条件中有两边对应相等，可找:夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)学习必备 精品知识点（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找:任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)SASSSSHLAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边 找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边 找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定
4、已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证 明的问题）。常见考法：（1）利用全等三角形的性质：证明线段（或角）相等；证明两条线段的和差等于另一条线段；证明面积相等；（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。老师误区提醒：（1）忽略题目中的隐含条件；（2）不能正确使用判定公理。质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三
5、角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 340 B C全等三角形常见题型分类练习 全等三角形性质的应用 类型一.全等三角形的基本性质应用 1下列命题正确的是()A全等三角形是指形状相同的两个三角形 B全等三角形是指面积相同的两个三角形 C两个周长相等的三角形是全等三角形 D全等三角形的对应边相等、对应角相等 2.如图 1，ABD CDB，且 AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：()A.ABD和CDB的面积相等 B.ABD和CDB的周长相等 C.A+ABD=C+CBD D.AD/BC，且 AD=BC 3.（2009 海南）如图所示，已知图
6、中的两个三角形全等，则度数是（）A.72 B.60 C.58 D.50 第 2 题 第 3 题 4.（2009 陕西）如图，ACBAC B，BCB=30，则ACA的度数为（）A20 B30 C35 D40 5如图，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么BAE等于()AACB BBAF CF DCAF 6已知ABC EFG，有B=70，E=60，则C=（）A 60 B 70 C 50 D 65 7（2009 清远）如图，若111ABCABC，且11040AB ，则1C=8ABC中，ABC432，且ABCDEF，则E_ 第 4 题 第 5 题 第 7 题 9（2009 邵阳）如图，将
7、RtABC(其中B34，C90）绕 A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.56 B.68 C.124 D.180 000000A B C CAB C A B BA质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 第 9 题 第 12 题 10 一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_ 11 已知ABCDEF，DEF的周
8、长为 32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=_，BC=_，AC=_ 12如图，在正方形网格上有一个ABC 在网格中作一个与它全等的三角形；如每一个小正方形的边长为 1，则ABC的面积是 全等三角形的证明【基础应用】1（2009 年江苏省）如图，给出下列四组条件：ABDEBCEFACDF，；ABDEBEBCEF ，；BEBCEFCF ，；ABDEACDFBE ，其中，能使ABCDEF的条件共有（）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 2.如图，在ABC与DEF中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABC DEF，不能添加的一组条件是()A.B=E,BC=EF B.BC=
9、EF，AC=DF C.A=D，B=E D.A=D，BC=EF 3.（2009 广西）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（）A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 第 1、2 题 第 3 题 4.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。求证：ABE DCF。5如图：AB=AC，ME AB，MF AC，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC ABCDOBCMAFEF（图19）EDCBA质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相
10、等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 6.如图，1=2，ABC=DCB。求证：AB=DC。7.已知 BE=ED，1=2,求证：ABE CDE 8.如图；AB=AC，BF=CF。求证：B=C。9.如图：在ABC中，AD BC于 D，AD=BD，CD=DE，E是 AD上一点，连结 BE并延长交 AC于点 F。求证：（1）BE=AC，（2）BFAC。【能力提高】类型一、平行线性质的应用 FCA ABCD12F（图17）EDCBAFEDCBA质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两
11、边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 A B C F E D C E B F D A 1.如图：AC EF，AC=EF，AE=BD。求证：ABC EDF。2.如图（8）A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE CF，AE DF。求证：ABE DCF。3.(2009 武汉)如图，已知点 E、C在线段 BF上，BE=CF，AB DE，ACB=F求证：4.如图，AC和 BD相交于点 O，OA=OC,OB=OD.求证 DC AB.5.如图，点 B,E,C,F 在一条直线上，FB=CE,AB ED,AC FD.求证 AB=DE,AC=DF.6.（2009 黄石）如图，C、F在
12、BE上，A=D，AC DF,BF=EC 求证：AB=DE ABCDEF A B F C E D C O A B 质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 7.如图（16）AD BC，AD=BC，AE=CF。求证：（1）DE=DF，（2）AB CD。类型三、角平分线性质应用 1如图，ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DE AB于 E，若AC=10cm，则 BD+DE=（）A10cm B8cm C6cm D9cm
13、2尺规作图作AOB的平分线方法：以为 O圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB于 C、D，再分别以点 C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP,由作法得的根据是(）ASAS BASA CAAS DSSS 3.如图,C=90,AD平分BAC交 BC于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点 D到 AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 第 1 题 第 2 题 第 3 题 4如图，OP平分AOB，PA OA，PBOB垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PB BPO平分APB C OA=OB D AB垂直平分 OP 5如图，在ABC中，
14、AC=BC，ACB=90 AD平分BAC，BE AD交 AC的延长线于 F，E为垂足则结论：AD=BF；CF=CD；AC+CD=AB；BE=CF；BF=2BE，其中正确结论的个数是()A1 B.2 C3 D4 6.如图,在ABC 中,C=90,AC=BC,AD 平分BAC 交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,则DEB 的周长为 _ 12CDOCPODPEDCBAABCDO B A P ABCDEF（图16）EDCBA质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角
15、平分线上二灵学习必备 精品知识点 第 4 题 第 5 题 第 6 题 7.如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。求证：DE=DF 8.如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N 求证：OAB=OBA 9.已知：AC平分BAD，CE AB，B+D=180，求证：AE=AD+BE 10.如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B 类型四、垂直平分线性质应用 1 如图，在 RtABC中，B=90，ED是 AC的垂直平分线，交 AC于点 D，交 BC于点 E 已知BAE=10，则C的度数为（）A B C D 30
16、405060DCBAA E B D C F 质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 A D C E B 2如图，在ABC中，AD为 BC边上的中线，若 AB=5，AC=3，则 AD的取值范围是 。第 1 题 第 2 题 3.已知：AB=4，AC=2，D是 BC中点，AD是整数，求 AD 4.如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC CE，BD DF，AE=BF，AC=BD。求证：ACF BDE 类型五、添加辅助线（一）连接四边
17、形的对角线 1.如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD。（二）作垂线，利用角平分线的知识 1.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC 和NCA的平分线，它们交于点 P。求证：BP为MBN 的平分线。2.如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD，BD平分ABC，求证：AC180 ABCEFDABDC质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵学习必备 精品知识点 EDCBADOECBA3.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC （三）“截长补短”构造全等三角形 1.如图，ADBC，AE,BE 分别平分DAB,CBA，CD过点 E，求证;ABAD+BC 2.如图在ABC中，AB AC，12，P为 AD上任意一点，求证;ABAC PBPC 3.已知ABC中，A=60，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点 O，试判断 BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 21DABCPDBAC质全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形的对应边上应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形边的距离相等判定到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二灵