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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题初中数学七年级下册知识点归纳七年级下册总复习第一章 二元一次方程【知识点归纳】1.含有 个未知数，并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。2.把 个含有 未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程 两边的值都 的一组
2、未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称代入法。5.两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做 消元法，简称加减法。6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 。【典型例题】1已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值2已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解3先阅读，然后解方程组解方程组时，可由得xy=1，然后
3、再将代入得41y=5，求得y=1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组4阅读下列解方程组的方法，然后回答问题解方程组解：由得2x+2y=2即x+y=1 16得16x+16y=16 得x=1，从而可得y=2方程组的解是（1） 请你仿上面的解法解方程组（2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证CD投入（元/平方米）1316收益（元/平方米）18265南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为矩形，长为（x+y）米，宽为（xy）米；B园区为正方形，边
4、长为（x+3y）米（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11xy）米，宽减少（x2y）米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A、B两园区旅游的净收益之和（净收益=收益投入）6江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，
5、每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？7小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路如果保持上坡路每小时行3千米平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。
6、an.am= (m,n是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。(an)m= (m,n是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b）（m+n）= 。7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b）2= ,（a-b）2= 。9.公式的灵活
7、变形：（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- 。【典型例题】1 已知2a5b=2c5d=10，求证：（a1）（d1）=（b1）（c1）2（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y3我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：
8、（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b211归纳与猜想：（1）计算：（x1）（x+1）= ；（x1）（x2+x+1）= ；（x1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（x1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x1）（xn1+xn2+xn3+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x1）m=x151，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+2+112认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+
9、b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）13观察下列各式：（x1）（x1）=1；（x21）（x1）=x+1；（x31）（x1）=x2+x+1；（x41）（x1）
10、=x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（xn+11）（x1）= ；（2）利用（1）的结论求22015+22014+2+1的值；（3）若1+x+x2+x2015=0，求x2016的值第三章 因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。）2.几个多项式的 称为它们的公因式。3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）4.找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公因式的字母：取各项中的相同字
11、母，相同字母的 的。5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。【典型例题】1仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n）则x24x+m=x2+（n+3）x+3n解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另一个因式以及k的值2阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x
12、（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）3已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4a3b+a2b2ab3+b4）；a5b5=（ab）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+14、先化简，再求值：，其中17 5、已知能被整除，其商式为，求m、n的值。6、已知a
13、、b、c分别为ABC的三边，你能判断的符号吗？第四章 相交线与平行线【知识点归纳】1.同一平面内的两条直线有 、 、 （或平行）三种位置关系。2.在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线。（记作a/b）3.过直线外一点有 直线与这条直线平行。4.平行于同一条直线的两条直线 (平行线的 性)。5.有共同的 ，其中一角的两边分别是另一角的两边的 线，这样的两个角叫做对顶角。对顶角 。两条直线相交，有2对对顶角，n条直线相交于一点，有n（n-1）对对顶角。6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在 ， 同一侧的角，是同位角。7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，位置 角，是内错角。8.同旁
14、内角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，在第三条直线 的角，是同旁内角。9.平移不改变图形的 和 ，不改变直线的 ，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 （或在同一直线上）。10.平行线的性质：（1）两直线平行， 角相等；（2）直线平行， 相等；（3）两直线平行， 角互补。11.平行线的判定：（1） 角相等，两直线平行；（2） 角相等，两直线平行；（3） 角互补，两直线平行。12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做 。13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 。14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直
15、线垂直于 。15.在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离。17.两条平行线的所有 都相等。两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离。【典型例题】1如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分ABC，射线BG在ABD内，（1）若DBE的补角是它的余角的3倍，求DBE的度数；（2）在（1）的件下，若DBG=ABG33，求ABG的度数；（3）若FBG=100，求ABG和DBG的度数的差2数学思考：（1）如图1，已知ABCD，探究下面图形中APC和PAB、PCD的关系，并证明你的结论
16、推广延伸：（2）如图2，已知AA1BA1，请你猜想A1，B1，B2，A2、A3的关系，并证明你的猜想；如图3，已知AA1BAn，直接写出A1，B1，B2，A2、Bn-1、An的关系拓展应用：（3）如图4所示，若ABEF，用含，的式子表示x，应为 A.180+- B.180-+ C+- D+如图5，ABCD，且AFE=40，FGH=90，HMN=30，CNP=50，请你根据上述结论直接写出GHM的度数是3已知，直线ABDC，点P为平面上一点，连接AP与CP（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当BAP=60，DCP=20时，求APC（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，BAP与DCP的角平分
17、线相交于点K，写出AKC与APC之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，点P落在CD外，BAP与DCP的角平分线相交于点K，AKC与APC有何数量关系？说明理由4已知AMCN，点B为平面内一点，ABBC于B（1）如图1，直接写出A和C之间的数量关系 ；（2）如图2，过点B作BDAM于点D，求证：ABD=C；5已知：MON=132，射线OC是MON内一条射线，且CON+MOC=59度问OM与OC是否垂直，并说明理由6一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，直线b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？第五章 轴
18、对称图形【知识点归纳】1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 。等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，圆有 条对称轴。2.轴对称变换不改变图形的 和 （含长度、角度、面积等）。3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 。4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的 相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的 相等。旋转不改变图形的 和 。【典型例题】1如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次从点P跳到关
19、于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，如此下去（1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标： （2）依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；（3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置2将两块全等的含30角的直角三角板按图1的方式放置，已知BAC=B1A1C=30，AB=2BC（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F填空：当旋转角等于20时，BCB1= 度；当旋转角等于多少度时
20、，AB与A1B1垂直？请说明理由 （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使ABCB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD3世界数学家大会于2002年在北京举办，大会的会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的“弦图”请你按要求拼图和设计图案每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上；每个直角三角形按原来的尺寸画，且互不重叠；五个图案互不全等，且不与图1全等（1）拼图游戏：应用你所学过的图形变换的知识，将四个直角三角形通过平移、旋转、翻折等方法，拼成以下方格纸中要求的四边形；（2）设计图案：用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案 设计一个既是轴对称图
21、形 设计一个是中心对称图形又是中心对称图形的图案 但不是轴对称图形的图案第六章 数据的分析【知识点归纳】1.加权平均数：权数之和为 。2.中位数：把一组数据按 顺序排列，如果数据的个数是 数，位于 的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是 数，位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数。3.众数：一组数据中，出现 的数。4.方差：一组数据中，各数据与其 之差的平方的 值。即S2= 。【典型例题】1某地区初中毕业综合成绩按社会实践、考试成绩、体育测试三项分别占40%，40%，20%进行计算，毕业综合成绩达80分以上（包括80分）为“优秀毕业生”社会实践考试成绩体育测试毕业综合成绩小聪72986
22、0 小亮907595 （1）下表是朝阳中学小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩统计表：（单位：分）计算并填写表中小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩；回答小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？（2）小亮绘制了一个不完整的该校去年300名学生毕业综合成绩优秀、良好、合格、不合格人数的扇形统计图（如图），根据图中提供的信息回答：扇形统计图中“不合格率”是多少？表示“良好”的扇形圆心角是多少度？2某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评结果如下表所示：表1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主
23、测评票数统计表（单位：张） ABCDE甲9092949588乙8986879491“好”票数“较好”票数“一般”票数甲4073乙4244规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数2分+“较好”票数1分+“一般”票数0分；综合得分=演讲答辩得分（1a）+民主测评得分a（0.5a0.8）（1）当a=0.6时，甲和乙的综合得分是多少？（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？3甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：选手组数12345678910甲98908798999192969896乙85918997969798969898（1）根据上表数据，完成下列分析表：平均数众数中位数方差极差甲94.59616.6512乙94.518.65（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？31某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取6次，记录如下：甲798278818080乙838076817981（1）请你计算这两组数据的平均数；（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从成绩的稳定性考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由-