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1、用空间向量处理立体几何的问题张建华(用空处理几何)一、知识再现用空间向量处理立体几何的问题二、用向量处理角的问题三、用向量处理距离和平行问题四、用向量处理垂直问题五、高考题回顾六、方法小结点、线、面关系两直线位置关系：两直线位置关系：1、相交2、平行3、异面直线与平面位置关系直线与平面位置关系1、直线与平面平行(1)定义(2)判定(3)性质2、直线与平面相交(1)直线与平面所成的角(2)射影长定理两平面位置关系两平面位置关系1、两平面相交 二面角及其平面角2、两平面平行(1)定义(2)性质(3)判定直线与平面垂直直线与平面垂直1、定义2、判定3、性质三垂线定理三垂线定理三垂线逆定理两平面垂直两
2、平面垂直(1)定义(2)判定(3)性质一、知识再现1、一、知识再现2、空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式(4)平面的法向量返回(1)空间直角坐标系zxyoA(x,y,z)返回zxyojki(2)向量的直角坐标运算返回(3)夹角和距离公式OjikXYZAB返回如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量.如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 (4)平面的法向量返回二、用向量处理角的问题1、异面直线所成的角（0 90）注意,由于两向量的夹角范围为 ,而异面直线所成角的范围为 ，若两向量夹角 为钝角,转化到异面直线夹角时为180
3、 。anPAO2、直线与平面所成的角（0 90）也可以直接转化为斜线PA与PA所在平面 内的射影的夹角，同1计算。PBAlabQnm3、二面角的平面角的计算（0 ）BAOBAODPXYZ分析：怎么建立空间坐标系p利用现有三条两两垂直的直线p注意已有的正、直条件p相关几何知识的综合运用ABXYZABXYZPADGFEzx ByC2004年福州市第一次统测试题返回例3、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG 平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG GC，GB=GC=2，PG=4，E是BC的中点。(1)求异面直线GE与PC所成的角；(2)若F点是棱PC上一点，且D
4、F GC，求 的值。解：如图，建立空间直角坐标系。FB三、用向量处理距离和平行问题ACDEGXYZXYZ评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。四、用向量处理垂直问题FEXYZ评注：本题若用一般法评注：本题若用一般法证明，容易证证明，容易证AFAF垂直垂直于于BDBD，而证，而证AFAF垂直于垂直于DEDE，或证，或证AFAF垂直于垂直于EFEF则较难，用建立空间坐则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化标系的方法能使问题化难为易。难为易。ABCFEDXYZ
5、ABCFEDXYZ返回ABCA1B1C1DEGXYZ五、高考题回顾ABCA1B1C1DEGXYZKABCDMXYZABCDMGXYZ五、方法小结如图，已知点如图，已知点P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0）,A A（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1），平面），平面一个法向量一个法向量。，其中，其中，PA2.求异面直线的夹角求两异面直线的求两异面直线的夹角，夹角，用公式：用公式：l ll l3.求二面角4.用空间向量证明“平行”，包括线面平行和面面平行。向量的坐标及运算为解决线段长度及两线段垂直方面的问题提供了有力和方便的工具，对于几何体中有关夹角、距离、垂直、平行的问题，可将其转化为向量间的夹角、模、垂直、平行的问题，利用向量的方法解决。这些问题的解决关键是建立适当的坐标系，使复杂的逻辑推理证明变成简单的程序化算法，使问题简单化。但须注意建立空间坐标系的条件。5.总结返回