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1、 第三章第三章平稳随机过程平稳随机过程上一章讨论的随机过程的数学特征：上一章讨论的随机过程的数学特征：1.1.它它们们不不仅仅都都是是时时间间的的函函数数，而而且且相相关关函函数数及及协协方方差差函函数数还还取决于不同的时刻点。取决于不同的时刻点。2.2.由由 和和 所对应的物理量都是瞬时平均值。所对应的物理量都是瞬时平均值。工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平平稳稳”随随机机过过程程，或或在在研研究究相相对对稳稳定定状状态态下下的的物物理理过过程程中中，其其所所涉及的随机量也都属于涉及的随机量也都属于“平稳平稳”随机过程。随机过程。
2、同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。3.1平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义 3.1.1严（狭义）平稳随机过程定义严（狭义）平稳随机过程定义&设设为为一一随随机机过过程程，如如果果对对于于任任意意的的n 和和，其其n 维维概率密度概率密度（或（或分布函数分布函数）满足：）满足：则称则称是是严（狭义）平稳随机过程严（狭义）平稳随机过程。n即：严平稳随机过程的统计特性即：严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起与所选取的时间起点无关点无关。也就是说，其统计特
3、性在相当长的时间内。也就是说，其统计特性在相当长的时间内是不变的。是不变的。n例例：今今天天测测的的与与以以前前测测的的平平稳稳随随机机过过程程的的统统计计特特性是相同的。性是相同的。根据以上定义不难得到下列性质：根据以上定义不难得到下列性质：（1）一维概率密度与时间无）一维概率密度与时间无关关：注意注意t1的任意性！的任意性！n物物理理含含义义：平平稳稳随随机机过过程程的的任任一一时时刻刻的的随随机机变变量量的概率密度都是相同的。的概率密度都是相同的。（2）二维概率密度只与时间差）二维概率密度只与时间差有有关，而与时间起点无关：关，而与时间起点无关：物理含义：物理含义：平稳随机过程中时间间隔
4、相同的二平稳随机过程中时间间隔相同的二个随机变量的联合概率密度都是相同的。个随机变量的联合概率密度都是相同的。由严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，二维由严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，二维概率密度只与时间差概率密度只与时间差有关，可得下列有关，可得下列推论：推论：n（1）严严平平稳稳随随机机过过程程的的数数学学期期望望和和方方差差都都是是常常数数，与与时时间无关；间无关；（2）相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。）相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。问题：问题：只只有有了了解解了了概概率率密密度度函函数数的的特特性性才才能能判断随机过程的严（狭义）平稳性。判断随机
5、过程的严（狭义）平稳性。往往很难获得定义中的条件。往往很难获得定义中的条件。宽（广义）平稳随机过程定义宽（广义）平稳随机过程定义&设设x(t)为一随机过程，若为一随机过程，若满足：满足：则称则称x(t)是是宽平稳宽平稳随机过程或随机过程或广义广义平稳随机过程。平稳随机过程。n 表示随机过程平均功率有限。表示随机过程平均功率有限。n宽（广义）平稳随机过程的定义是宽（广义）平稳随机过程的定义是从统计平均的意义从统计平均的意义上上考察随机过程的平稳性。考察随机过程的平稳性。3.1.3严（狭义）平稳与宽严（狭义）平稳与宽(广义广义)平稳间关系平稳间关系n严平稳必定是宽平稳的，但反之则不一定。严平稳必定
6、是宽平稳的，但反之则不一定。因因为为：严严平平稳稳的的定定义义条条件件本本身身包包含含了了宽宽平平稳稳的的条条件件。（由由严严平平稳稳的的推推论论结结果果可可知知）。但但满满足足宽宽平平稳稳条条件件的的随随机机过过程程，它它的的n维维概概率率密密度度函函数数却却不不一一定定能能满满足足严严平稳的条件要求，平稳的条件要求，因此它未必是严平稳随机过程。因此它未必是严平稳随机过程。n今后平稳随机过程均指宽今后平稳随机过程均指宽(广义广义)平稳过程。平稳过程。n广义平稳可避开概率密度函数的获取。为何？广义平稳可避开概率密度函数的获取。为何？3.1.4集合平均与时间平均集合平均与时间平均n同同一一时时刻
7、刻，平平行行地地做做同同一一种种具具有有随随机机结结果果的的有有限限次次试试验验，所所得得的的样样本本函函数数的的各各种种平平均均特特性性，称称为为有限集合平均。有限集合平均。例：例：其中，其中，表示第表示第 i i个试验，在个试验，在t1时刻的随机试验的结果。时刻的随机试验的结果。即，由这即，由这N个平行的随机样本值，可做出在个平行的随机样本值，可做出在t1时刻的各时刻的各种平均特性，称为有限集合平均。种平均特性，称为有限集合平均。n集合平均统计平均集合平均统计平均n其其意意义义在在于于：求求统统计计平平均均必必须须知知道道概概率率密密度度函函数数，但但其不易得到。若引入集合平均的概念，则有
8、：其不易得到。若引入集合平均的概念，则有：即，可回避由概率密度函数求即，可回避由概率密度函数求和相关函数和相关函数，但其难点是：但其难点是：需要无穷多个平行的试验样本值。需要无穷多个平行的试验样本值。n问题的提出：问题的提出：是是否否可可以以用用同同一一试试验验装装置置在在不不同同时时刻刻的的随随机机试试验验结结果果来来代代替替很很多多个个试试验验装装置置在在同同一一时时刻刻平行得到的随机试验结果呢？平行得到的随机试验结果呢？如如果果可可以以，就就能能用用单单一一实实验验装装置置试试验验结结果果来来表征一个随机过程的特性。表征一个随机过程的特性。n设设某某一一试试验验装装置置在在时时间间的的随
9、随机机试试验验结结果果的的记记录录为为，即即是是每每一一时时刻刻的的值值为为随随机机变变量量的的一一个个随随机过程的实现。机过程的实现。n时间平均值的定义为时间平均值的定义为n问题：问题：上述结果是否可分别代替上述结果是否可分别代替?能分别代替能分别代替 的条件是：的条件是：n1所涉及的随机过程是平稳的；所涉及的随机过程是平稳的；时时间间平平均均要要能能够够代代替替所所有有不不同同时时刻刻随随机机变变量量的的集集 合合 平平 均均 或或 统统 计计 平平 均均，则则 要要 求求 必必 须须 为为 常常 数数，即即 ；同同理理：，即即自自相相关关函函数数只只与与时时间差有关。间差有关。n2在在不
10、不同同时时刻刻的的取取值值，要要能能够够充充分分反反映映任任一时刻随机变量的可能取值。即样本函数一时刻随机变量的可能取值。即样本函数要要能能够够遍遍及及其其随随机机过过程程所所有有可可能能的的取取值值状状态。即具有态。即具有各态历经性各态历经性。条件的结论：条件的结论：平稳随机过程在满足各态历经性平稳随机过程在满足各态历经性的条件下，其时间平均可代替其集合平均和统的条件下，其时间平均可代替其集合平均和统计平均。即，计平均。即，（判断各态历经性的准则）（判断各态历经性的准则）绝大部分的平稳过程都具有各态历经性，但绝大部分的平稳过程都具有各态历经性，但并非全体都具有各态历经性。并非全体都具有各态历
11、经性。平稳过程的各态平稳过程的各态历经过程的充要条件：历经过程的充要条件：或或3.2平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质 3.2.1相关函数的性质相关函数的性质设设为实平稳随机过程，则为实平稳随机过程，则n（1）自相关函数为偶函数。自相关函数为偶函数。n（2）随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。n（3）周期平稳随机过程的自相关函数必是周期函数，周期平稳随机过程的自相关函数必是周期函数，且其周期与过程的周期相同。且其周期与过程的周期相同。若若平平稳稳过过程程满满足足条条件件，则则称称为为周周期期平稳过程平稳过程，其中，其中为过程的周期。
12、即，为过程的周期。即，n（4）P：平均功率：平均功率的平均功率为的平均功率为。往往能量无穷，而平均功率却是有限的。往往能量无穷，而平均功率却是有限的。n注意：能量信号与功率信号的区别。注意：能量信号与功率信号的区别。n（5）的直流功率为的直流功率为n（6）方差方差交流功率交流功率平均功率直流功率平均功率直流功率n（7）自相关函数的傅氏变换满足非负性。）自相关函数的傅氏变换满足非负性。即，即，自相关函数曲线不能出现自相关函数曲线不能出现平顶，垂直边平顶，垂直边或幅度上的任何或幅度上的任何不连不连续性续性。自协方差函数自协方差函数也具有相同的特性。也具有相同的特性。n（8）一个函数能成为自相关函数
13、的）一个函数能成为自相关函数的充要条件充要条件是其必须满足是其必须满足半半正定性正定性，即对任意函数，即对任意函数有有由上述性质可见：由上述性质可见：相关函数可以表示平稳随机相关函数可以表示平稳随机过程（信号）几乎所有的数字特征。过程（信号）几乎所有的数字特征。即，所有的功率、平均值、偏离平均值的程度，即，所有的功率、平均值、偏离平均值的程度，不同时刻随机变量的关联性不同时刻随机变量的关联性。一、一、互相关函数的性质互相关函数的性质n（1）n（2）n（3）n（4）n相关系数与相关时间的概念相关系数与相关时间的概念&1.相关系数相关系数的定义：的定义：-归一化相关函数。归一化相关函数。且且。&2
14、.互相关系数互相关系数的定义：的定义：，且，且。&3.相关时间相关时间的定义：的定义：对对于于一一给给定定时时间间常常数数，如如果果当当时时，可可以以认认为为随随机机过过程程与与已已不不相相关关，则则称称时时间间常常数数为为相关时间。相关时间。n理理论论上上一一般般定定义义：。工工程程上上由由实实际际环环境境确确定。定。值的大小，反映了随机过程随时间变化的快慢。值的大小，反映了随机过程随时间变化的快慢。三三.随机序列的自相关矩阵与协方差矩阵随机序列的自相关矩阵与协方差矩阵 *n1Toeplitz矩阵矩阵若若矩矩阵阵每每一一对对角角线线上上的的元元素素都都是是相相同同的的，则则称称该该矩矩阵阵为
15、为Toeplitz矩阵。即矩阵元素满足：矩阵。即矩阵元素满足：其其中中，下下标标中中的的“”号号，同同时时为为“+”，或或同同时时为为“-”。；。随随机机序序列列的的自自相相关关矩矩阵阵与与协协方方差差矩矩阵阵是是Toeplitz矩矩阵阵。故故满足对称性。满足对称性。由一列或一行元素可惟一确定自相关矩阵与协方差矩阵。由一列或一行元素可惟一确定自相关矩阵与协方差矩阵。n1自相关矩阵的正则形式自相关矩阵的正则形式-使自相关矩阵对角化使自相关矩阵对角化设自相关矩阵满足方程设自相关矩阵满足方程（1）其中，其中，为标量，称为为标量，称为R的特征值；的特征值；为一列向量，称为为一列向量，称为R的特征向量。
16、的特征向量。由（由（1）式可得，）式可得，因为对于非零解的特征向量因为对于非零解的特征向量 ，有，有该该方方程程称称为为的的特特征征方方程程，该该方方程程的的根根称称为为的的特特征征值值，记记为为。对于每个特征值对于每个特征值 ，由（，由（1）式可得）式可得，。n将将写成矩阵形式有写成矩阵形式有令令，则，则，故有，故有自相关矩阵的正则形式自相关矩阵的正则形式3高斯随机过程高斯随机过程 一、高斯过程是其任意维概率密度函数有如下形式：一、高斯过程是其任意维概率密度函数有如下形式：（2）其中其中，;，行列式行列式 中元素中元素 的代数余因子。的代数余因子。n高斯过程的性质：高斯过程的性质：1、高斯过
17、程的的概率密度函数仅由其均值、协、高斯过程的的概率密度函数仅由其均值、协方差函数确定。方差函数确定。2、高斯过程若是宽（广义）平稳的，则必是严、高斯过程若是宽（广义）平稳的，则必是严（狭义）平稳的。（狭义）平稳的。（高斯过程的概率密度函高斯过程的概率密度函数仅由均值、协方差函数确定）数仅由均值、协方差函数确定）3、若多维高斯过程中各随机变量之间不相关，、若多维高斯过程中各随机变量之间不相关，则各随机变量是统计独立的。则各随机变量是统计独立的。4、平稳高斯过程与确定信号之和的概率密度仍、平稳高斯过程与确定信号之和的概率密度仍 为高斯过程。为高斯过程。二、高斯过程的一维概率密度函数二、高斯过程的一
18、维概率密度函数 n当当（2）式式中中n=1时时，则则可可得得高高斯斯过过程程X(t)的的一一维维随随机机变变量量的概率密度函数：的概率密度函数：其性质：其性质：n1、对称于对称于，即，即n2、在（在（，a）内单调上升，在（）内单调上升，在（a，）内单）内单调下降。调下降。且在且在处达到极大值：处达到极大值：；在；在处，处，。n3、由的对称性及、由的对称性及，可得：，可得：n4、a确定确定的中心位置，的中心位置，确定确定图形的宽图形的宽窄。窄。时，为时，为 的标准化形式，即，的标准化形式，即，。三、高斯过程的一维分布函数三、高斯过程的一维分布函数 n、高斯（正态）分布函数、高斯（正态）分布函数
19、由分布函数的定义，可得由分布函数的定义，可得其中，定义其中，定义 为概率积分函为概率积分函数，此积分值一般由查表获取。数，此积分值一般由查表获取。2 2、正态分布函数与误差函数间的关系、正态分布函数与误差函数间的关系&误差函数定义：误差函数定义：&互补误差函数定义：互补误差函数定义：若若 ，则下式成立，则下式成立若若 ,则下式成立则下式成立 令令，则，则上式给出了分布函数与误差函数，互补误差函数间的关系。上式给出了分布函数与误差函数，互补误差函数间的关系。由由可知：可知：i)当当时，时，或或ii)当当时，时，或或引引用用上上述述关关系系式式，主主要要是是为为讨讨论论通通信信系系统统抗抗噪噪声声性性能能服服务的。上述关系式可归纳为：务的。上述关系式可归纳为：习题：习题：3.2；3.4；3.6；3.8；3.13；3.21。