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1、学习必备 精品知识点 七年级下册总复习 第一章 二元一次方程【知识点归纳】1.含有 个未知数，并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。2.把 个含有 未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程 两边的值都 的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称代入法。5.两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数
2、，从而得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称加减法。6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 。【典型例题】1已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把 c 给看错了，解得，求 abc 的值 2已知关于 x，y 的方程组的解是，求关于 x，y 的方程组的解 3先阅读，然后解方程组 解方程组时，可由得 xy=1，然后再将代入得 41y=5，求得 y=1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”学习必备 精品知识点 请用这样的方法解方程组 4阅读下列解方程组的方法，然后回答问题 解方程组 解：由得 2x+2y=2 即 x+y=1 16 得 16x+16y=16 得 x=
3、1，从而可得 y=2 方程组的解是（1）请你仿上面的解法解方程组 （2）猜测关于 x、y 的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证 5 南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区 若该植物园中现有 A、B 两个园区，已知 A 园区为矩形，长为（x+y）米，宽为（xy）米；B 园区为正方形，边长为（x+3y）米（1）请用代数式表示 A、B 两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对 A 园区进行整改，长增加（11xy）米，宽减少（x2y）米，整改后 A 区的长比宽多 350 米，且整改后两园区的周长之和为 980 米若 A 园区全
4、部种植 C 种花，B 园区全部种植 D 种花，且 C、D 两种花投入的费 C D 投入（元/平方米）13 16 收益（元/平方米）18 26 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 用与吸引游客的收益如下表：求整改后 A、B 两园区旅游的净收益之和（净收益=收益投入）6江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价 50 千元/件，乙种产品售价 30 千元/件，生产这两种产品需要 A、B 两种原料，生产甲产品需要
5、 A 种原料 4 吨/件，B 种原料 2 吨/件，生产乙产品需要 A 种原料 3吨/件，B 种原料 1 吨/件，每个季节该厂能获得 A 种原料 120 吨，B 种原料 50 吨（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？（2）在夏季中甲种产品售价上涨 10%，而乙种产品下降 10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产 25 件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是 1375 千元，A，B 两种原料还剩下多少吨？7小明从家到学校的路程为 3.3 千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路如果保持上坡路每小时行 3 千米平路每小时行 4 千米，下坡路每小时行 5 千米那么小明从
6、家到学校用一个小时，从学校到家要 44 分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。an.am=(m,n是正整数)做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 2.幂的乘方，不变，相乘。(an)m=(m,n是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。(ab)n=(n是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、分别相乘。5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，
7、再把所得的积 ，a（m+n）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b）（m+n）=。7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b）2=,（a-b）2=。9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2=，（a+b）2-（a-b）2=，a2+b2=（a+b）2-，a2+b2=（a-b）2+，（a+b）2=（a-b）2+，（a-b）2=（a+b）2-。【典型例题】1 已知 2a 5b=2c 5d=10，求证：（a1）（d1）=（
8、b1）（c1）2（1）已知 2x+2=a，用含 a 的代数式表示 2x；（2）已知 x=3m+2，y=9m+3m，试用含 x 的代数式表示 y 3我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图 1 或图 2 等图形的面积表示：（1）请你写出图 3 所表示的一个等式：（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2 11归纳与猜想：（1）计算：（x1）（x+1）=；（x1）（x2+x+1）=；（x1）（x3+x2+x+1）=；做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫
9、做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点（2）根据以上结果，写出下列各式的结果（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（x1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（3）（x1）（xn1+xn2+xn3+x2+x+1）=（n 为整数）；（4）若（x1）m=x151，则 m=；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+2+1 12认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出 多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+
10、2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n 取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和为 S，（结果用含字母 n 的代数式表示）13观察下列各式：（x1）（x1）=1；（x21）（x1）=x+1；（x31）（x1）=x2+x+1；（x41）（x1）=x3+x2+x+1；（1
11、）根据上面各式的规律可得（xn+11）（x1）=；（2）利用（1）的结论求 22015+22014+2+1 的值；（3）若 1+x+x2+x2015=0，求 x2016的值 第三章 因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 恒等变形；3.分解彻底。）2.几个多项式的 称为它们的公因式。3.如果一个多项式的各项有
12、公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（）4.找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2=，a2+2ab+b2=，a2-2ab+b2=。【典型例题】1仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及 m 的值 解：设另一个因式为（x+n），得 x24x+m=（x+3）（x+n）则 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 解得：n=7，
13、m=21 另一个因式为（x7），m 的值为21 仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是（2x5），求另一个因式以及 k 的值 2阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n 为正整数）3已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4a3b+a2b2
14、ab3+b4）；a5b5=（ab）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 4、先化简，再求值：33222491233xyxyx yxyxyxy，其中1,23xy17 5、已知323121710 xxx能被22mxmx整除，其商式为5xn，求 m、n 的值。6、已知 a、b、c 分别为ABC 的三边，你能判断2222224abca
15、 b的符号吗？第四章 相交线与平行线【知识点归纳】1.同一平面内的两条直线有 、（或平行）三种位置关系。2.在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线。（记作 a/b）3.过直线外一点有 直线与这条直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线 (平行线的 性)。5.有共同的 ，其中一角的两边分别是另一角的两边的 线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角 。两条直线相交，有 2 对对顶角，n 条直线相交于一点，有 n（n-1）对对顶角。6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在 ，同一侧的角，是同位角。7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，位置 角，是内错角。8.同旁内角：在“三线八角”中，夹在两
16、直线 ，在第三条直线 的角，是同旁内角。9.平移不改变图形的 和 ，不改变直线的 ，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 （或在同一直线上）。10.平行线的性质：（1）两直线平行，角相等；（2）直线平行，相等；（3）两直线平行，角互补。11.平行线的判定：做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点（1）角相等，两直线平行；（2）角相等，两直线平行；（3）角互补，两直线平行。12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
17、角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做 。13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 。14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于 。15.在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离。17.两条平行线的所有 都相等。两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离。【典型例题】1如图，直线 AE 与 CD 相交于点 B，射线 BF 平分ABC，射线 BG 在ABD 内，（1）若DBE 的补角是它的余角的 3 倍，求DBE 的度数；（2）在（1）的件
18、下，若DBG=ABG33，求ABG 的度数；（3）若FBG=100，求ABG 和DBG 的度数的差 2数学思考：（1）如图 1，已知 AB CD，探究下面图形中APC和PAB、PCD的关系，并证明你的结论 推广延伸：（2）如图 2，已知 AA1BA1，请你猜想A1，B1，B2，A2、A3的关系，并证明你的猜想；如图 3，已知 AA1BAn，直接写出A1，B1，B2，A2、Bn-1、An的关系 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识
19、点 拓展应用：（3）如图 4 所示，若 AB EF，用含，的式子表示 x，应为 A.180+-B.180-+C+-D+如图 5，AB CD，且AFE=40，FGH=90，HMN=30，CNP=50，请你根据上述结论直接写出GHM 的度数是 3已知，直线 ABDC，点 P 为平面上一点，连接 AP 与 CP （1）如图 1，点 P 在直线 AB、CD 之间，当BAP=60，DCP=20时，求APC （2）如图 2，点 P 在直线 AB、CD 之间，BAP 与DCP 的角平分线相交于点 K，写出AKC 与APC 之间的数量关系，并说明理由 （3）如图 3，点 P 落在 CD 外，BAP 与DCP
20、的角平分线相交于点 K，AKC 与APC 有何数量关系？说明理由 4已知 AMCN，点 B 为平面内一点，ABBC 于 B （1）如图 1，直接写出A 和C 之间的数量关系 ；（2）如图 2，过点 B 作 BDAM 于点 D，求证：ABD=C；5已知：MON=132，射线 OC 是MON 内一条射线，且CON+MOC=59 度问 OM 与 OC 是否垂直，并说明理由 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 6一张白纸上有三条直线
21、，已知直线 a 平行于直线 b，直线 b 平行于直线 c 且直线 a 与直线 b 之间的距离为 3 厘米，直线 b 与直线 c 之间的距离是 5 厘米，那么直线 a 与直线 c 之间的距离是几厘米？第五章 轴对称图形【知识点归纳】1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 。等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，圆有 条对称轴。2.轴对称变换不改变图形的 和 （含长度、角度、面积等）。3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 。4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点
22、到旋转中心的 相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的 相等。旋转不改变图形的 和 。【典型例题】1如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点 P 处开始依次关于点 A，B，C 作循环对称跳动，即第一次从点 P 跳到关于点 A 的对称点 M 处，第二次从点 M 跳到关于点 B的对称点 N 处，第三次从点 N 跳到关于点 C 的对称点处，如此下去（1）在图中标出点 M，N 的位置，并分别写出点 M，N 的坐标：（2）依次连接 M、N 和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；（3）猜想一下，经过第 2009 次跳动之后，棋子将落到什么位置 2将两块全等的含 30角的直角三角板
23、按图 1 的方式放置，已知BAC=B1A1C=30，AB=2BC （1）固定三角板 A1B1C，然后将三角板 ABC 绕点C 顺时针方向旋转至图 2 的位置，AB 与 A1C、A1B1分别交于点 D、E，AC 与 A1B1交于点 F 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 填空：当旋转角等于 20时，BCB1=度；当旋转角等于多少度时，AB 与 A1B1垂直？请说明理由 （2）将图 2 中的三角板ABC 绕点 C 顺时针方向旋转
24、至图 3 的位置，使ABCB1，AB 与A1C 交于点D，试说明 A1D=CD 3世界数学家大会于 2002 年在北京举办，大会的会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的“弦图”请你按要求拼图和设计图案每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上；每个直角三角形按原来的尺寸画，且互不重叠；五个图案互不全等，且不与图 1 全等（1）拼图游戏：应用你所学过的图形变换的知识，将四个直角三角形通过平移、旋转、翻折等方法，拼成以下方格纸中要求的四边形；（2）设计图案：用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案 设计一个既是轴对称图形 设计一个是中心对称图形 又是中心对称图形的图案 但不是轴对
25、称图形的图案 第六章 数据的分析【知识点归纳】1.加权平均数：权数之和为 。2.中位数：把一组数据按 顺序排列，如果数据的个数是 数，位于 的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是 数，位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数。3.众数：一组数据中，出现 的数。4.方差：一组数据中，各数据与其 之差的平方的 值。即 S2=。做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点【典型例题】1某地区初中毕业综合成绩按社会实践、考试成绩、体育测
26、试三项分别占 40%，40%，20%进行计算，毕业综合成绩达 80 分以上（包括 80 分）为“优秀毕业生”（1）下表是朝阳中学小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩统计表：（单位：分）计算并填写表中小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩；回答小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？（2）小亮绘制了一个不完整的该校去年 300 名学生毕业综合成绩优秀、良好、合格、不合格人数的扇形统计图（如图），根据图中提供的信息回答：扇形统计图中“不合格率”是多少？表示“良好”的扇形圆心角是多少度？2某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评
27、价，全班 50 位同学参与了民主测评结果如下表所示：表 1 演讲答辩得分表（单位：分）表 2 民主测评票数统计表（单位：张）A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数2 分+“较好”票数1 分+“一般”票数0 分；综合得分=演讲答辩得分（1a）+民主测评得分a（0.5a0.8）（1）当 a=0.6 时，甲和乙的综合得分是多少？（2）a 在什么范围时，甲的综合得分高？a 在什么范围时，乙的综合得分高？3甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组
28、射中靶的环数值记录如下表：选手组数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 98 90 87 98 99 91 92 96 98 96 社会实践 考试成绩 体育测试 毕业综合成绩 小聪 72 98 60 小亮 90 75 95 “好”票数“较好”票数“一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把学习必备 精品知识点 乙 85 91 89 97 96 97 98 96 98 98（1）根据上表数据，完成
29、下列分析表：平均数 众数 中位数 方差 极差 甲 94.5 96 16.65 12 乙 94.5 18.65 （2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？31某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 6 次，记录如下：甲 79 82 78 81 80 80 乙 83 80 76 81 79 81（1）请你计算这两组数据的平均数；（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从成绩的稳定性考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由 做二元一次方程组在一个二元一次方程组中使每一个方程两边的值都的种解方程组的方法叫做消元法简称代入法两个二元一次方程中同一未知问题的关键是寻找典型例题已知方程组甲同学正确解得而乙同学粗心把