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1、2018 上海高三数学二模函数汇编（2018 宝山二模）10.设奇函数()f x定义为R，且当0 x 时，2()1mf xxx（这里m为正常数）若()2f xm 对一切0 x 成立，则m的取值范围是 .答案：2,（2018 宝山二模）15.若函数 f xxR满足1fx、1fx均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）)(Afx为奇函数 )(Bfx为偶函数 )(C 3f x为奇函数 )(D 3f x为偶函数 答案：C（2018 宝山二模）19.(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用
2、该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x（单位：千克/年）养殖密度为,0 x x（单位：尾/立方分米）。当x不超过4时，()g x的值恒为2；当420 x，()g x是x的一次函数，且当x达到 20 时，因养殖空间受限等原因，()g x的值为 0.（1）当020 x 时，求函数()g x的表达式。（2）在（1）的条件下，求函数()()f xx g x 的最大值。答案：（1）2,0,4,15,4,2082xg xxNxx；（2）12.5千克/立方分米（2018 虹口二模 5）已知函数20()210 xxxf xx，则11(9)ff 【解析】12,0()log(1),
3、0 xxfxxx，1(9)3f，111(9)(3)2fff （2018 虹口二模 11）x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2 044xx 满足1x 的所有实数解是 【解析】当01x，2 1x，21(2)22xx；当0 x，2 0 x，21(2)4x，1x，满足条件的所有实数解为0.5x 或1x （2018 虹口二模 21）已知函数3()f xaxxa（aR，xR），3()1xg xx（xR）.（1）如果342x是关于x的不等式()0f x 的解，求实数a的取值范围；（2）判断()g x在34(1,2和34,1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x存在零点q，使得4732n
4、aqqqq 成立的充要条件是343a.【解析】（1）3344()023fa ；（2）根据单调性定义分析，在34(1,2上递减，在34,1)2上递增；（3）“函数()f x存在零点q，使得4732naqqqq 成立”说明 473231nqaqqqqq 成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q，结合第（2）问，31qaq在34(1,2上递减，在34,1)2上递增，33min344()()123qagq，反之亦然.第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求
5、实（2018 杨浦二模 1）函数lg1yx的零点是 答案：10 x （2018 杨浦二模 17）（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计利润y(单位：元）与营运天数*x xN满足 21608002yxx.（1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？【解】（1）要使营运累计收入高于 800 元，令80080060212xx，2 分 解得8040 x.5 分 所以营运天数的取值
6、范围为 40 到 80 天之间 .7 分（2）6080021xxxy 9 分 20604002 当且仅当18002xx时等号成立，解得400 x 12 分 所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天.14 分 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实 （2018 杨浦二模 21）（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）记函数()f x的定义域为D.如果
7、存在实数a、b使得()()f axf axb对任意满足axD 且axD 的x恒成立，则称()f x为函数.（1）设函数1()1f xx，试判断()f x是否为函数，并说明理由；（2）设函数txgx21)(，其中常数0t，证明：)(xg是函数；（3）若)(xh是定义在R上的函数，且函数)(xh的图象关于直线xm（m为常数）对称，试判断)(xh是否为周期函数？并证明你的结论.【解】（1）1()1f xx 是函数 .1 分 理由如下：1()1f xx 的定义域为|0 x x，只需证明存在实数a，b使得()()f axf axb对任意xa恒成立.由()()f axf axb，得112baxax，即2(
8、)()axaxbax ax .所以22(2)()2baxa对任意xa恒成立.即2,0.ba 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实从而存在0,2ab，使()()f axf axb对任意xa恒成立.所以1()1f xx 是函数.4分（2）记()g x的定义域为D，只需证明存在实数a，b使得当axD 且axD 时，()()g axg axb恒成立，即1122axaxbtt恒成立.所以22(2)(2)a xa xa xa xttbtt ，5 分 化简得，
9、22(1)(22)(2)2axa xabtbtt.所以10bt,22(2)20abtt.因为0t，可得1bt，2log|at,即存在实数a，b满足条件，从而1()2xg xt是函数.10 分（3）函数)(xh的图象关于直线xm（m为常数）对称，所以)()(xmhxmh （1），12 分 又因为bxahxah)()(（2），所以当am 时，)2()22(amxmhamxh 由（1）)()2()2(xaahxahamxmh 由（2）)()(xhbxaahb （3）所以)22(22)22()44(amxhbamamxhamxh（取amxt22由（3）得）第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一
10、种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实再利用（3）式，)()()44(xhxhbbamxh.所以()f x为周期函数，其一个周期为am44.15 分 当am 时，即)()(xahxah，又)()(xahbxah，所以2)(bxah为常数.所以函数)(xh为常数函数，2)()1(bxhxh，)(xh是一个周期函数.17 分 综上，函数)(xh为周期函数。18 分 （2018 黄浦二模 3）若函数2()82fxa xx是偶函数，则该函数的定义域是 答案：2,2（2018 黄浦二模 6）方程33lo
11、g(3 25)log(41)0 xx 的解x 答案：2 （2018 黄浦二模 12）已知函数2()(02)f xaxbxcab对任意Rx恒有()0f x 成立，则代数式(1)(0)(1)fff 的最小值是 答案：3.（2018 黄浦二模 18）（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求
12、实形OAD挖去扇形OBC后构成的)已知10,(010)OAOBxx 米米，线段BACD、线段与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为弧度 (1)求关于x的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值 解(1)根据题意，可算得弧BCx(m)，弧10AD(m).又30BACDBCCD弧弧，于是，10101030 xxx ，所以，210(010)10 xxx.(2)依据题意，可知22111022OADOBCySSx扇扇 化简，得2550yxx 25225()24x.于是，当52x(满足条件010 x)时，max2254y(2m).答 所以当52x 米时铭牌的面
13、积最大，且最大面积为2254平方米.第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实 （2018 黄浦二模 20）（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 已知函数22,10,()=1,01.xxf xxx (1)求函数()f x的反函数1()fx；(2)试问:函数()f x的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程22()2
14、 1|()2 1|240f xxf xxax 的三个实数根123xxx、满足:123xxx，且32212()xxxx，求实数a的值 解(1)22,10,()=1,01.xxf xxx 当10 x 时，()2,0()2f xxf x 且.由2yx，得12xy，互换xy与，可得11()(02)2fxxx .当01x 时，2()1,()0f xxf x且-1.由21yx，得1+xy，互换xy与，可得1()1+(10)fxxx.11,01)上为“依赖函数”，求实数 m、n 乘积 mn 的取值范围；(3)已知函数 f(x)=(x a)2(a1，f(x)=(x 1)2在m，n递增，故 f(m)f(n)=1
15、，即(m 1)2(n 1)2=1，5 分 由 nm1，得(m 1)(n 1)=1，故1mnm，6 分 由 nm1，得 1m2，7 分 从而211211mmnmmm 在(1,2)m上单调递减，故(4,)mn，9 分 (3)因43a，故2()()f xxa 在4,43上单调递增，从而4()(4)13ff，即224()(4)13aa，进而4()(4)13aa，解得1a 或133a(舍)，13 分 从而，存在4,43x，使得对任意的 tR，有不等式22)41)(ttxsx 都成立，即22(302)txtxsx 恒成立，由22(402)3xsxx，15 分 得24(2)312xxs，由4,43x，可得4
16、(2)123xsx，又123yxx在4,43x单调递增，故当4x 时，max1239xx，从而4()92s，解得14s，故实数s的最大值为1418 分 （2018 浦东二模 4）已知1()fx是函数2()log(1)f xx的反函数，则1(2)f_.答案：3 （2018 浦东二模 11）已知()f x是定义在R上的偶函数，且()f x在0,上是增函数，第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实如果对于任意1,2x，(1)(3)f axf x 恒成立，则
17、实数a的取值范围是_.答案 1,0（2018浦东二模12）已知函数2()57f xxx.若对于任意的正整数n，在区间51,nn上存在1m 个实数012,maa aaL使得012()()()()mf af af af a L成立，则m的最大值为_.答案：6 （2018 浦东二模 20）（本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 6 分）已知函数()yf x定义域为R，对于任意Rx恒有(2)2()fxf x；（1）若(1)3f，求(16)f的值；（2）若(1,2 x时，2()22f xxx，求函数(),(1,8yf x x的解析
18、式及值域；（3）若(1,2x时，3()2f xx ，求()yf x在区间*(1,2,nnN上的最大值与最小值.解：1）(1)3f Q且(2)2()fxf x (2)3(2)f 1 分 22(2)3(2)f 1 分 33(2)3(2)f 1 分 44(16)(2)3(2)48ff 1 分 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实2）(2)2()()2()2xfxf xf xf (1,2x时，22()22(1)1f xxxx ，()(1,2f x 1 分
19、(2,4x时，221()2()2(1)1(2)2222xxf xfx ，1 分()4,2)f x 1 分(4,8x时，2211()2()2(2)2(4)422 24xxf xfx ，1 分()(4,8f x 1 分 得：222(1)1,(1,21()(2)2,(2,421(4)4,(4,84xxf xxxxx ，值域为 4,2)1 2(4,8（，1 分 3）(2)2()()2()2xfxf xf xf 当(1,2x时，3()2f xx 得：当2(2,2 x时，()2()32xf xfx 1 分 当1(2,2 nnx时，1(1,22nx，第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养
20、虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3 222222nnnnnnxxxxf xfffx L2 分 当1(2,2 nnx，n为奇数时，22()3 2,04nnf xx 当1(2,2 nnx，n为偶数时，22()3 20,4nnf xx 综上：1n 时，()f x在(1,2上最大值为 0，最小值为121 分 2n，n为偶数时，()f x在(1,2 n上最大值为24n，最小值为28n1 分 3n，n为奇数时，()f x在(1,2 n上最大值为28n，最
21、小值为24n1 分 （2018 普陀二模 2）若函数1()21f xxm是奇函数，则实数m _.答案：12（2018 普陀二模 3）若函数()23f xx的反函数为()g x，则函数()g x的零点为_.答案：3x （2018 普陀二模 20）（本题满分 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.定义在R上的函数()f x满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有()()f xttf x 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已
22、知函数如果是关于的不等式的解求实成立.（1）若函数()3f xkx，求实数k和t的值；（2）当2t 时，若0,2x，()(2)f xxx，求函数()f x在闭区间 2,6上的值域；（3）设函数()f x的值域为,a a，证明：函数()f x为周期函数.解：（1）由()()f xttf x 得，()3(3)k xtt kx 对Rx恒成立，即()(3)30kkt xkt 对Rx恒成立，则(1)0(3)300k tktt ，2分 即01kt.4 分（2）当0,2x时，2()(2)1(1)0,1f xxxx ，2 分 当 2,0 x时，即20,2x，由(2)2()f xf x 得1()(2)2f xf
23、 x，则1(),02f x，3 分 当2,4x时，即20,2x，由(2)2()f xf x 得()2(2)f xf x，则()2,0f x，4 分 当4,6x时，即22,4x，由()2(2)f xf x 得()0,4f x，5 分 综上得函数()f x在闭区间0,6上的值域为 2,4.6 分 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实（3）（证法一）由函数()f x的值域为,a a得，()f xt的取值集合也为,a a，当0t 时，()(),f xtt
24、f xta ta ，则taataa ，即1t.2 分 由(1)()f xf x 得(2)(1)()f xf xf x ，则函数()f x是以2为周期的函数.3 分 当0t 时，()(),f xttf xtata ，则taataa ，即1t .5 分 即(1)()f xf x，则函数()f x是以1为周期的函数.故满足条件的函数()f x为周期函数.6 分（证法二）由函数()f x的值域为,a a得，必存在0Rx，使得0()f xa，当1t 时，对1t，有00()()f xttf xtaa ，对1t ，有00()()f xttf xtaa ，则1t 不可能；当01t 时，即11t，001()()
25、f xf xtt，由()f x的值域为,a a得，必存在0Rx，使得0()f xta，仿上证法同样得01t 也不可能，则必有1t ，以下同证法一.（2018 徐汇二模 3）函数()lg(32)xxf x 的定义域为_ 答案：(0,)第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实（2018 徐汇二模 11）若函数222(1)sin()1xxf xx的最大值和最小值分别为M、m，则函数()sin1gxMmxMmx图像的一个对称中心是 答案：114，（2018
26、徐汇二模 19）(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数2()31f xxtx，其定义域为0,312,15，(1)当2t 时，求函数()yf x的反函数；(2)如果函数()yf x在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围【解】(1)38,8,138,73,136xxyxx；-6分(2)01 若302t，即0t，则 yf x在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8 分 02 若3152t，即10t，则 yf x在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10 分 03 当33122t，即28t 时，由于区间0,3关于对称轴32t的对称区间是 33,3tt，于是
27、当312332tt或33153122tt，即2,4t或6,8t时，函数 yf x在定义域上满足 1-1对应关系，具有反函数 综上，(,02,4)(6,810,)t-14分 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实（2018 长宁、嘉定二模 10）已知函数()2()lg1f xxax=+的定义域为R，则实数a的取值范围是_ 答案：1,1 （2018 长宁、嘉定二模 15）点P在边长为 1 的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM-运
28、动时，点P经过的路程x与APMV的面积y的函数()yf x=的图像的形状大致是下图中的（）答案：B （2018 长宁、嘉定二模 19）（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得 10 万元到 1000 万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过收益的 20%（1）若建立函数()yf x=模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数()f x模型的基本要求，并分析2150 xy=+是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）
29、若该团队采用模型函数103()2xaf xx-=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值 第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实 解：（1）设函数模型为)(xfy，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(xfy 满足：当1000,10 x时，)(xf在定义域1000,10上是增函数；9)(xf恒成立；5)(xxf恒成立 （3 分，每项得 1 分）对于函数2150 xy，当1000,10 x时，)(xf是增函数；9232021501000)1000
30、()(maxfxf，所以9)(xf恒成立；但10 x时，5102151)10(f，即5)(xxf不恒成立 因此，该函数模型不符合团队要求 （6 分，每项得 1 分）（2）对于函数模型2203102310)(xaxaxxf，当0203a即320a时递增 （2 分）当1000,10 x时，要使9)(xf恒成立，即9)1000(f，所以1000183a，3982a；（4 分）要使5)(xxf恒成立，即52310 xxax，015482axx恒成立，得出5192a （6 分）综上所述，3982a （7 分）所以满足条件的最小正整数a的值为 328 （8 分）第小题满分分第小题满分分某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技时的值恒为当是的一次函数且当达到时因养空间受限等原因的值为当时条件的所有实数解为或虹口二模已知函数如果是关于的不等式的解求实