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1、一、一维随机变量的数学期望一、一维随机变量的数学期望定义定义1 设设X是一离散型随机变量，其分布列为：是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量则随机变量X 的的数学期望数学期望为为:设设X是一连续型随机变量，其分布密度为是一连续型随机变量，其分布密度为则随机变量则随机变量X的的数学期望数学期望为为定义定义2 第三章第三章 随机变量的数字特征小结随机变量的数字特征小结 1随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：假定级数是绝对收敛的假定级数是绝对收敛的.（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi,yj)，则，则
2、（2）设二维连续随机变量）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，则，则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：假定积分绝对收敛假定积分绝对收敛.二、二维随机变量的数学期望二、二维随机变量的数学期望2则定义随机变量函数则定义随机变量函数的的数学期望数学期望为：为：（1）设）设离散型随机变量离散型随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：三、一维随机变量函数的数学期望三、一维随机变量函数的数学期望机变量函数机变量函数的数学期望为：的数学期望为：则定义随则定义随（2）若）若X为连续型随机变量为连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为
3、3（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi,yj)，则，则随机变量函数随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下：假定这个级数是绝对收敛的假定这个级数是绝对收敛的.（2）设二维连续随机变量）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，则，则随机变量随机变量g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下：假定这个积分是绝对收敛的假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望四、二维随机变量的函数的数学期望4五、关于数学期望的定理五、关于数学期望的定理定理定理1 1推论推论（1）（2）（3）定理
4、定理2 2推论推论定理定理3 3 若若X、Y 独立，则有独立，则有：推论推论5 X 的的标准差标准差：定义定义 X 的的方差：方差：若若X 为为离散型随机变量离散型随机变量，则有则有若若X 为为连续型随机变量连续型随机变量，则有则有二维随机变量的方差二维随机变量的方差 离散型随机变量离散型随机变量六、方差与标准差六、方差与标准差6连续型随机变量连续型随机变量方差的计算公式方差的计算公式:定理定理1 1推论：推论：有关方差的定理：有关方差的定理：7二项分布：二项分布：0-1分布：分布：几何分布几何分布:均匀分布均匀分布:指数分布指数分布:Poisson分布分布定理定理2 2：若若X与与Y 独立，
5、独立，推论：推论：若若相互独立，相互独立，七、某些常用分布的数学期望及方差七、某些常用分布的数学期望及方差8对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：随机变量随机变量X 的的 k 阶原点矩：阶原点矩：定义定义1其中其中k为正整数。特别的，为正整数。特别的，定义定义2：X 的的k 阶中心矩阶中心矩：特别的，特别的，八、原点矩与中心矩八、原点矩与中心矩91 1、X与与Y 的协方差（或的协方差（或相关矩相关矩）：）：定义定义 离散型随机变量：离散型随机变量：连续型随机变量：连续型随机变量：注注九、协
6、方差与相关系数九、协方差与相关系数注注 设设X与与Y是任两个随机变量，是任两个随机变量，定理定理1 定理定理2 2 若若X与与Y 独立，则：独立，则：逆命题不成立。逆命题不成立。102 2、X与与Y 的相关系数的相关系数定义定义定理定理3 3且且定理定理4 4定理定理5 5如果如果 X 与与Y 独立，则独立，则反之不成立。反之不成立。即即:X 与与 Y相互相互独立独立X与与 Y 不相关不相关11十、切比雪夫不等式与大数定律十、切比雪夫不等式与大数定律1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 2 2、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律 独立且方差一致有上界独立且方差一致有上界3 3、辛钦大数定律、
7、辛钦大数定律独立同分布独立同分布4 4、伯努利大数定律、伯努利大数定律 在独立试验序列中，事件在独立试验序列中，事件 A 的频率按概率收敛于事件的频率按概率收敛于事件 A 的的概率概率.123.2 一批零件中有一批零件中有9个合格品与个合格品与3个废品。安装机器时从中任取个废品。安装机器时从中任取1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差和标准差。已取出的废品数的数学期望、方差和标准差。解解 第三章答案第三章答案设在取得合格品以前已取出的废品数为设在取得合格品以前已取出的废品数为X133.3 对一目标
8、射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数的数学期望和方差。，求射击次数的数学期望和方差。解解设随机变量设随机变量X表示射击次数，表示射击次数，则则X 服从几何分布。服从几何分布。143.4 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5 5个产品都个产品都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品的是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品的次品率为次品率为p p，求每
9、批产品抽查样品的平均数。，求每批产品抽查样品的平均数。设随机变量设随机变量X 表示表示每批产品抽查的样品数每批产品抽查的样品数，则，则:X 的概率分布表如下：的概率分布表如下：解解15解解令令3.6 设随机变量设随机变量X X 的概率密度为：的概率密度为：求数学期望求数学期望E E(X)(X)与方差与方差D(X)D(X)。16解解3.7 随机变量随机变量X X 的概率密度为的概率密度为:求数学期望求数学期望E E(X)(X)与方差与方差D(X)D(X)。172.22,3.8解解(1)当(2)设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 求系数求系数A(2)(3)求数学期望和方差求数学期望
10、和方差(1)(3)18(3)193.9 设随机变量设随机变量X X 的概率密度为：的概率密度为：求系数求系数A A及及E E(X)(X)与与D(X)D(X)。解解20213.12 设随机变量设随机变量X X 服从二项分布服从二项分布B B(3,0.4),(3,0.4),求下列随机变量的求下列随机变量的数学期望数学期望与方差与方差:解解2223解解3.13X 的密度函数为的密度函数为24解解3.14 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内。内。求球体积的数学期望。求球体积的数学期望。253.16 证明：若随机变量证明：若随机变量X 与与Y 独立，
11、则独立，则=左左右右=X与与Y 独立，独立，X2 与与Y2 独立，独立，右右也可从左往右证也可从左往右证.26解解 3.17 独立，且服从同一分布，数学期望为独立，且服从同一分布，数学期望为，方差为，方差为，求这些随机变量的算术平均值，求这些随机变量的算术平均值的数学期望及方差。的数学期望及方差。随机变量随机变量27解解3.18N个人同乘一辆汽车，沿途有个人同乘一辆汽车，沿途有n个车站，每到一个车站时，个车站，每到一个车站时，若无人下则不停车。设每个人在任一站下车是等可能的，若无人下则不停车。设每个人在任一站下车是等可能的，求停车次数的数学期望。求停车次数的数学期望。28 3.5 3.5和和3
12、.193.19（帕斯克分布）设事件（帕斯克分布）设事件A A在每次实验中发生的概率为在每次实验中发生的概率为 p p，进行重复独立实验，直至事件，进行重复独立实验，直至事件A A发生发生r r 次为止，求需要进行次为止，求需要进行的实验总次数的实验总次数 X X 的数学期望与方差。的数学期望与方差。解解设随机变量设随机变量表示事件表示事件A第一次发生时已进行的实验次数，第一次发生时已进行的实验次数，则则表示事件表示事件A从第从第i-1次发生后到第次发生后到第i 次发生时所次发生时所进行的实验次数，进行的实验次数，29解解3.20 计算二项分布计算二项分布的三阶原点距，三阶中心距。的三阶原点距，
13、三阶中心距。3031 3.24 二维随机变量在二维随机变量在 区域区域R：上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（1）的概率密度；的概率密度；（2）数学期望）数学期望及及，方差，方差及及（3）相关矩）相关矩及相关系数及相关系数解解其中其中C 为常数。为常数。则则（1）设（）设（X,Y）的概率密度）的概率密度（2）32（3）33(2)3.25 二维随机变量二维随机变量 的联合密度函数为的联合密度函数为求（求（1）数学期望）数学期望及及（2）方差）方差及及（3）协方差）协方差解解(1)343.28 3.28 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学
14、期望的差大于三倍标准差的概率倍标准差的概率.解解353.29 为了确定事件为了确定事件 A 的概率的概率,进行了进行了10000次重复独立试验次重复独立试验.利用利用切比雪夫不等式估计切比雪夫不等式估计:用事件用事件 A 在在10000次试验中发生的频率作为次试验中发生的频率作为事件事件 A 的概率近似值时的概率近似值时,误差小于误差小于0.01的概率的概率.解解设事件设事件 A 在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为 p,因此所求事件的概率为因此所求事件的概率为在这在这10000次试验中次试验中发生了发生了X 次次,则则363.30解解373.32 从某工厂的产品中任取从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有件，检查结果发现其中有6件次件次 品，能否相信该工厂的次品率不大于品，能否相信该工厂的次品率不大于1？解解假设该工厂的次品率假设该工厂的次品率p不大于不大于1，则检查则检查200件发现次品件发现次品X不小于不小于6的概率：的概率：根据小概率事件的实际不可能原理，根据小概率事件的实际不可能原理，不能相信该工厂的次品率不大于不能相信该工厂的次品率不大于1。38