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1、第一章第一章 随机事件及其概率小结随机事件及其概率小结一、基本内容一、基本内容1.1.随机试验随机试验（1）试验在相同的条件下可重复进行；）试验在相同的条件下可重复进行；（2）试验前知道试验的所有可能结果，）试验前知道试验的所有可能结果，并且可能的结果不止一个；并且可能的结果不止一个；（3）试验前不知道那一个结果会出现。）试验前不知道那一个结果会出现。具有下列特点的试验称为具有下列特点的试验称为随机试验随机试验(试验试验):2.2.样本空间与样本点样本空间与样本点样本空间样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合，随机试验的所有可能的结果所组成的集合，记作记作；样本点样本点样本空间样本空间
2、中的每个元素，中的每个元素，记作记作。即试验的每一可能的结果，即试验的每一可能的结果，(一一一一)随机试验与样本空间随机试验与样本空间随机试验与样本空间随机试验与样本空间1(二二二二)事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算事件及事件之间的关系与运算1.1.随机事件、必然事件、不可能事件随机事件、必然事件、不可能事件2.2.事件间的关系与运算事件间的关系与运算(1)包含与相等包含与相等(2)和事件和事件:“n 个事件个事件 中至少有一个发生中至少有一个发生”“二事件二事件 A 与与 B 至少有一事件发生至少有一事件发生”(3)积事件积事件:或或n 个事件的
3、积个事件的积或或“二事件二事件 A 与与 B 都发生都发生”(4)互不相容互不相容(互斥互斥)事件事件:事件事件 A 与与 B 不能同时发生不能同时发生若若 n 个事件个事件 中任意两个事件不可能同时发生，即中任意两个事件不可能同时发生，即通常把通常把 n 个互不相容事件个互不相容事件 的和记作的和记作2(5)逆事件逆事件或或(6)完备事件组完备事件组互不相容的完备事件组：互不相容的完备事件组：且且若若 满足满足(1).(2).(3).3.3.事件运算的性质事件运算的性质3(三三三三)概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义概率的定义事件事件 A 发生的可能性大小发生的可能性大小概率
4、的古典定义：概率的古典定义：几何概率的定义几何概率的定义:概率的统计定义概率的统计定义概率的公理化定义概率的公理化定义(四四四四)概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式概率的有关定理及公式1.1.加法定理加法定理若事件若事件 互不相容互不相容，则，则42.条件概率及乘法定理条件概率及乘法定理条件概率条件概率 乘法定理乘法定理 3.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式全概率公式全概率公式其中其中贝叶斯公式贝叶斯公式5(五五五五)事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性与独立试验序列事件的独立性事件的独立性事件事件 A
5、 与事件与事件 B 相互独立相互独立若若 n 个事件个事件 A1,A2,An 是相互独立的是相互独立的，则则如果在独立试验序列中事件如果在独立试验序列中事件 A 的概率为的概率为 p(0 p 0，P(B)0，将，将下列四个数：下列四个数：P(A)、P(AB)、P(AB)、P(A)+P(B)用用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立。连接它们，并指出在什么情况下等号成立。解解201.18.设设P(A)=0.5，P(B)=0.7，则则解解（1）在怎样的条件下）在怎样的条件下P(AB)最大？最大？（2）在怎样的条件下）在怎样的条件下P(AB)最小？最小？P(AB)最大最大P(AB)最小最小2121
6、.解解22 1.23 猎人在距离猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为米处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第，如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米，如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为米，如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。解解A表示击中，表示击中，An表示第表示第n次击中次击中(n=1,2,3)，则则2325.25.两台机床加工同样的零件，第一台出现废品
7、的概率为两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.030.03，第，第 二台出现废品的概率为二台出现废品的概率为0.020.02，已知第一台加工的零件比第二台，已知第一台加工的零件比第二台 加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：(1)(1)任意取出的零件是合格品任意取出的零件是合格品(A A)的概率的概率 (2)(2)若任取出的零件是废品，求它是第二台加工的概率。若任取出的零件是废品，求它是第二台加工的概率。解解“取出的零件由第取出的零件由第 i 台加工台加工”设设Bi=24 10001000个灯泡中坏灯泡的个数从个灯泡中坏灯泡的个
8、数从0 0到到5 5是等可能的，是等可能的，(1)(1)求求A A=“=“从从10001000个灯泡中任取个灯泡中任取100100个灯泡都是好灯泡个灯泡都是好灯泡”的概率；的概率；(2)(2)若任取的若任取的100100个灯泡都是好的，求个灯泡都是好的，求10001000个都是好的概率。个都是好的概率。解解“取出的取出的1000个灯泡中有个灯泡中有i 个坏的个坏的”设设Bi=2526.26.袋中有袋中有1212个乒乓球，其中个乒乓球，其中9 9个新的。第一次比赛从中任取个新的。第一次比赛从中任取3 3个，个，比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取3 3
9、个，求第二次个，求第二次 取出的球都是新球的概率。取出的球都是新球的概率。解解“第一次取出的第一次取出的3 3个球中有个球中有i个个新球新球”设设Bi=2629 发报台分别以概率发报台分别以概率 0.6 及及 0.4 发出信号发出信号“”及及“-”，由于通，由于通信系统受到干扰，当发出信号信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率时，收报台以概率 0.8 及及 0.2 收收到信号到信号“”及及“-”；又当发出信号；又当发出信号“-”时，收报台以概率时，收报台以概率 0.9 及及 0.1 收收到信号到信号“-”及及“”，求，求（1）当收报台收到信号）当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号
10、时，发报台确系发出信号“”的概率；的概率；（2）当收报台收到信号）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号时，发报台确系发出信号“-”的概率。的概率。解解设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“”，设设 表示发报台发出信号表示发报台发出信号“-”。B 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“”，C 表示收报台收到信号表示收报台收到信号“-”，则则（1）（2）27，则，则A与与B是独立的。是独立的。30.证明：若证明：若证证 A与与B是独立的。是独立的。另证另证 A与与B是独立的。是独立的。2831.一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率：一工人看管三台机床，在一小时内机床
11、不需要工人照管的概率：第一台为第一台为0.9，第二台为，第二台为0.8，第三台为，第三台为0.7。求在一小时内最多有。求在一小时内最多有 一台需要工人照管的概率。一台需要工人照管的概率。解解“第第 i 台机床需要工人照管台机床需要工人照管”设设Ai=“在一小时内最多有一台需要工人照管在一小时内最多有一台需要工人照管”A=是独立的，是独立的，2933.123456“第第i个元件正常工作个元件正常工作”“系统系统1正常工作正常工作”123456“系统系统2正常工作正常工作”3034.甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.
12、7，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6。如果三人都击中，则。如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。解解3135.甲乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，第二次乙射击，甲乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，第二次乙射击，设每次射击甲击中目标的概率为，设每次射击甲击中目标的概率为p1，乙击中目标的概率为乙击中目标的概率为p2，求各人先击中目标的概率。求各人先击中目标的概率。解解“前前 2k 次均未中，第次均未中
13、，第2k+1次甲击中次甲击中”设设A2k+1=“甲先击中目标甲先击中目标”设设A=则则两两互不相容，两两互不相容，32“乙先击中目标乙先击中目标”设设B=“前前 2k-1 次均未中，第次均未中，第2k次次乙击中乙击中”B 2k=另解另解3336.灯泡使用时数在灯泡使用时数在1000小时以上的概率为小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在，求三个灯泡在使用使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率。解解所求概率为所求概率为3437.甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和和0.6，每人投篮，每人投篮3次，次，求：（求：（1）甲乙进球数相等
14、的概率）甲乙进球数相等的概率P1；（2）甲比乙进球多的概率甲比乙进球多的概率P2。解解设事件设事件Ai表示甲在表示甲在3次投篮中投进次投篮中投进i 个球，个球，又设事件又设事件Bi表示乙在表示乙在3次投篮中投进次投篮中投进i 个球，个球，353638.一次射击最多击中一次射击最多击中10环。某运动员在一次射击中得环。某运动员在一次射击中得10环的概率环的概率 为为0.4，得，得9环的概率为环的概率为0.3，得，得8环的概率为环的概率为0.2，求该运动员在，求该运动员在 五次独立射击中不少于五次独立射击中不少于48环的概率。环的概率。解解设事件设事件A表示在五次独立射击中不少于表示在五次独立射击
15、中不少于48环，环，则A1=“5次均击中次均击中10环环”A2=“有有4次击中次击中10环，环，1次击中次击中8环环”A3=“有有4次击中次击中10环，环，1次击中次击中9环环”互不相容，互不相容，显然显然A4=“有有3次击中次击中10环，环，2次击中次击中9环环”371.39 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴。经过若干某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴。经过若干时间以后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有时间以后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n根火柴，根火柴，求这时另一盒中还有求这时另一盒中还有r 根火柴的概率根火柴的概率.解解 这时此人共使用了这时此人共
16、使用了2n-r 根火柴，相当于根火柴，相当于2n-r+1次重复试验次重复试验故所求的概率为故所求的概率为在前在前 2n-r 次试验中，取到某一盒（不妨设为甲盒）的次数为次试验中，取到某一盒（不妨设为甲盒）的次数为n 次，取到另一盒（乙）的次数为次，取到另一盒（乙）的次数为 n-r，在最后一次取到甲盒，在最后一次取到甲盒，3840.某工厂生产过程中出现次品的概率为某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05。每。每100个产品为一组，个产品为一组，在每批中任取一半来检查，若发现次品不多于一个，则这批产在每批中任取一半来检查，若发现次品不多于一个，则这批产 品认为是合格的。求一批产品被认为合格的概率。品认为是合格的。求一批产品被认为合格的概率。解解所求所求 的概率为：的概率为：39