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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第十六章 一 概念表达题多元函数的极限与连续习题课名师归纳总结 1. 表达P lim Pf P 0 A,其中P P 的坐标为 , ,x 0,y 0第 1 页,共 10 页P lim Pf P 0 A0,0,当PU0P 0;D 时,有f P A（方形邻域）0,0,当xx 0,yy 0, , x y ,有f xy A（圆形邻域）0,0,当0xx 02 yy 02,有f x y , A2. 表达lim , x 0,y 0f x y , ,lim , x y 0 0f x y , , , x y lim x 0,y 0f x y ,
2、的定义 , lim x yf x y 0 0 , G0,0, 当x x 0,yy 0, , x y 0 时,有 f x y , GG0,0,当 0xx 02yy02时,有f x yG , lim x yf x y 0 0 , G0,0, 当xx 0,yy 0, , x y 0 时,有 f x y , G , lim x yf x y 0 0 , G0,0, 当x x 0,yy 0, , x y 0 时,有f x y , G3. 表达 , x y lim ,y 0f x y , A 的定义 , lim ,yf x y 0 , A0,M0,0, 当 xM yy 0时,有f x y , A4. 表达
3、 , x y lim x 0,f x y , 的定义 , lim x 0,f x y , G0,0,M0, 当xx 0,yM 时,有 f x y , G5. 表达 , lim ,f x y , 的定义 , lim ,f x y , G0,M0, 当 xM yM 时,有 f x y , G注：类似写出 , lim , f x y , 的定义,其中取A ,取x0,取y 0,6. 表达 f 在点P 连续的定义f 在点P 连续,0,只要PU P 0;D ,就有f P f P 0,0 ,当xx 0,yy 0,就有f x y , f x 0,y 0,0 ,当xx 02yy 02 ,就有f x y , f
4、x 0,y 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载7. 表达 f 在 D 上一样连续的定义f 在 D 上一样连续0,P QD 只要P Q,就有f P f Q .8. 表达 f 在 D 上不一样连续的定义f 在 D 上不一样连续00,P Q.D 尽管P Q,但有f Pf Q0二 疑难问题与留意事项1. , | 0xx 0,0yy 0表示空心邻域吗？x,yy 0去答：不是 , |x x 0,y y 0, , ,0只是 , |x x 0掉一点x 0,y0,而 , |0xx 0,0yy 0是 , | x y x x 0,y y 0去掉了两条线段
5、, , |xx 0,y 0yy 0, , |yy x 0x 02.E 的界点是 E 的聚点吗？答：不肯定, E 的界点仍可能是E的孤立点3.E 的聚点肯定属于E 吗？答：不肯定, 例如,Dx y |1x2y24,满意x2y24的一切点也是D 的聚点,但它们都不属于DE , E 的聚点, 界点可能属于E ,也可能不属于E , E注 E 的内点, 孤立点肯定属于的外点肯定不属于E 4. 区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点,由于区域是连通的开集,既然连通,就能保证,区域上每名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - -
6、精品资料 欢迎下载一点的邻域有无穷多个点5. x 1 x 2,（x 1-x 2）2 y 1 y 2 2,x 1 x 2 y 1 y 2 之间有什么关系？答：x 1 x 2 或 y 1 y 2（x 1-x 2）2 y 1 y 2 2x 1 x 2 y 1 y 26. 用方形邻域证明 lim f x y , A 的思路是什么？ , x 0 , y 0 答：证明 , x y lim x 0 , y 0 f x y , A 怎么证呢？ -关键也是找 . （用方形邻域的思路 0, 0, 当 x x 0,y y 0, , x 0 , y 0 ,有f x y , A . ）当 , x y x 0 , y 0
7、 ,有 , x y x 0 , y 0 ,把 f x y , A 化简为下述形式 : f x y A x y x x 0 x y y y 0（留意肯定要显现 x x 0,y y 0）. 然后将 x y , x y 适 当 放 大 , 有 时 先 要 限 定 x x 0 1,y y 0 1 , 估 算 得x , y M , x y , 就（最综化简到 f x y , A M x x 0 N y y 0 这个形式）；0,要使 f x y , A,只要 M x x 0 N y y 0 M N,即要, 取 min 1 , , 于 是 0, 0,当 x x 0,y y 0,M N M N , x y 0
8、 ,有 f x y , A . 7. 证明判定二元函数 f x y 在 , 0,0 时二重极限不存在？答：1）当动点 , x y 沿着直线 y mx而趋于定点0,0时,如 , lim 0,0 f x y值与 my mx有关,就二重极限 , x y lim 0,0 f x y不存在2） 令 x r cos,y r sin,lim r 0 f r cos , sin 与 有 关 , 就 二 重 极 限 , x y lim 0,0 f x y不存在留意 如 lim r 0 f r cos , sin 与 无关,就二重极限 , x y lim 0,0 f x y存在3）找自变量的两种变化趋势,使两种方
9、式下极限不同4）证明两个累次极限存在但不相等名师归纳总结 8. 当动点 , x y 沿着直线 ymx而趋于定点 0,0 时,如lim , 0,0y mxf x y 值与m无第 3 页,共 10 页关,能说明二重极限 , lim 0,0f x y存在吗？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载0,0 时,函数答：不能,由于所谓二元函数存在极限,是指 , x y 以任何方式趋于f x y , 都无限接近于同一个常数,动点 , x y 沿着直线 ymx而趋于定点 0,0 这只是一种方式,仍有其它方式9. 运算二元函数极限有哪些方法？1利用有界函数与
10、无穷小的乘积是无穷小；21y 21,利用有界函数与无穷小的乘积例求lim , 0,0xysinx21y2解由于limx y , 0,0xy0,而sinx是无穷小,即知lim , 0,0xysin2 x1y202）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例lim , x y 0,0sinx2yy20,0时,有u0,因此x22解利用变量替换令ux22 y ,当 , lim , 0,0sinx2yy2lim u 0sinu12 x2u3）利用极坐标变换令xrcos,yrsin,假如f r cos , sin沿径向路径关于0,2一样成立,就 , x y lim 0,0f x y , lim r
11、0f r cos , sin ；例求lim , x y 0,0x2 x y2,当 , 0,0时,有r0,2y解利用极坐标变换 令xrcos,yrsin因此lim , 0,02 x y2lim r 0r32 cos2sinlim r 0r2 cossin02 xyr4）利用不等式,使用夹逼准就名师归纳总结 例 , x ylim ,2 xy2第 4 页,共 10 页4 xy4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 由于0x2y2精品资料12欢迎下载 , lim ,12120x2y212,而x4y422 x y22y2x2y2x因此 , x ylim ,x2y
12、2011e,xx0 ex ylim ,0xxyex4y45）初等变形求极限,如1极限,凑例lim , ,011x2xy,011xx解 , lim ,011x2 , x ylim yx yxx10重极限与累次极限有什么关系？答：（1）重极限与累次极限没有必定的包蕴关系（除了如两个累次极限存在但不相等能 推重极限存在） ；（2）如两个重极限与累次极限都存在时,就三者相等；（3）如重极限和其中一个累次极限存在时就这两者相等,不存在另一个累次极限可能存在可能（4）两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可能相等,也可能不相等在11. 二元函数f x y 在x 0,y 0连
13、续, 与一元函数fx y 0在0x 连续, 一元函数f x y0y 连续有什么关系？答反例 二元函数f x y , 1,xy0,在原点处明显不连续但由0,xy0 因此在原点处f0,yf x ,00,f 对 x 和对 y 分别都连续三 典型例题1求以下平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）Ex y1x2y2精品资料欢迎下载4；4（ 2）Ex yx y都是0,1中的有理数；4,；y 2（ 3）Ex yx y都是整数（ 4）Ex yysin1x解：（1） E 的内点集合是
14、Ex y1x24边界点集合是Ex y2 xy21 或x2y2444聚点集合是Ex y1x22 y44没有孤立点（2） E 没有内点,（由于 E 中任意一点的邻域既含有有理数,也含有无理数）；边界点集合是 0,1 0,1 聚点集合是 0,1 0,1 ,没有孤立点（3） E 没有内点,（由于 E 中任意一点的空心邻域当距离很小时,不含整数点）名师归纳总结 边界点集合是E ,没有聚点,孤立点集合是E x yx0, 1y1,没有第 6 页,共 10 页（4） E 没有内点,聚点是Ex yysin1x孤立点,界点是Ex yysin1x yx0, 1y1N 时xy n2证明xn,ynx0,y 0nx nx
15、 0,yn证：（）由于xn,ynx 0,y 0n,即对0 ,NZ,当 n有x nx 02y ny 02 ,因此有,|x nx 0|x nx 02y ny 02|yny 0|x nx 02yny 02 ,即x nx 0,yny n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）由于xnx0,yn精品资料欢迎下载0 ,NZ,当 nN 时有y0n,即对|x nx 0|2,|y ny 0|2,从而有即xn,ynx0,x nnx 02y ny 02x nx 0y ny 0,y 03（1）举出两个累次极限存在,但不相等的例子（2）举出两个累次极限存在,且相等的例子（3）举出
16、两个累次极限一个存在一个不存在的例子（4）举出两个累次极限都不存在的例子解：（1）例如f , xy在0,0点的两个累次极限存在,但不相等xylim lim x 0 y 0x xylim1 x 01,lim lim y 0 x 0xylim y 011yxy（2）例如f , x2xyy2在0,0点的两个累次极限存在,且相等limlim x 0 y0x2xyy2lim0 x 00,lim lim y 0 x 0x2xyy20（3）例如f , xsin1在0,0点只有一个累次极限存在ylimlim x 0 y0xsin1不存在,limlim y 0 x0xsin10yy（4）例如f , xsin1y
17、sin1在0,0点两个累次极限都不存在yx注 两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可 能相等,也可能不相等4试作函数fx y ,使当x0,y0时1两个累次极限存在而重极限不存在；2两个累次极限不存在而重极限存在；3重极限与累次极限都不存在；4重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解（1）f x y , x2xyy2精品资料欢迎下载,但,两个累次极限存在（见上题）x y limy kx0 , 0 x2xyy2lim xx 0kx221k,22
18、2 k xk由于与 k 有关系,因此重极限不存在（2）f x y , xsin1ysin1,在 0,0点两个累次极限都不存在,但重极限存在yxx y lim 0,0xsin1ysin1=0（3）f x y , yx11,在 0,0点的两个累次极限,重极限都不存在x2y2（4）f x y , xsin1或f x y , ysin1yx变形： 当 x, y时,有1 x0,1 y0,1 1名师归纳总结 （1）f x y1x yx2xyy2；0,0在 0,0 点的连续性0,0,因此第 8 页,共 10 页1x2y2（2）f x y1siny1sinx；xy（3）f x yx22 y ；（4）f x y
19、1sinyx5. 争论二元函数f x y , x2xy2, , x yy2lim r 0rcos0, , 0,0,解 令xrcos,yrsin, , x y lim 0,0x2xr2当2,依据无穷小量乘有界量为无穷小量知 , x y lim 0,0x2xy20f- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载f x y 在 0,0 点连续；当2,由极限值与有关,二重极限不存在,因此f , x y 在 0,0 点不连续；当不存在,就二重极限不存在,因此f x y 在 0,0 点不连2,由lim r 0rcosr2续名师归纳总结 6设f x y 定义在
20、闭矩形域S , , c d.如 f 对 y 在 , c d 上到处连续 , 对 x 在第 9 页,共 10 页 , a b 且关于 y 为一样连续 . 证明 f 在 S 上到处连续 . 分析 ：要证 f 在 S 上到处连续,只要证x 0,y 0S, f 在x 0,y 0连续,即证,0 ,当xx 0,yy 0,就有f x y , f x 0,y 0,由于条件中有一元函数连续,因此要显现偏增量,即证,0,当xx 0,yy 0,f x y , f x yf x y , （由于条件是f 对 y 在 , c d 上到处连续 , 对 x 在 , a b 且关于 y 为一样连续,因此插入f x0, y .
21、证明 ：由于 f 对 y 在 , c d 上到处连续,就fx 0,y在y 连续,于是,0 ,当yy 0,就有f x 0, f x 0,y 02. 由于对 x 在 , a b 且关于 y 为一样连续, 就有,0,当xx 0（对任意 y就有f x y , f x 0, 2. 因此,0 ,当xx 0,yy 0,就有f x y , f x 0, f x0, f x0,y 0f x y , f x 0, f x 0, f x0,y 0. 7. 设lim y y 0 y 0A,lim x x 0 x 00,且在x0,y0邻近有fx y x ,证明x ylim x 0,y 0f x y , A . 分析：
22、要证x ylim x 0,y 0f , A ,只要证0,0, 当xx 0,yy 0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - , x y 0 ,有f x y , A. 而精品资料欢迎下载 y ,即证fx y 与 y 有关系,因此就要插入名师归纳总结 f x y , A. 第 10 页,共 10 页证 由y lim y 0 y 0A得,0,0, 当yy 0,有 A2. 由lim x x 0 x 00得,0,0,当xx 0,有 2. 由于在x0,y 0邻近有fx y x ,于是当xx 0,yy 0有fx y 2. 因此0,0, 当xx 0,yy 0有f x y ,
23、 Af x y , A,因此x ylim x 0,y 0f x y , A . 8. f 在 E 上 一 致 连 续 的 充 要 条 件 是 ： 对 E 中 的 每 一 对 点 列P k,Q k如 果li m kP Q k0,便有 lim kfP kfQk0. 证 必要性f 在 E 上一样连续0,P QD 只要 , P Q,就有f P f Q .lim kP Q k k0对上述,N,kN,有P Q k,因此f P kf Q k.即 lim kfP kfQ k0. 充分性反证法,设f 在 D 上不一样连续00,P QD 尽管P Q,但有f Pf Q0 .就取1 , kk1,2,总有相应的P k、QkD,虽然P Q k1,但是kf P kf Q k0.即 lim kP Q k0, lim kfP kfQk0,冲突 . 因此 f 在 E 上一样连续 .- - - - - - -