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1、第第3 3章章 线性电阻电路的一般分析方法线性电阻电路的一般分析方法3.3 3.3 支路电流法支路电流法3.4 3.4 回路电流法回路电流法3.5 3.5 节点电压法节点电压法 重点：重点：熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法：1.1.支路电流法支路电流法2.2.回路电流法回路电流法3.3.节点电压法节点电压法3.1 3.1 电路的图论电路的图论 3.2 3.2 KCLKCL和和KVLKVL的独立方程数的独立方程数3.1 电路的图论电路的图论(graphic theory of circuit)支路：支路：两个节点之间的通路，通路中不存在其他节点两个节点之间的通路，通路中不存
2、在其他节点，数目，数目为为b 。节点：节点：两条以上端线的汇集点，数目为两条以上端线的汇集点，数目为n。图图G：节点和支路构成的一个集合。节点和支路构成的一个集合。举例说明：举例说明：R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234支路为支路为i1,i2,i3,i4,i5,i6；b=6节点为节点为1,2,3,4；n=4有向图：有向图：所有支路都规定了参考方向所有支路都规定了参考方向 ；图论中的图：图论中的图：所有支路都看成是一条几何线，如图所示，所有支路都看成是一条几何线，如图所示，以后所说的图均指图论中的图以后所说的图均指图论中的图；路径：路径：若干条支路首尾相接而成，若干条支
3、路首尾相接而成，如图中的如图中的1-2-31-2-3；1234连通图：连通图：任何两个节点之间都存任何两个节点之间都存在路径，我们这里只研究在路径，我们这里只研究连通图；连通图；回路：回路：无公共节点的闭合路径，无公共节点的闭合路径，如图中的如图中的1-2-3-4-11-2-3-4-1；树：树：是连通图是连通图 G 的一个子图，包含的一个子图，包含G中所有节点及其部分支中所有节点及其部分支路，但是没有任何回路，下面的图是前面所述图的一棵路，但是没有任何回路，下面的图是前面所述图的一棵树，一个图的树，一个图的树并不是唯一的树并不是唯一的；1234树支：树支：树上的支路，如图中树上的支路，如图中1
4、-41-4、2-42-4、3-43-4，可以证明，可以证明树支的数树支的数目为目为n-1-1；连支：连支：图中树支以外的支路，在图中树支以外的支路，在树的基础上每增加一根连支树的基础上每增加一根连支就形成一个新的回路就形成一个新的回路；3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数(No.of independent eq.of KCL&KVL)由树支的数目可以算出由树支的数目可以算出连支连支数为数为l=b-n+1+1；由于一个图的由于一个图的树并不是唯一的，树并不是唯一的，所以所以一个图的一个图的独立回路独立回路组也不是唯一的组也不是唯一的；不同的树对应着不同的独立回路组。；不同的树对应着
5、不同的独立回路组。1234 独立回路组中的每个回路称独立回路组中的每个回路称之为图的一个独立回路，每个独之为图的一个独立回路，每个独立回路可以写一个独立立回路可以写一个独立KVL方程方程，所以一个图的所以一个图的独立独立KVL方程方程数为数为l=b-n+1。独立回路组：独立回路组：图的每棵不同的树和其对应所有连支形成的图的每棵不同的树和其对应所有连支形成的所有回路，如图中的所有回路，如图中的1-2-41-2-4、2-3-42-3-4、3-2-43-2-4。对对n个节点的电路，通过直个节点的电路，通过直接列写接列写KCL方程可以证明：一方程可以证明：一个图的个图的独立独立KCL方程为方程为n-1
6、个个。平面电路平面电路：可以画在平面上，不出现支路交叉的电路。：可以画在平面上，不出现支路交叉的电路。非平面电路非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。互交叉。是平面电路是平面电路 总有支路相互交叉总有支路相互交叉是非平面电路是非平面电路53241独立回路的选取：独立回路的选取：1435253241n=8，b=12对对平面电路平面电路，bn+1个网孔即是一组独立回路。个网孔即是一组独立回路。选网孔时，特别要选网孔时，特别要求回路方向全部按求回路方向全部按顺时针选取！顺时针选取！也可以由图也可以由图论中的树来论中的树来选独立回路选独立回路3.
7、3 支路电流法支路电流法(branch current method)举例说明：举例说明：R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234b=6n=4支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。路的方法。u1=R1i1，u4=R4i4，u2=R2i2，u5=R5i5，u3=R3i3，u6=uS+R6i6u6R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(1)标定各支路电流、电压的参考向标定各支路电流、电压的参考向(2)对节点，根据对节点，根据KCL列方程列方程节点节点 1：i1+i2 i6=0(1)出
8、为出为正正进为进为负负u6节点节点 2：i2+i3+i4=0节点节点 3：i4 i5+i6=0节点节点 4：i1 i3+i5=0节点节点 1：i1+i2 i6=0节点节点 2：i2+i3+i4=0节点节点 3：i4 i5+i6=0显然独立的显然独立的KCL方程方程只有只有n-1个个。3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(3)选选定定b-n+1个个独独立立回回路路，根根据据KVL，列写回路电压方程。列写回路电压方程。回路回路1：u1+u2+u3=0(2)12u6回路回路3：u1+u5+u6=0回路回路2：u3+u4 u5=0 u1=R1i1，u4=R4i4，u2=R2
9、i2，u5=R5i5，u3=R3i3，u6=uS+R6i6将各支路电压、电流关系代入将各支路电压、电流关系代入方程（方程（2）得：）得：R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0（3）i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0KCLKVLR1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS3123412u6联立求解，求出各支路电流，联立求解，求出各支路电流，进一步求出各支
10、路电压。进一步求出各支路电压。支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定选定(n1)个节点个节点，列写其列写其KCL方程；方程；(3)选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程；(元件特性元件特性VCR代入代入)(4)求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路电流法的特点：支支路路电电流流法法是是最最基基本本的的方方法法，在在方方程程数数目目不不多多的的情情况况下下可
11、可以以使使用用。由由于于支支路路法法要要同同时时列列写写 KCL和和KVL方方程程，所所以以方方程程数数较较多多，且且规规律律性性不不强强(相相对对于于后后面面的的方方法法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。例例1.节点节点a：I1I2+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：I1I3US1US2R1R2R3ba+I2US1=130V,US2=117V,R1=1,R2=0.6,R3=24.求各支路电流及电压源求各支路电流及电压源各自发出的功率。各自发出的功率。解解(2)bn+1=2个个KVL方程：方程：R2I2+R3I3=US2 U=US
12、R1I1R2I2=US1US20.6I2+24I3=117I10.6I2=130117=1312(3)联立求解联立求解I1I2+I3=00.6I2+24I3=117I10.6I2=130117=13解之得解之得I1=10 AI3=5 AI2=5 A(4)功率分析功率分析PU S1=-US1I1=-130 10=-1300 WPU S2=-US2I2=130 10=585 W验证功率守恒：验证功率守恒：PR 1=R1I12=100 WPR 2=R2I22=15 WPR 3=R3I32=600 WP=-715 WP=715 WP发发=715 WP吸吸=715 WP发发=P吸吸或者写成或者写成 P=
13、-715+715=0 W123例例2.列写如图电路的支路电流方程列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路含理想电流源支路)。b=5,n=3KCL方程：方程：-i1-i2+i3=0 (1)-i3+i4-i5=0 (2)R1 i1-R2i2 =uS (3)KVL方程：方程：+ui1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4cR4解解i5=iS (6)-R4 i4+u=0 (5)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)R1 i1-R2i2 =uS (3)i5=iS (5)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)3.4 回路电流法回路电流法(loop current method)基本思想
14、：基本思想：以以假假想想的的回回路路电电流流为为未未知知量量。回回路路电电流流已已求求得得，则各支路电流可用回路电流线性组合表示。则各支路电流可用回路电流线性组合表示。回回路路电电流流是是在在独独立立回回路路中中闭闭合合的的，对对每每个个相相关关节节点点均均流流进进一一次次，流流出出一一次次，所所以以KCL自自动动满满足足。若若以以回回路路电电流流为为未未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。方程。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2选选图图示示的的两两个个独独立立回回路路，回回路路电流分别为电流分别为il1、il2。支路
15、电流可由回路电流求出支路电流可由回路电流求出 i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2回路回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0整理得：整理得：(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2电压与回路绕行方向一致时取电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取；否则取“-”。回路法的一般步骤：回
16、路法的一般步骤：(1)选定选定l=b-n+1个独立回路，个独立回路，标明标明各回路电流及方向。各回路电流及方向。(2)对对l个个独独立立回回路路，以以回回路路电电流流为为未知量，列写其未知量，列写其KVL方程；方程；(3)解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。自电阻总为自电阻总为正正。R11=R1+R2 回路回路1的自电阻。等于的自电阻。等于回路回路1中所有电阻之和。中所有电阻之和。R22=R2+R3 回路回路2的自电阻。等于的自电阻。等于回路回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。R12=R21=R2 回路回路1、回路、回路
17、2之间之间的互电阻。的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取同时，互电阻取正正号；否则为号；否则为负负号。号。ul1=uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2=uS2 回路回路2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该回路方向一致时，取当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负负号反之取号反之取正正号。号。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2R11il1+R12il2
18、=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：一般情况，对于具有一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有：个回路的电路，有：其中其中Rjk:互电阻互电阻+:流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同-:流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0:无关无关特例：不含受控源的线性网络特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。（平面电路，（平面电路，当回路电流均取顺当回路电流均取顺(或逆或逆)时针方向时针方向时时 Rjk均为负）均为负）R11il1+R12il2+R1l il
19、l=uSl1 R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正)，k=1,2,l(绕行方向取回路电流参考方向绕行方向取回路电流参考方向)。回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1)选定选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向；个独立回路，标明回路电流及方向；(2)对对l个个独独立立回回路路，以以回回路路电电流流为为未未知知量量，列列写写其其KVL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用
20、回路电流表示)；网网孔孔电电流流法法：对对平平面面电电路路，若若以以网网孔孔为为独独立立回回路路，此此时时回回路路电电流流也也称称为为网网孔孔电电流流，对对应应的的分分析析方方法称为网孔电流法。法称为网孔电流法。例例1.用回路法求各支路电流。用回路法求各支路电流。解：解：(1)设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2)列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic=US2-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4系数为对系数为对称方称方阵，且互电阻阵，且互电阻为负。为负。(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia,Ib
21、,Ic(4)求各支路电流：求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-IcIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4 将看将看VCVSVCVS作独立源建立方程；作独立源建立方程；找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。4Ia-3Ib=2-3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2 4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=0U2=3(Ib-Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A例例2.用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电
22、流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.解得解得*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。例例3.列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法方法1：引入电流源电压为变量，增加回路电流和引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。电流源电流的关系方程。(R1+R2)I1-
23、R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路属于一个回路,该回路电流即该回路电流即 IS。I1=IS-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I3节点电压法节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路以节点电压
24、为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。节节点点电电压压法法的的独独立立方方程程数数为为(n-1)个个。与与支支路路电电流流法法相比，相比，方程数可减少方程数可减少l=b-(n-1）个个。3.5 节点电压法节点电压法(node voltage method)i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2节点节点b为参考节点，则为参考节点，则设节点设节点a电压为电压为则：则：举例说明：举例说明：(2)列列KCL方程：方程：iR出出=iS入入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1)选
25、选定定参参考考节节点点，标标明明其其余余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性代入支路特性VCR：整理，得：整理，得：令令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2=isn1G11un1+G12un2=isn2标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程。(3)求解上述方程求解上述方程由由节节点点电电压压方方程程求求得得各各节节点点电电压压后后即即可可求求得得个个支支路路电电压，各支路电流即可用节点电压表示：压，各支路电流即可用节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012G11=G1+G2
26、+G3+G4节节点点1的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点1上所有支路的电导之和。上所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节节点点2的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点2上上所所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12=G21=-(-(G3+G4)节节点点1与与节节点点2之之间间的的互互电电导导，等等于于接接在在节节点点1与与节节点点2之之间间的的所所有有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。*自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。*含电流源支路的电导总为零。含电流源支路的电导总为零。iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点流入节点1的
27、电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=-iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。*流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-若电路中含电压源与电若电路中含电压源与电阻串联的支路：阻串联的支路：uS1整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得：得：(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G1+G2+G3+G4)un2=-iS3等效电流源等效电流源一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G
28、1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中其中 Gii 自自电电导导，等等于于接接在在节节点点i上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。*当当电电路路含含受受控控源源时时，系系数数矩矩阵阵一一般般不不再再为为对对称称阵。且有些结论也将不再成立。阵。且有些结论也将不再成立。iSni 流流入入节节点点i的的所所有有电电流流源源电电流流的的代代数数和和(包包括括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源
29、电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij=Gji互互电电导导，等等于于接接在在节节点点i与与节节点点j之之间间的的所所支路的电导之和，并冠以支路的电导之和，并冠以负负号。号。节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定选定参考节点，标定n-1个独立节点；个独立节点；(2)对对n-1个个独独立立节节点点，以以节节点点电电压压为为未未知知量量，列写其列写其KCL方程；方程；(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个节点电压；个节点电压；(5)其它分析。其它分析。(4)求各支路电流求各支路电流(用用节点电压节点电压表示表示)；(1)先先把受控源当作独立源看列方程；把受控源当
30、作独立源看列方程；(2)用节点电压表示控制量。用节点电压表示控制量。例例1.列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。uR2=un1iS1R1R3R2gmuR2+uR2_12解解：用节点法求各支路电流。用节点法求各支路电流。例例2.(1)列节点电压方程：列节点电压方程：UA=21.8V，UB=-21.82VI1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.45mAI4=UB/40=0.546mAI5=UB/20=-1.09mA(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB=0.006-0.1UA
31、+(0.1+0.05+0.025)UB=-0.006(2)解方程，得：解方程，得：(3)各支路电流：各支路电流：20k 10k 40k 20k 40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5解：解：试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系方法方法2：选择合适的参考点选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231(G1+G2)U1-G1U2+I=0-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3
32、-I=0U1-U3=USU1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0G3G1G4G5G2+_Us231I例例3.支路法、回路法和节点法的比较：支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。较容易。(3)回回路路法法、节节点点法法易易于于编编程程。目目前前用用计计算算机机分分析析网网络络(电网，集成电路设计等电网，集成电路设计等)采用节点法较多。采用节点法较多。支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-n+100n-1方程总数方程总数b-n+1n-1b-n+1b(1)方程数的比较方程数的比较