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1、学习必备 欢迎下载 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教材分析 三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点
2、,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.教学目标 1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法
3、带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt 控件 教学过程 导入新课 1.(复习导入)首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?
4、回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?2.(物理实验导入)视频观看“简谐运动”实验.得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.推进新课 新知探究 提出问题 问题:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示 x
5、角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到 y=sinx,x 0,2 的精确图象呢?问题:如何得到 y=sinx,xR 时的图象?对问题,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到 2 这一段分学习必备 欢迎下载 成12等份.由于单位圆周长是2,这样就解决了横坐标问题.过O1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于 0、6、4、3、2、2 等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再
6、把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数 y=sinx 在0,2 上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图 1 所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图 1 对 问 题,因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值,所 以 函 数 y=sinx在x2k,2(k+1),k Z 且 k0上的图象与函数 y=sinx 在 x0,2 上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数 y=sinx,x 0,2 的图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度)
7、,就可以得到正弦函数 y=sinx,x R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图 2 操作结果、总结提炼:利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,x 0,2 的图象.左、右平移,每次 2 个长度单位即可.提出问题 如何画出余弦函数 y=cosx,x R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?意图:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变
8、换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数 y=sinx,x R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3.有着承上启下的作用另外学习完三角函数的定义之后必然要研究其性质函数线画正弦函数图象是一个自然的想法当然我们还可以通过三角函数对函数图像有一些直观的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲学习必备 欢迎下载 图 3 正弦函数 y=sinx,x R 的图象和余弦函数 y=cosx,x R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题 问题:以上方法作
9、图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在0,2 上的图象吗?活动:对问题,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在0,2 上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx 在0,2 上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2,1),(,0),(23,-1),(2,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.对问题,引导学生
10、通过类比,很容易确定在0,2 上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在0,2 上的图象.讨论结果:略.关键点也有五个,它们是:(0,1),(2,0),(,-1),(23,0),(2,1).学生练习巩固：1。用五点法作出函数 y=sinx 在 0,2 上的图象；2.用五点法作出函数 y=cosx在0,2 上的图象 应用示例 例 1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x 0,2;(2)y=-cosx,x0,2.解:(1)按五个关键点列表:x 0 2 23 2 sinx 0 1 0-1 0 1+sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4).图 4(2)
11、按五个关键点列表:x 0 2 23 2 有着承上启下的作用另外学习完三角函数的定义之后必然要研究其性质函数线画正弦函数图象是一个自然的想法当然我们还可以通过三角函数对函数图像有一些直观的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲学习必备 欢迎下载 cosx 1 0-1 0 1-cosx-1 0 1 0-1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5).图 5 课堂小结 以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间0,2 上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同
12、的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业 1.活页练习课时作业六 2 课本 p34 练习 1.2 3.课后请同学们利用三角函数线（把单位圆 8 等分）来作出正弦函数图象？（思考为什么要进行 8 等分）教学反思：这节课从整体上看，比较圆满完成了既定的教学目标：正弦函数、余弦函数的图像，以及掌握五点法，利用五点法作出函数的图像，注意函数之间的内在联系。学生掌握了三角函数的定义之后，自然而然就会去研究函数的性质，而研究函数的性质一般从函数的图像入手，本节课学生的动手操作要求较高，需要学生在练习本上画图；这节课从教学过程看，逻辑行强，过渡比较自然，幻灯片制作精美，特别是几何画板的控件，让学生能够直观看到图像的变化趋势，还有电子白板的灵活运用，可以使用新建屏幕页，让学生看到我们老师如何操作，给学生示范。当然，在教学中也存在一些问题：前面复习回顾的内容用时过多，导致后面的时间有些紧，例题可以讲一个详细的，后面让学生完成；正弦函数的图像分析透彻之后，对于余弦函数可以略讲。有着承上启下的作用另外学习完三角函数的定义之后必然要研究其性质函数线画正弦函数图象是一个自然的想法当然我们还可以通过三角函数对函数图像有一些直观的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲