圆锥曲线与方程第一课时.ppt

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1、第九章圆锥曲线与方程 第一课时椭圆的定义与方程知识梳理一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 的点的轨迹叫做_，即点集M P|PF1|PF2|2a,2a|F1F2|是椭圆；其中两定点F1，F2叫_，定点间的距离叫_(2a 时，点的轨迹为线段F1F2,2a 时，无轨迹)答案：椭圆焦点焦距二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：1(ab0)；焦点在y 轴上：1(ab0)三、点P(x0，y0)和椭圆 1(ab0)的关系1点P(x0，y0)在椭圆外_；2点P(x0，y0)在椭圆上_；3点P(x0，y0)在椭圆内_.答案：三、1.12.13.1基础自测1(2011 年 上 海 闸 北 区

2、 模 拟)设P 是 椭 圆 1上 的 点若F1，F2是椭圆的两个焦点，则 等于()A 4B 5C 8 D 10 解析：由椭圆的第一定义知 2a10.答案：D2(2012 年 北 京 海 淀 区 模 拟)已 知 椭 圆 1，长轴在y 轴上若焦距为4，则m 等于()A 4 B 5 C 7 D 8解 析：由 题 意 得m 210 m 且10m0，于 是6m10，再有(m 2)(10 m)22，得m 8.答案：D3(2012 年 盐 城 模 拟)已 知F1、F2为 椭 圆 1的 两个 焦 点，过F1的 直 线 交 椭 圆 于A、B 两 点，若 12，则 _.解 析：依 题 直 线AB 过 椭 圆 的

3、左 焦 点F1，在 F2AB 中，|F2A|F2B|AB|4a20，又|F2A|F2B|12，|AB|8.答案：84 已 知 方 程 1表 示 椭 圆，则k 的 取 值 范围为_答案：椭 圆 1上 的 点M 到 焦 点F1的 距 离 为2，N为MF1的中点，则(O 为坐标原点)的值为()A 4B 2C 8D.思 路 分 析：涉 及 椭 圆 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 时，通 常 可以根据定义进行转化解 析：如 右 图 所 示，设 椭 圆 的 另一个焦点为F2，由椭圆的定义得 2a10，所以又因为ON 为MF1F2的中位线，所以故答案为A.答案：A点评：椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，

4、即 2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离变式探究1(2011 年 福 州 模 拟)已 知 ABC 的 顶 点B、C 在 椭 圆 y21上，顶 点A 是 椭 圆 的 一 个 焦 点，且 椭 圆 的 另 外 一 个 焦 点 在BC 边上，则ABC 的周长是()A 2 B 6 C 4 D 12解 析：(数 形 结 合)由 椭 圆 的 定 义，椭 圆 上 一 点 到 两 焦 点的 距 离 之 和 等 于 长 轴 长2a，可 得 ABC 的 周 长 为4a4，所以选C.答案：C 一 动 圆 与 已 知 圆O1：(x 3)2y21外 切，与 圆O2：(x 3)2y281内切，试求动圆圆心的

5、轨迹方程解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.|MO1|MO2|10|O1O2|6.由椭圆的定义知：M 在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c 3.b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为 1.变式探究2椭圆 1的左、右焦点分别为F1和F2，点P 在椭圆上，如果线段PF1的中点在y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍7 设F1，F2是 椭 圆 1的 两 个 焦 点，P 是 椭 圆 上的点，且|PF1|PF2|43，求PF1F2的面积思 路 分 析：由 椭 圆

6、方 程 可 求 出2a与2c，且 由|PF1|PF2|43知可求出|PF1|，|PF2|的长度，从而可求三角形的面积解 析：由 于|PF1|PF2|7，且|PF1|PF2|43，得|PF1|4，|PF2|3，又|F1F2|2c 2 5，显 然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所 以 PF1F2是 以PF1，PF2为 直 角 边 的 直 角 三 角 形，从而所求PF1F2的面积为S|PF1|PF2|436.点 评：本 题 运 用 了 椭 圆 的 定 义 来 解 题 椭 圆 定 义 是 用 椭圆 上 任 意 一 点P 到 两 焦 点 的 距 离 之 和 来 描 述 的，定 义 中|PF1|P

7、F2|2a|F1F2|.定 义 能 够 对 一 些 距 离 进 行 相 关 的 转 化，简 化解 题 过 程 因 此 在 解 题 过 程 中，遇 到 涉 及 椭 圆 上 的 点 到 焦 点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决变式探究3 已 知 点A(3,0)，B(2,1)是 椭 圆 1 内 的 点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|MB|的最大值与最小值解 析：易 知A 点 为 椭 圆 的 右 焦 点，设 左 焦 点 为F1，由a225，知|MF1|MA|10，因 此|MA|MB|10|MB|MF1|，连 结BF1并 延 长BF1交 椭 圆 于C，反 向 延 长BF1交 椭 圆 于D

8、；当M 位 于C 点 时，|MB|MF1|最 大，当M 位 于D 点 时|MB|MF1|最小，计算得最大值为10，最小值为10.(1)已 知 椭 圆 的 对 称 轴 是 坐 标 轴，O 为 坐 标 原 点，F是 一 个 焦 点，A 是 一 个 顶 点，若 椭 圆 的 长 轴 长 是 6，且 cos OF A.则椭圆方程为_(2)设A(2,0)，B(2,0)，ABC 的 周 长 为10，则 动 点C 的轨迹方程为_解 析：(1)椭 圆 的 长 轴 长 是6，且cos OF A，点A 不是长轴的端点|OF|c，|AF|a3，c 2，b25.椭圆方程是 1，或 1.(2)因 为|AB|4，所 以|A

9、C|CB|6(4)，由 椭 圆 的 定 义知 点C 的 轨 迹 是 椭 圆，其 中a3，c 2，b，但 点C、A、B 不能共线，因此y0.动点C 的轨迹方程为：1(y0)点 评：(1)求 椭 圆 的 标 准 方 程 关 键 是 确 定a，b的 值；(2)由 椭 圆 的 一 个 短 轴 端 点，一 个 焦 点，中 心O 为 顶 点 组 成 的 直角 三 角 形 在 求 解 椭 圆 问 题 中 经 常 用 到；(3)注 意 利 用 椭 圆 的 定义解题，常常会起到事半功倍的效果变式探究4 椭 圆 的 对 称 轴 在 坐 标 轴 上，长 轴 是 短 轴 的2倍，且 过点(2,1)，则它的方程是_答案

10、：已 知 点P 在 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 上，点P 到 两 焦点 的 距 离 分 别 为 和，过 点P 作 长 轴 的 垂 线，恰 好 过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程思 路 分 析：由 题 设 条 件 设 出 椭 圆 的 标 准 方 程，求 出 焦 距与 长 轴 长 是 求 解 本 题 的 关 键 因 椭 圆 的 焦 点 位 置 未 明 确 在 哪个坐标轴上，故应有两种情况解析：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|PF1|，|PF2|，由 椭 圆 的 定 义 知2a|PF1|PF2|2，即a，由|PF1|PF2|知 PF2垂 直 于 长 轴 所 以 在 Rt PF2F1中

11、，4c2|PF1|2|PF2|2，所以c2，于是b2a2c2，又 由 于 所 求 的 椭 圆 的 焦 点 可 以 在x 轴 上，也 可 以 在y 轴 上，故所求的椭圆方程为点 评：求 椭 圆 的 标 准 方 程，需 要 一 个 定 位 条 件 和 两 个 定 形条 件，通 常 采 用 待 定 系 数 法 解 决 椭 圆 中 有“六 点”(即 两 个焦 点 与 四 个 顶 点)、“四 线”(即 两 条 对 称 轴 与 两 条 准 线)，因此 在 解 题 时 要 注 意 它 们 对 椭 圆 方 程 的 影 响，如 在 求 椭 圆 的 标 准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果变式探究5

12、 已 知 三 点P(5,2)、F1(6,0)、F2(6,0)求 以F1、F2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程解 析：由 题 意，可 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 1(ab0)，其半焦距c 6.2a|PF1|PF2|a，b2a2c245369，故所求椭圆的标准方程为 1.分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)焦点在坐标轴上，且经过两点P、Q；(2)经 过 点(2，3)且 与 椭 圆9x24y236具 有 共 同 的 焦 点思 路 分 析：对 于(1)，由 题 设 条 件 不 能 确 定 椭 圆 的 焦 点 在哪 一 坐 标 轴 上，因 此 应 分 别 设 出 焦 点 在x 轴、

13、y 轴 上 的 标 准 方 程，进 行 讨 论 求 解；或 采 用 椭 圆 方 程mx2ny21(m0，n0，且mn)直 接 求 解，避 免 讨 论；对 于(2)由 于 椭 圆9x24y236的 焦点 坐 标 为，因 而 可 设 所 求 的 椭 圆 方 程 为 1(0)，再由题设条件确定 的值即可解 析：(1)解 法 一：当 所 求 椭 圆 的 焦 点 在x 轴 上 时，设 它的标准方程为 1(ab0)，依题意应有，解得，因为ab从而方程组无解；当所求椭圆的焦点在y 轴上时，设它的标准方程为 1(ab0)，依 题 意 应 有，解 得，所以所求椭圆的标准方程为=1.解 法 二：设 所 求 椭 圆

14、 的 方 程 为mx2ny21(m0，n0，且mn)，依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为 1.(2)因 为 椭 圆9x24y236的 焦 点 坐 标 为(0，)，从 而可 设 所 求 的 椭 圆 的 方 程 为 1(0)，又 因 为 经 过 点(2，3)，从 而 得 1，解 得 10或 2(舍 去)，故 所求椭圆的标准方程为：1.点 评：由 于 题(1)中 的 椭 圆 是 唯 一 存 在 的，为 了 运 算 方 便，可 设 其 方 程 为mx2ny21(m0，n0，且mn)，而 不 必 考 虑焦 点 的 位 置，直 接 求 得 椭 圆 的 方 程；题(2)中 椭 圆9x24y236变 形

15、 为 1，其 焦 点 坐 标 为F1，F2，所 设 的 方 程 1(0)是 具 有 共 同 焦 点 的F1，F2 的 椭 圆 系 方 程 遇 到 与 本 题 类 似 的 问 题，我 们 可 以采用类似的方法来求解椭圆的方程另外本题还可以设方程 等 解 决 一 般 说来，与 椭 圆 1(ab0)具 有 相 同 焦 点 的 椭 圆 方 程 可设 为 1(min(m，n)，其 中|m n|c2.本题实质上运用的也是待定系数法6(2010 年 辽 宁 卷)设F1，F2分 别 为 椭 圆C：1(ab0)的 左、右 焦 点，过F2的 直 线l 与 椭 圆C 相 交 于A，B 两点，直线l 的倾斜角为60，

16、F1到直线l 的距离为.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果，求椭圆C 的方程解 析：(1)设 焦 距 为2c，由 已 知 可 得F1到 直 线l 的 距 离 c，故c 2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20，直线l 的方程为y(x 2)联立得(3a2b2)y24b2y 3b40.解得y1，y2.因为，所以y12y2.即得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C 的方程为 1.1 本 课 时 重 点 是 椭 圆 的 定 义、标 准 方 程；难 点 是 理 解 参数a、b、c 的 关 系 及 利 用 定 义 解 决 问 题 关 键 是 注 意 数

17、 形 结 合，函数与方程的思想，等价转化的运用2思维方式：待定系数法与轨迹方程法3 椭 圆 的 定 义 是 解 决 问 题 的 出 发 点，如 果 运 用 恰 当 可 收到事半功倍之效4特别注意(1)椭 圆 的 定 义 中 应 注 意 常 数 大 于|F1F2|.因 为 当 平 面 内 的动 点 与 定 点F1、F2的 距 离 之 和 等 于|F1F2|时，其 动 点 轨 迹 就 是线 段F1F2；当 平 面 内 的 动 点 与 定 点F1、F2的 距 离 之 和 小 于|F1F2|时，其轨迹不存在(2)椭 圆 标 准 方 程 中 两 个 参 数a和b确 定 了 椭 圆 的 形 状 和大 小

18、两 种 标 准 方 程 中，总 有ab0；椭 圆 的 焦 点 位 置 决 定标 准 方 程 的 类 型，并 且 椭 圆 的 焦 点 总 在 长 轴 上；a、b、c 的 关系 是c2a2b2；在 方 程Ax2By2C 中，只 要A、B、C 同 号且AB，就是椭圆方程2(2010 年 福 建 卷)若 点O 和 点F 分 别 为 椭 圆 1的中 心 和 左 焦 点，点P 为 椭 圆 上 的 任 意 一 点，则 的 最 大 值为()A 2B 3C 6D 8解 析：由 题 意，F(1,0)，设 点P(x0，y0)，则 有 1，解 得，因 为，所 以，此 二 次 函 数 对 应 的 抛 物 线 的 对 称 轴 为x0 2，因 为 2x02，所以当x02时，取得最大值 236，故选C.答案：C祝您