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1、学习必备欢迎下载1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教材分析三角函数是基本初等函数之一，是描述周期现象的重要数学模型，是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。由于正弦线、余弦线已经从“ 形 ” 的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然 ,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点
2、,得到 “ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数的简图. 教学目标1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用 “ 五点法 ” 作图给我们学习带来的好处 ,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操
3、作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点教学重点 :正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点 :将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系 . 教学用具：多媒体教学、几何画板软件、ppt 控件教学过程导入新课1.(复习导入 )首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与 y=c
4、osx 的图象是怎样的呢 ?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法 :列表、描点、连线)?2.(物理实验导入)视频观看 “ 简谐运动 ” 实验 .得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“ 正弦曲线 ” 或“ 余弦曲线 ”.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确 .下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课新知探究提出问题问题 :作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的
5、三角函数值并用线段长 (或用有向线段数值)表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢 ?简单地说 ,就是如何得到y=sinx,x 0,2 的精确图象呢? 问题 :如何得到y=sinx,x R 时的图象 ? 对问题 ,第一步 ,可以想象把单位圆圆周剪开并12 等分 ,再把 x 轴上从 0 到 2这一段分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载成 12 等份 .由于单位圆周长是2, 这样就解决了横坐标问题.过 O1上的各分点作x 轴的垂线 ,就可以得到对应于0、6、4、3、2、2等角的
6、正弦线 ,这样就解决了纵坐标问题(相当于 “ 列表 ”). 第二步 ,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合 ,这就得到了函数对 (x,y)( 相当于 “ 描点 ”). 第三步 ,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数 y=sinx 在 0,2 上的一段光滑曲线(相当于 “ 连线 ”). 如图 1 所示 (这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点 ,教师要和学生共同探讨. 图 1 对 问 题 , 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数
7、y=sinx在x2k ,2(k+1) ,k Z 且 k0 上的图象与函数y=sinx 在 x0,2 上的图象的形状完全一致,只是位置不同 .于是我们只要将函数y=sinx,x 0,2 的图象向左、 右平行移动 (每次 2 个单位长度 ),就可以得到正弦函数y=sinx,x R 的图象 .(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性 ) 图 2 操作结果 、总结提炼 :利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x 0,2 的图象 .左、右平移 ,每次 2 个长度单位即可. 提出问题如何画出余弦函数y=cosx,x R 的图象 ?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发
8、,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗? 意图 :如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式 ,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做 ,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果 : 把正弦函数y=sinx,x R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
9、第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载图 3 正弦函数 y=sinx,x R 的图象和余弦函数y=cosx,x R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点. 提出问题问题 :以上方法作图,虽然精确 ,但不太实用 ,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法 .你认为哪些点是关键性的点? 问题 :你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在 0,2 上的图象吗 ? 活动 :对问题 ,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在 0,2 上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx 在 0,2 上的图象的形状就基本上确定了 .这五点如下 : (0,0),(2,1),( ,0),
10、(23,-1),(2 ,0).因此 ,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来 ,就可快速得到函数的简图.这种近似的“ 五点 (画图 )法” 是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题 ,引导学生通过类比,很容易确定在0,2 上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在0,2 上的图象 . 讨论结果 :略 .关键点也有五个,它们是 :(0,1),(2,0),(,-1),(23,0),(2 ,1).学生练习巩固： 1。 用五点法作出函数y=sinx 在 0,2 上的图象；2. 用五点法作出函数y=cosx在 0,2 上的图象应用示例例 1 画出下列函数的
11、简图(1)y=1+sinx,x 0,2 ;(2)y=-cosx,x0,2 .解:(1)按五个关键点列表: x 0 2232sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4). 图 4 (2)按五个关键点列表: x 0 2232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5). 图 5 课堂小结以提问的方式 ,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完
12、善. 1.怎样利用 “ 周而复始 ” 的特点 ,把区间 0,2 上的图象扩展到整个定义域的? 2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线? 这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到. “ 五点法 ” 作图是比较方便、 实用的方法 ,应熟练掌握 .数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.活页练习课时作业六2 课本 p34 练习 1.2 3.课后请同学们利用三角函数线（把单位圆8 等分）来作出正弦函数图象？（思考为什么要进行 8 等分）教学反思：这节课从整体上看，比较圆满完成了既定的教学目标：正
13、弦函数、余弦函数的图像，以及掌握五点法， 利用五点法作出函数的图像，注意函数之间的内在联系。学生掌握了三角函数的定义之后， 自然而然就会去研究函数的性质，而研究函数的性质一般从函数的图像入手，本节课学生的动手操作要求较高，需要学生在练习本上画图；这节课从教学过程看，逻辑行强，过渡比较自然， 幻灯片制作精美，特别是几何画板的控件，让学生能够直观看到图像的变化趋势， 还有电子白板的灵活运用，可以使用新建屏幕页，让学生看到我们老师如何操作，给学生示范。当然，在教学中也存在一些问题：前面复习回顾的内容用时过多，导致后面的时间有些紧，例题可以讲一个详细的，后面让学生完成；正弦函数的图像分析透彻之后，对于余弦函数可以略讲。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页