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1、精品资料 欢迎下载 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0lim()PPf PA，其中0,P P的坐标为00(,),(,)x yxy 0lim()0,0,PPf PA 当00(;)PUPD时，有()f PA （方形邻域）0,0,当0 xx，0yy，00(,)(,)x yx y，有(,)fxy A （圆形邻域）0,0,当22000()()xxyy，有(,)f x yA 2.叙述00(,)(,)lim(,)x yx yf x y，00(,)(,)lim(,)x yx yf x y，00(,)(,)lim(,)x yxyf x y 的定义 000000(,)(,)lim(,
2、)0,0,(,)(,)(,)x yx yf x yGx xy yx yx yf x yG 当时，有 22000,0,0(,)Gxxyyf x yG 当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,(,)(,)(,)x yx yf x yGx xy yx yx yf x yG 当时，有 000000(,)(,)lim(,)0,0,(,)(,)(,)x yx yf x yGx xy yx yx yf x yG 当时，有 3.叙述0(,)(,)lim(,)x yyf x yA 的定义 00(,)(,)lim(,)0,0,0,(,)x yyf x yAMxM y yf x yA 当时，有 4.叙述
3、0(,)(,)lim(,)x yxf x y 的定义 00(,)(,)lim(,)0,0,0,(,)x yxf x yGMx xyMf x yG 当时，有 5.叙述(,)(,)lim(,)x yf x y 的定义(,)(,)lim(,)0,0,(,)x yf x yGMxM yMf x yG 当时，有 注：类似写出(,)(,)lim(,)x yf x y的定义，其中取,A ，取0,x ，取0,y 6.叙述f在点0P连续的定义 f在点0P连续，0，只要0(;)PU PD，就有0()()f Pf P，0，当0 xx，0yy，就有00(,)(,)f x yf xy，0，当2200()()xxyy，就
4、有00(,)(,)f x yf xy 精品资料 欢迎下载 7.叙述f在D上一致连续的定义 f在D上一致连续 0,P QD 只要(,)P Q，就有()().f Pf Q 8.叙述f在D上不一致连续的定义 f在D上不一致连续00,P QD 尽管(,)P Q，但有0()().f Pf Q 二 疑难问题与注意事项 1.00(,)|0,0 x yxxyy 表示空心邻域吗？答：不是0000(,)|,(,)(,)x y x xy yx yx y 只是00(,)|,x yx xyy 去掉一点00(,)xy，而00(,)|0,0 x yxxyy 是00(,)|,x y x xy y 去掉了两条线段，000(,)
5、|,x yxx yyy ，000(,)|,x yyy xxx 2.E的界点是E的聚点吗？答：不一定，E的界点还可能是E的孤立点 3.E的聚点一定属于E吗？答：不一定，例如，22(,)|14Dx yxy，满足224xy的一切点也是D的聚点，但它们都不属于D 注 E的内点，孤立点一定属于E，E的聚点，界点可能属于E，也可能不属于E，E的外点一定不属于E 4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域
6、上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载 一点的邻域有无穷多个点 5.12xx，2212()xxyy12（-），1212xxyy之间有什么关系？答：221212121212()xxyyxxyyxxyy12或（-）6.用方形邻域证明00(,)(,)lim(,).x yxyf x yA的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim(,).x yxyf x yA怎么证呢？-关键也是找.（用方形邻域的思路0,0,当0 xx，0yy，00(,)(,)x yx y，有(,)f x yA.）当00(,)(,)x yxy，有00(,)(,)x yxy，把(,)f x yA化简为下述形式:00
7、(,),f x yAx y xxx yyy（注意一定要出现0 xx，0yy）.然后将 ,x yx y适 当 放 大，有 时 先 要 限 定01xx，01yy,估 算 得 ,xyMxyN,则（最综化简到00(,)f x yAM xxN yy 这个形式）；0，要使(,)f x yA ，只要00M xxN yyMN ，即要MN，取1min(,)MN，于是0,0,当0 xx，0yy，00(,)(,)x yx y，有(,)f x yA.7.证明判断二元函数,f x y在(,)(0,0)x y 时二重极限不存在？答：1）当动点(,)x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim(,)
8、x yy mxf x y值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在 2）令cosxr，sinyr，0lim(cos,sin)rf rr与有关，则二重极限(,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在 注意 若0lim(cos,sin)rf rr与无关，则二重极限(,)(0,0)lim(,)x yf x y存在 3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同 4）证明两个累次极限存在但不相等 8.当动点(,)x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim(,)x yy mxf x y值与m无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim(,)x
9、 yf x y存在吗？出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载 答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y都无限接近于同一个常数，动点(,)x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式 9.计算二元函数极限有哪些方法？1)利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求22(,)(0,0)1lim()sinx yxyxy 解 因为(,)(0,0)lim()0
10、 x yxy，而221sin1xy，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知 22(,)(0,0)1lim()sin0 x yxyxy 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()limx yxyxy 解 利用变量替换令22uxy，当(,)(0,0)x y 时，有0u，因此 2222(,)(0,0)0sin()sinlimlim1x yuxyuxyu 3）利用极坐标变换令cosxr，sinyr，如果(cos,sin)f rr沿径向路径关于 0,2一致成立，则(,)(0,0)0lim(,)lim(cos,sin)x yrf x yf rr；例 求222
11、(,)(0,0)limx yx yxy 解 利用极坐标变换 令c osxr，sinyr，当(,)(0,0)x y 时，有0r，因此 2322222(,)(0,0)00cossinlimlimlim cossin0 x yrrx yrrxyr 4）利用不等式，使用夹逼准则 例 2244(,)(,)limx yxyxy 出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载 解 因为2222442222110222xyxyxyx yyx，而22(,)
12、(,)11lim022x yyx 因此2244(,)(,)lim0 x yxyxy 5）初等变形求极限，如1极限，凑 1e 1，0 例2(,)(,0)1lim1xx yx yx 解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim1lim1x yxxxxx yx yx yx yx yeexx 10重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在（4）两个累次极限可能都存在，可能
13、都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等 11.二元函数,f x y在00,xy连续，与一元函数 0,f x y在0 x连续，一元函数 0,f x y在0y连续有什么关系？答 反例 二元函数1,0,(,)0,0 xyf x yxy在原点处显然不连续但由(0,)(,0)0,fyf x 因此在原点处f对x和对y分别都连续 三 典型例题 1求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合 出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因
14、精品资料 欢迎下载 （1）22,144yEx yx；（2）,0,1Ex y x y都是中的有理数；（3）,Ex y x y都是整数；（4）1,sinEx yyx 解：（1）E的内点集合是 22,144yEx yx，边界点集合是 2222,1444yyEx y xx或，聚点集合是 22,144yEx yx 没有孤立点 （2）E没有内点，（因为E中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；边界点集合是 0,10,1聚点集合是 0,10,1，没有孤立点 （3）E没有内点，（因为E中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）边界点集合是E，没有聚点，孤立点集合是E （4）E没有内点，聚点是 1,s
15、inEx yyx,0,11x y xy ，没有孤立点，界点是 1,sinEx yyx,0,11x y xy 2 证明0000(,)(,)(),()nnnnxyxynxxyy n 证：（）由于00(,)(,)()nnxyxyn，即对0，NZ，当nN时 有2200()()nnxxyy，因此有 22000|()()nnnxxxxyy，22000|()()nnnyyxxyy，即00,()nnxxyy n 出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎
16、下载 （）由于00,()nnxxyy n，即对0，NZ，当nN时有0|2nxx，0|2nyy，从而有 220000()()nnnnxxyyxxyy，即 00(,)(,)()nnxyxyn 3（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子 （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子 （4）举出两个累次极限都不存在的例子 解：（1）例如(,)xyf x yxy在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等 000lim limlim11xyxxyxy，000lim limlim11yxyxyxy （2）例如22(,)xyf x yxy在(0,0)点的两个累次极限
17、存在，且相等 22000limlimlim00 xyxxyxy，2200lim lim0yxxyxy （3）例如1(,)sinf x yxy在(0,0)点只有一个累次极限存在 001limlimsinxyxy不存在，001limlimsin0yxxy （4）例如11(,)sinsinf x yxyyx在(0,0)点两个累次极限都不存在 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等 4试作函数,f x y，使当0 x，0y 时(1)两个累次极限存在而重极限不存在；(2)两个累次极限不存在而重极限存在；(3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限
18、与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在 出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载 解（1）22(,)xyf x yxy，两个累次极限存在（见上题），但 2222222,0,00 limlim1x yxy kxxykxkxyxk xk，因为与k有关系，因此重极限不存在 （2）11(,)sinsinf x yxyyx，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ,0,011limsinsin=0 x yxyyx （3）2211(
19、,)f x yxy，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在 （4）1(,)sinf x yxy或1(,)sinf x yyx 变形：当x ，y 时，有10 x，10y，（1）22221 1(,)11xyx yf x yxyxy；（2）11(,)sinsinf x yyxxy；（3）22(,)f x yxy；（4）1(,)sinf x yyx 5.讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),xx yf x yxyx y在(0,0)点的连续性 解 令cosxr，sinyr，222(,)(0,0)0coslimlimx yrxrxyr 当2，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知
20、22(,)(0,0)lim00,0 x yxfxy，因此出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载(,)f x y在(0,0)点连续；当2，由极限值与有关，二重极限不存在，因此(,)f x y在(0,0)点不连续；当2，由20coslimrrr不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y在(0,0)点不连续 6设(,)f x y定义在闭矩形域,.Sa bc d若f对y在,c d上处处连续,对x在,a b(且关于y)为一致连续.证明f
21、在S上处处连续.分析：要证f在S上处处连续，只要证00,xyS，f在00,xy连续，即证，0，当0 xx，0yy，就有00(,)(,)f x yf xy，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证，0，当0 xx，0yy，0000(,)(,)(,)(,)f xyf x yf x yf x y（因为条件是f对y在,c d上处处连续,对x在,a b(且关于y)为一致连续，因此插入0(,)f xy.证明：因为f对y在,c d上处处连续，则 0,f xy在0y连续，于是，0，当0yy，就有000(,)(,)2f xyf xy.因为对x在,a b(且关于y)为一致连续，则有，0，当0 xx（对任意
22、y 就有0(,)(,)2f x yf xy.因此，0，当0 xx，0yy，就有 00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x yf xyf xyf xyf x yf xyf xyf xy.7.设00lim()()yyyyA，00lim()()0 xxxx，且在00(,)xy附近有 ,()()f x yyx，证明 00,lim(,)x yxyf x yA.分析：要证 00,lim(,)x yxyf x yA，只要证0,0,当0 xx，0yy，出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点
23、一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因精品资料 欢迎下载 00(,)(,)x yx y，有(,)f x yA.而,f x y与()y有关系，因此就要插入()y，即证(,)()()f x yyyA.证 由00lim()()yyyyA得，0,0,当0yy，有()2yA.由00lim()()0 xxxx得，0,0,当0 xx，有()2x.因为在00(,)xy附近有,()()f x yyx，于是当0 xx，0yy有 ,()2f x yy.因此0,0,当0 xx，0yy有(,)()()(,)()()f x yyyAf x yyyA ，因此 00,lim(,)x yxyf x yA.8.
24、f在E上一致连续的充要条件是：对E中的每一对点列,kkPQ如果lim,0kkkP Q，便有 lim0kkkf Pf Q.证 必要性 f在E上一致连续 0,P QD 只要(,)P Q，就有()().f Pf Q lim,0kkkP Q对上述，,kkNkNP Q 有，因此()().kkf Pf Q 即 lim0kkkf Pf Q.充分性 反证法，设f在D上不一致连续00,P QD 尽管(,)P Q，但有0()().f Pf Q 则取1,1,2,kk总有相应的kkPQD、，虽然1(,)kkP Qk，但是 0()().kkf Pf Q 即lim,0kkkP Q，lim0kkkf Pf Q，矛盾.因此f在E上一致连续.出的定义其中取取取叙述在点连续的定义在点连续只要就有当就有当就吗答不是只是去掉一点而是去掉了两条线段的界点是的聚点吗答不一定的外点一定不属于区域上每一点都是聚点吗答区域上每一点都是聚点因