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1、第三章第三章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析3.1 3.1 电路的图电路的图3.2 3.2 KCLKCL和和KVLKVL的独立方程数的独立方程数3.3 3.3 支路电流法支路电流法3.4 3.4 网孔电流法网孔电流法3.5 3.5 回路电流法回路电流法3.6 3.6 结点电压法结点电压法3.1 3.1 电路的图电路的图一、电阻电路的分析方法一、电阻电路的分析方法1、简单电路、简单电路利用等效变换，逐步利用等效变换，逐步化简化简电路。电路。2、复杂电路、复杂电路不改变不改变电路的电路的结构结构，选择电路变量（电流和选择电路变量（电流和/或电压），或电压），根据根据KCL和和KVL以及元件的
2、电流、电压关系，以及元件的电流、电压关系，建立起电路变量的方程，建立起电路变量的方程，从方程中解出电路变量。从方程中解出电路变量。l小知识小知识 哥尼斯堡七桥难题哥尼斯堡七桥难题网络图论网络图论:图论是拓扑学的一个分支，图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。科。彼得堡科学院:欧拉教授欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的哥尼斯堡7座桥的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础。DCBABDAC电路图论运用了
3、拓扑学的有关理论电路图论运用了拓扑学的有关理论,解决复杂的电路问题解决复杂的电路问题.图图G是结点和支路的一个集合。是结点和支路的一个集合。可以存在孤立的结点，不存在无结点的支路。可以存在孤立的结点，不存在无结点的支路。图是由线段和点所组成图是由线段和点所组成。+-电压源、电阻的串联电压源、电阻的串联和和电流源、电阻的并联电流源、电阻的并联都看成都看成一条一条支路。支路。二、图的定义二、图的定义+-指定图的每一条支路的方向。指定图的每一条支路的方向。通常支路电压和支路电流的方向和支路的方向一致。通常支路电压和支路电流的方向和支路的方向一致。三、有向图三、有向图3.23.2 KCL KCL和和K
4、VLKVL的独立方程数的独立方程数一、一、KCL独立方程数独立方程数对结点对结点1、2、3、4分别列出分别列出KCL方程方程1234123456-i1+i4+i6=0i1+i2 i3=0-i2 i5-i6=0i3 -i4 +i5=0对有对有n个结点的电路个结点的电路列列KCL方程，独立方程数为方程，独立方程数为n-1个。个。与这些独立方程对应的结点叫做与这些独立方程对应的结点叫做独立结点独立结点。+=-图图G的任意两个结点之间的任意两个结点之间至少至少存在一条路径。存在一条路径。三、树三、树 1、概念：、概念：一个连通图一个连通图G的一个树的一个树T包含包含G的全部结点和部的全部结点和部分支路
5、，分支路，而树而树T本身是连通的且又不包含回路。本身是连通的且又不包含回路。二、连通图二、连通图树树(Tree)T T是连通图的一个子图满足下列条件：是连通图的一个子图满足下列条件：(1)(1)连通连通(2)(2)包含所有节点包含所有节点(3)(3)包含部分支路包含部分支路(4)(4)不含闭合路径不含闭合路径2、树支：、树支：树中包含的支路。树中包含的支路。树支数树支数:不不是是树树树树2 2）树支的数目是一定的：）树支的数目是一定的：1）对应一个图有很多的树）对应一个图有很多的树123456781234556781234513567812345245712345判断树判断树256781234
6、525812345四、单连支回路（基本回路）四、单连支回路（基本回路）对任一个树，每加进一个连支对任一个树，每加进一个连支便形成一个只包含该连支的回路。便形成一个只包含该连支的回路。567812345 树支之外的其他支路。树支之外的其他支路。连支数为连支数为b-(n-1)=b-n+13、连支、连支基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)个数个数12345651231236基本回路具有独占的一条连枝基本回路具有独占的一条连枝独立回路数独立回路数=连支数连支数基本回路具有独占的一条连枝，该连支不再出现在其它回路中。基本回路具有独占的一条连枝，该连支不再出现在其它回路中。对一个树，由全部单连支回路构
7、成。对一个树，由全部单连支回路构成。这组回路是独立的，这组回路是独立的，独立回路数等于连支数。独立回路数等于连支数。五五、基本回路组（单连支回路组）、基本回路组（单连支回路组）六、平面图六、平面图一个图的各条支路除所联接的结点外不再交叉。一个图的各条支路除所联接的结点外不再交叉。不是平面图不是平面图1234561234注意：选择不同的树，得到不同的回路组注意：选择不同的树，得到不同的回路组七七、KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数的独立方程数=基本回路数基本回路数=b(n1)结论：结论：n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路,独立的独立的KCL和和KVL方程数共为：方程数共为
8、：网孔是平面图的一个自然的网孔是平面图的一个自然的“孔孔”，它所限定的区域内不再有支路。它所限定的区域内不再有支路。平面图的平面图的全部网孔全部网孔就是就是一组独立回路一组独立回路，数目恰，数目恰好是该图的独立回路数。好是该图的独立回路数。八、网孔八、网孔1234567812345左面的平面图有左面的平面图有4 4个网孔个网孔3.3 3.3 支路电流法支路电流法一、一、2b法法1、未知量、未知量以以支路电流支路电流和和支路电压支路电压为未知量为未知量,共共2b个未知量。个未知量。2、方程列写原则、方程列写原则对节点列写独立对节点列写独立KCL:(n-1)个方程个方程对独立回路列写对独立回路列写
9、KVL:(b-n+1)个方程个方程 元件支路列伏安特性元件支路列伏安特性:b个方程个方程2b个方程个方程12341234563124123（1）对结点）对结点1,2,3应用应用KCL（2）选择网孔作为独立回）选择网孔作为独立回路，应用路，应用KVL支路电压和支路电流支路电压和支路电流为为关联关联参考方向。参考方向。i1 i2-i6=0i2 i3 i4=0i4i5+i6=0u1+u2+u3=0-u3+u4+u5=0-u1-u4+u6=03124（3）列支路方程）列支路方程即各支路电压、电流关系方程。即各支路电压、电流关系方程。u1=-us1+R1i1u2=R2i2u3=R3i3u4=R4i4i5
10、=u5/R5-is5u6=R6i63124（4）联立以上三组方程）联立以上三组方程u1=-us1+R1i1u2=R2i2u3=R3i3u4=R4i4i5=u5/R5-is5u6=R6i6i1 i2-i6=0i2 i3 i4=0i4i5+i6=0u1+u2+u3=0-u3+u4+u5=0-u1-u4+u6=0共共2b个方程个方程1、以、以支路电流支路电流作为电路变量（作为电路变量（b个）个）2、任取、任取n-1个结点，列个结点，列KCL方程。方程。3、把支路电压用支路电流来表示，列、把支路电压用支路电流来表示，列KVL方程。方程。4、联立方程、联立方程(共共b个）求解个）求解二、支路电流法二、支
11、路电流法3124KCL方程方程KVL方程方程6个方程联立，求解出个方程联立，求解出6个支路电流个支路电流i1 i2-i6=0i2 i3 i4=0i4i5+i6=0-us1+R1i1+R2i2+R3i3=0-R3i3+R4i4+R5i5+R5is5=0-R2i2-R4i4+R6i6=0求各支路电流求各支路电流I1I2I32、列、列KCL方程方程3、列、列KVL方程方程4、联立求解、联立求解解：解：5 I2 6I3 9 0=0解解 得得：I1=4 AI2=6 AI3=1 0 A1、标出各支路电流的参考方向、标出各支路电流的参考方向 abI1 I2 I3=02 0I1 6I3 1 4 0=0+-+-
12、+-3.4 3.4 网孔电流法网孔电流法一、网孔电流方程的推导一、网孔电流方程的推导*各支路电压和电流按关联参考方向选取各支路电压和电流按关联参考方向选取网孔电流：网孔电流：im1、im2为假想的沿着网孔流动的电流。为假想的沿着网孔流动的电流。i1、i2、i3、u1、u2、u3分别为支路电流分别为支路电流和支路电压和支路电压对网孔列对网孔列KVL方程方程回路绕行方向与网孔电流一致回路绕行方向与网孔电流一致i1=im1i2=im1 im2i3=im2网孔电流与支路电流的关系网孔电流与支路电流的关系u1+u2=0-u2+u3=0支路电压支路电压代入回路方程代入回路方程u1+u2=0-u2+u3=0
13、u1=-us1+R1i1=-us1+R1im1 u2=R2i2+us2=R2(im1 im2)+us2u3=R3i3+us3=R3im2+us3经整理后有经整理后有(R1+R2)im1 R2im2=us1-us2R2im1+(R1+R3)im2=us2 us3令令:R1+R2=R11 R2+R3=R22-R2=R12=R21 us1-us2=us11us2 us3=us22 R11 im1+R12im2=us11R21im1+R22 im2=us22有什么规律?一般地一般地,对有对有m个网孔的电路个网孔的电路,有有:写成矩阵的形式写成矩阵的形式,为为:其中其中:I为网孔电流列向量为网孔电流列向
14、量R为为mm阶的电阻的矩阵阶的电阻的矩阵,对角线为自阻对角线为自阻.Us为回路总电压源的列向量为回路总电压源的列向量二、网孔电流方程的形式二、网孔电流方程的形式1、I:为网孔电流列向量为网孔电流列向量2、R:自阻自阻Rii为为第第i个网孔电流所流过的个网孔电流所流过的全部电阻全部电阻之和。恒为之和。恒为正正。互阻互阻Rij为为 流过第流过第i个和第个和第j个网孔电流的个网孔电流的公共电阻公共电阻。网孔电流方向网孔电流方向相同相同时，取时，取正号正号；网孔电流方向网孔电流方向相反相反时，取时，取负号负号。如果令网孔电流的如果令网孔电流的绕向相同绕向相同，互阻互阻将总是将总是负负的。的。在不含受控
15、源的电阻电路，在不含受控源的电阻电路，Rij=Rji。3、Us:Usii为第为第i个个网孔网孔 的总电压源电压。的总电压源电压。各电压源电压的方向与网孔电流各电压源电压的方向与网孔电流一致一致时，时，取取负号负号；反之则取；反之则取正号正号。=（60+20）20-0+-20-20+(20+40)+(20+40)-40-400 0-40-40+(40+40)+(40+40)I Ib bI Id d 求电流求电流I Ib b和和I Id d。解得解得10105050-+10104040I1=0.786A I2=1.143A I3=1.071AIb=I2-I1Id=-I31 1、电流源和电阻的并联组
16、合、电流源和电阻的并联组合可先将它等效变换成电压源和电阻的串联组合，可先将它等效变换成电压源和电阻的串联组合，再按上述方法进行分析。再按上述方法进行分析。+-RIs三、含有电流源支路三、含有电流源支路无并联电阻的电流源，称为无并联电阻的电流源，称为无伴电流源无伴电流源。无伴电流源或是有受控源无伴电流源或是有受控源参见下节参见下节回路电流法回路电流法。网孔电流法的适用范围网孔电流法的适用范围仅适用于仅适用于平面电路平面电路。2 2、含无伴电流源或是有受控源、含无伴电流源或是有受控源l基本思想基本思想为为减减少少未未知知量量(方方程程)的的个个数数，假假想想每每个个回回路路中中有有一一个个回回路路
17、电电流流。各各支支路路电电流流可可用用回回路路电电流流的的线性组合表示。来求得电路的解。线性组合表示。来求得电路的解。独独立立回回路路为为2 2。选选图图示示的的两两个个独独立立回路，支路电流可表示为：回路，支路电流可表示为：il1il2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i23.5 3.5 回路电流法回路电流法网孔电流法仅适用于平面电路，网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无此限制。回路电流法则无此限制。回路电流法是以一组回路电流法是以一组独立回路电流独立回路电流为为电路变量电路变量，通常选择基本回路作为独立回路。通常选择基本回路作为独立回路。回路电流方程的一般形式回路电流方程的一般形
18、式:RI=US 回路电流法：回路电流法：l列写的方程列写的方程与与支支路路电电流流法法相相比比，方程数减少方程数减少n-1个。个。123456选择支路选择支路4、5、6为树。为树。=+-=+-=-+-+-(R1+R6+R5+R4)(R4+R5)(R5+R6)us1us5(R4+R5)(R2+R4+R5)R5us5(R5+R6)R5(R3+R5+R6)us5R11：回路回路1 1的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律：R22：回路回路2 2的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路2 2中所有电阻之和。中所有电阻之和。自电阻
19、总为正自电阻总为正。R12=R21：回路回路1 1、回路、回路2 2之间的互电阻。之间的互电阻。互电阻的正负符号：互电阻的正负符号：当两个回路电流流过相关支路方当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。向相同时，互电阻取正号；否则为负号。Ul1：回路回路1 1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2：回路回路2 2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当当电电压压源源电电压压方方向向与与该该回回路路方方向向一一致致时时，取取负负号号；反反之之取正号。取正号。对于具有对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有个回路的电路，有:其中其中:Rj
20、k:互电阻互电阻+:流过互阻的两个回路电流方向相同流过互阻的两个回路电流方向相同-:流过互阻的两个回路电流方向相反流过互阻的两个回路电流方向相反0:无关无关R11il1+R12il1+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正)1、在选取回路电流时，只让、在选取回路电流时，只让一个回路电流一个回路电流通过电流源通过电流源无伴电流源无伴电流源的处理方法的处理方法il1=is2il1 il2 il3=R1R1-0+us1+il1 il2 il3=0(R4+R5)+R4-us5-+-
21、il1 il2 il3=R1-(R1+R3+R4)+R4-us1-2、把、把电流源的电压电流源的电压作为变量作为变量ui+含含受控电压源受控电压源的电路的电路整理后，得整理后，得u uc c=50=50u u1 1,写出此电路写出此电路的回路电流方程的回路电流方程(25+100)il1-100il2=5-100il1+(100+100000+10000)il2=ucuc=50u1u1=25il1125il1-100il2=5-1350il1+110100il2=0先把受控源看作独立电源按先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。量用回路电流表示。
22、对电源的处理对电源的处理(关键是保证变量数与独立方程数一致关键是保证变量数与独立方程数一致)归纳归纳独立源独立源电流源电流源电压源电压源利用等效变换利用等效变换转换为电压源转换为电压源(1)设其上电压后按设其上电压后按 独立电压源处理独立电压源处理(多出一个变量多出一个变量)(2)增加一个该电流源电流增加一个该电流源电流与回路电流的关系方程与回路电流的关系方程(保持变量数与方程数一致保持变量数与方程数一致)尽量选为尽量选为回路电流回路电流放在方程右侧放在方程右侧,电压升为正电压升为正受控源受控源依独立源方法处理依独立源方法处理首先看成独立源首先看成独立源不是不是多出一个变量多出一个变量增加一个
23、控制量与增加一个控制量与 回路电流的关系方程回路电流的关系方程(保持变量数与方程数一致保持变量数与方程数一致)控制量是否为回路电流控制量是否为回路电流是是变量数与方程数一致变量数与方程数一致3.6 3.6 结点电压法结点电压法一、结点电压一、结点电压1、定义：、定义：在电路中任意选择某一结点为在电路中任意选择某一结点为参考结点参考结点，其他结点与此结点之间的电压称为其他结点与此结点之间的电压称为结点电压结点电压。2、极性：、极性：结点电压结点电压 的参考极性是以的参考极性是以参考结点为负参考结点为负，其余独立结点为正。其余独立结点为正。二、结点电压法二、结点电压法1、结点电压法以结点电压为求解
24、变量，用、结点电压法以结点电压为求解变量，用uni来来表示第表示第i结点的电压。结点的电压。2、结点电压方程：、结点电压方程：03211230142536对结点对结点1,2,3应用应用KCL各支路方程各支路方程0321整整理理后后1、G为结点电导矩阵，如果没有受控源，它是沿对角为结点电导矩阵，如果没有受控源，它是沿对角线对称的。线对称的。Gii-自电导自电导，与结点，与结点i相连的全部电导之和，恒为相连的全部电导之和，恒为正正。Gij-互电导互电导，结点，结点i和结点和结点j之间的公共电导，恒为之间的公共电导，恒为负负。三、结点电压方程的一般形式三、结点电压方程的一般形式G Un=IsG11u
25、n1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1注意：注意：和电流源串联的电导不计算在内。和电流源串联的电导不计算在内。2、Un结点电压列向量结点电压列向量3、IsIsi-和第和第i个结点相联的电源注入该结点的电流个结点相联的电源注入该结点的电流之和。之和。电流源：电流源：流入为正，流入为正，流出为负。流出为负。对有伴对有伴电压源电压源：Isi GiUsi，当电压源的参考，当电压源的参考正极正极性联到该结点时，该项前取性联到该结点时，该项前取正号
26、正号，否则取负。（按，否则取负。（按等效电流源理解）等效电流源理解）G Un=Is结点电压方程的一般形式结点电压方程的一般形式思考思考：电路含无伴电压源如何处理？：电路含无伴电压源如何处理？含受控源如何处理？后面介绍。含受控源如何处理？后面介绍。+-+-04321列结点电压方程列结点电压方程对结点对结点1：un1 un2 un3 un4=(G1+G4+G8)G1-+0G4-is13is4-+例：例：+-+-04321列结点电压方程列结点电压方程对结点对结点2：un1un2 un3un4=-G1+(G1+G2+G5)-G2+00+-+-04321列结点电压方程列结点电压方程对结点对结点3：un1
27、 un2 un3 un4=0-G2+(G2+G3+G6)-G3is13G3us3-+-+-04321列结点电压方程列结点电压方程对结点对结点4：un1 un2 un3 un4=-G4-G3+0+(G3+G4+G7)-is4+G3us3+G7us7un1 un2 un3 un4=un1un2 un3un4=un1 un2 un3 un4=un1 un2 un3 un4=(G1+G4+G8)G1-+0G4-is13is4-+-G1+(G1+G2+G5)-G2+000-G2+(G2+G3+G6)-G3is13G3us3-G4-G3+0+(G3+G4+G7)-is4+G3us3+G7us7电路的结点电
28、压方程：电路的结点电压方程：I1I4求求例：例：电路中只含两电路中只含两个结点时，仅剩一个结点时，仅剩一个未知数。个未知数。I1E1E3R1R4R3R2I4I3I2AB+-+A结点方程：I1E1E3R1R4R3R2I4I3I2AB+-+UA=I1R1 E1-+UA=I2R2UA=I3R3 -E3UA=-I4R4四、无伴电压源的处理方法四、无伴电压源的处理方法12设无伴电压源支路的电流为设无伴电压源支路的电流为 i（作为一个变量）（作为一个变量）,i电路的结点电压方程为电路的结点电压方程为再补充的约束方程再补充的约束方程un1un2=(G1+G2)-G2iun1un2=-G2+(G2+G3)is
29、2un1=us1五、电路中含有受控源的处理方法五、电路中含有受控源的处理方法021un1un2=(G1+G2)-G1is1un1un2=-G1+(G1+G3)-gu2 is1u2=un11 暂把受控电流源当作独立电流源，列结点电压方程暂把受控电流源当作独立电流源，列结点电压方程2 把把控制量控制量用有关的结点电压表示，增加一个方程。用有关的结点电压表示，增加一个方程。电路中含有受控源的处理方法电路中含有受控源的处理方法021整理有：整理有：含有受控源的电路系数矩阵不对称含有受控源的电路系数矩阵不对称un1un2=(G1+G2)-G1is1un1un2=(g-G1)+(G1+G3)is11、指定
30、参考结点、指定参考结点其余结点与参考结点之间的电压就是结点电压。其余结点与参考结点之间的电压就是结点电压。2、列出结点电压方程、列出结点电压方程自导总是正的，互导总是负的，自导总是正的，互导总是负的，注意注意注入各结点的注入各结点的电流电流项前的项前的正负号。正负号。3、如电路中含有受控电流源、如电路中含有受控电流源 把把控制量控制量用有关的结点电压表示，用有关的结点电压表示，暂把受控电流源当作独立电流源。暂把受控电流源当作独立电流源。4、如电路中含有无伴电压源、如电路中含有无伴电压源把电压源的把电压源的电流电流作为变量，补充约束方程。作为变量，补充约束方程。5、从结点电压方程解出结点电压、从结点电压方程解出结点电压可求出各支路电压和支路电流。可求出各支路电压和支路电流。六、结点法的步骤归纳如下：六、结点法的步骤归纳如下：电路中含恒流源的情况电路中含恒流源的情况BR1I2I1E1IsR2ARS?列结点电压方程列结点电压方程时，和电流源串时，和电流源串联的电导不计算联的电导不计算在内。在内。第第3章结束章结束