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1、 第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述，其中的坐标为当时，有（方形邻域）当，有（圆形邻域）当，有2. 叙述，的定义3.叙述的定义4.叙述的定义5. 叙述的定义注：类似写出的定义，其中取，取，取6.叙述在点连续的定义在点连续， ，只要，就有， ，当，就有， ，当，就有7.叙述在上一致连续的定义在上一致连续只要，就有8.叙述在上不一致连续的定义在上不一致连续尽管，但有二 疑难问题与注意事项1. 表示空心邻域吗？答：不是只是去掉一点，而是去掉了两条线段，2. 的界点是的聚点吗？答：不一定，的界点还可能是的孤立点 3. 的聚点一定属于吗？答：不一定，例如，满足的一切点也是的聚点，
2、但它们都不属于注 的内点，孤立点一定属于，的聚点，界点可能属于，也可能不属于，的外点一定不属于4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点5. ，之间有什么关系？答：6.用方形邻域证明的思路是什么？答：证明怎么证呢？-关键也是找.（用方形邻域的思路当，有.）当，有，把化简为下述形式:（注意一定要出现，）.然后将适当放大，有时先要限定，,估算得,则（最综化简到这个形式）；，要使，只要，即要，取，于是当，有.7. 证明判断二元函数在时二重极限不存在？答：1）当动点沿着直线而趋于定点时，若值与有关，则二重极限不存在2）
3、令，与有关，则二重极限不存在注意 若与无关，则二重极限存在3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同4）证明两个累次极限存在但不相等8. 当动点沿着直线而趋于定点时，若值与无关，能说明二重极限存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数，动点沿着直线而趋于定点这只是一种方式，还有其它方式9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求解 因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限； 例 解 利用变量替换令，当时，有，因此3）利用极坐标变换令，如果沿径向
4、路径关于一致成立，则；例 求解 利用极坐标变换令，当时，有，因此4）利用不等式，使用夹逼准则例 解 因为，而因此5）初等变形求极限，如极限，凑，例解 10重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限与其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等11.二元函数在连续，与一元函数在连续，一元函数在连续有什么关系？答 反例 二元函数在原点处
5、显然不连续但由 因此在原点处对与对分别都连续三 典型例题1求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合 （1） ； （2）；（3）；（4） 解：（1）的内点集合是，边界点集合是，聚点集合是没有孤立点 （2）没有内点，（因为中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是聚点集合是，没有孤立点 （3）没有内点，（因为中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是，没有聚点，孤立点集合是 （4）没有内点，聚点是，没有孤立点，界点是2 证明 证：（）由于，即对，当时有，因此有即 （）由于，即对，当时有，从而有即 3（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子（2）举出
6、两个累次极限存在，且相等的例子 （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子 （4）举出两个累次极限都不存在的例子 解：（1）例如在点的两个累次极限存在，但不相等 （2）例如在点的两个累次极限存在，且相等 （3）例如在点只有一个累次极限存在不存在， （4）例如在点两个累次极限都不存在 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等 4试作函数，使当，时(1)两个累次极限存在而重极限不存在；(2)两个累次极限不存在而重极限存在；(3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在解（1），两个累次极限存在（见上题
7、），但因为与有关系，因此重极限不存在 （2），在点两个累次极限都不存在，但重极限存在 （3），在点的两个累次极限，重极限都不存在 （4）或变形：当，时，有， （1）； （2）； （3）； （4）5. 讨论二元函数在点的连续性解 令，当，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知，因此在点连续；当，由极限值与有关，二重极限不存在，因此在点不连续；当，由不存在，则二重极限不存在，因此在点不连续6设定义在闭矩形域若对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续.证明在上处处连续. 分析：要证在上处处连续，只要证，在连续，即证，当，就有，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证，当， （因为条件是对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续，因此插入. 证明：因为对在上处处连续，则在连续，于是，当，就有. 因为对在(且关于)为一致连续，则有，当（对任意就有.因此，当，就有 7. 设，且在附近有证明.分析：要证，只要证当，有.而与有关系，因此就要插入，即证 证 由得，当，有. 由得，当，有.因为在附近有，于是当，有因此当，有因此.8. 在上一致连续的充要条件是：对中的每一对点列如果，便有.证 必要性 在上一致连续只要，就有对上述，因此即.充分性 反证法，设在上不一致连续尽管，但有则取总有相应的，虽然，但是 即，矛盾.因此在上一致连续.第 11 页