晶格振动和晶体的热力学性质.ppt

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1、目录目录第一章第一章 晶体结构晶体结构第二章第二章 晶体的结合晶体的结合第三章第三章 晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质第四章第四章 晶体缺陷晶体缺陷第五章第五章 金属电子论金属电子论第六章第六章 能带理论能带理论第三章第三章 晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质在前两章的讨论中在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为把晶体中的原子视为固定不动固定不动.实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动微振动.0 K下仍有振动下仍有振动,零点能零点能.格波格波-由于晶体原子间的相互作用由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的原子的振动

2、不是孤立的,而是以而是以 波的形式在晶体中传播波的形式在晶体中传播,形成所谓的形成所谓的格波格波.晶格振动晶格振动-晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为 晶格振动晶格振动.类比于类比于绳波绳波晶格振动是原子的晶格振动是原子的热运动热运动,对晶体热学性能起主要贡献对晶体热学性能起主要贡献.与比热、热膨胀和热传导等与比热、热膨胀和热传导等 晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动都会涉及到大量原子的运动都会涉及到大量原子的运动.牵一发而动全身牵一发而动全身所以所以,在处理过程中只能采取一些近似模

3、型在处理过程中只能采取一些近似模型.先考虑一维情况，再推广到三维情况。先考虑一维情况，再推广到三维情况。-简谐近似简谐近似3.1 3.1 一维单原子链一维单原子链3.1.1 3.1.1 运动方程运动方程 考虑由考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格个相同的原子组成的一维晶格,原子间距原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为，原子质量为m.用用xn表示序号为表示序号为n的原子在的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，那么时刻偏离平衡位置的位移，那么表示在表示在t时刻第时刻第n个和第个和第n-1个原子的相对位移个原子的相对位移.xn-2xn-1xnxn+1xn+2第第n个原子个原子第第n-2个原子

4、个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子a第第n+2个原子个原子设平衡时设平衡时两个原子间的互作用势能为两个原子间的互作用势能为，则产生相对则产生相对位移位移 后后,相互作用势能变成相互作用势能变成 .将将 在平衡位置作在平衡位置作泰勒级数泰勒级数展开展开上式上式第一项第一项为常数为常数.第二项第二项为零为零(平衡时势能取极小值平衡时势能取极小值,f=0).当当很小很小,即振动很微弱时即振动很微弱时,可保留到可保留到第三项第三项.则恢复力为则恢复力为称为恢复称为恢复力常数力常数-可见为可见为简谐振动简谐振动-简谐近似简谐近似xn-2xn-1xnxn+1xn+2第第n个原子个原子第第n

5、-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子a第第n+2个原子个原子只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等,第第n个原子受到的力为个原子受到的力为第第n个原子的运动方程为个原子的运动方程为 对于每个原子都有一个这样类似的方程对于每个原子都有一个这样类似的方程,3.1.2 3.1.2 格波频率与波矢的关系格波频率与波矢的关系以上方程组解的形式为以上方程组解的形式为A为振幅为振幅 为圆频率为圆频率q为波矢为波矢方程数目和原子数目相同方程数目和原子数目相同.简谐振动简谐振动方程的解方程的解位相因子位相因子波矢波矢 如果第如果第 个

6、原子和第个原子和第n个原子的位相差个原子的位相差 为为 的整数倍的整数倍,即即s为整数为整数 这表明第这表明第 个原子和第个原子和第n个原子的距离个原子的距离 为为 的整数倍时的整数倍时,原子因振动产生的位移相等原子因振动产生的位移相等.晶格中原子振动是以角频率为晶格中原子振动是以角频率为的平面波形式存在，的平面波形式存在，波长波长这种波称为这种波称为格波格波.格波的意义格波的意义连续介质中的机械波连续介质中的机械波格波方程格波方程晶体中的格波晶体中的格波格波和连续介质波具有完全类似的形式格波和连续介质波具有完全类似的形式3.1.3 3.1.3 晶格振动的色散关系晶格振动的色散关系将将 代入代

7、入得得 几列波在媒质中传播，它们的频率不同，传播速度亦不同，这几列波在媒质中传播，它们的频率不同，传播速度亦不同，这种现象叫色散种现象叫色散.-色散关系色散关系由色散关系式可画图如下由色散关系式可画图如下:0 m q 0 m q(1)(1)偶函数偶函数(2)(2)周期函数周期函数注注:(3)(3)几个特殊点几个特殊点常放在一个周期中研究常放在一个周期中研究(4)(4)波速波速格波的格波的(相相)速度速度不再是常数不再是常数 (与机械波不同与机械波不同)由于原子的不连续性由于原子的不连续性.0 m q长波近似长波近似 频率与波矢为线性关系频率与波矢为线性关系.常数常数有连续介质中弹性波的特性有连

8、续介质中弹性波的特性连续介质中弹性波的特性连续介质中弹性波的特性 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质()()，格，格波可视为波可视为弹性波弹性波。Y-弹性模量弹性模量 介质密度介质密度其波速为声速其波速为声速,故单原子链中传播的故单原子链中传播的长格波长格波叫叫声波声波.长波近似下格波长波近似下格波机械振动在弹性介质中传播形成的波称为机械振动在弹性介质中传播形成的波称为弹性波弹性波 3.1.4 3.1.4 周期边界条件周期边界条件前面所得的运动方程只适用于无限单原子链的情况前面所得的运动方程只适用于无限单原子链的情况,但实际上晶体但实际上晶体是有限大的

9、，边界上（两端）的原子所受到的作用与内部原子不同，其是有限大的，边界上（两端）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂运动方程式应有不同，使问题变复杂.为解决这一问题，需要引入为解决这一问题，需要引入玻恩玻恩 冯冯.卡门卡门边界条件边界条件.N个原子头尾相接形成环链个原子头尾相接形成环链,这时每个原子这时每个原子都是等价的都是等价的.则则所以所以晶格振动波矢只能取分立的值晶格振动波矢只能取分立的值,即是量子化的即是量子化的.(共共N个值个值)波矢波矢也只能取也只能取N个不同的值个不同的值,波矢的数目波矢的数目(个数个数)=晶体原胞的数目晶体原胞的数目为了保证为了保证

10、xn的单值性的单值性,限制限制q在一个周期内取值在一个周期内取值即即,N个独立的个独立的格波格波，也即，也即N个不同个不同频率频率,或者说有或者说有N个独立的振动个独立的振动模式模式(简振模简振模)3.2 3.2 一维双原子链一维双原子链3.2.1 3.2.1 运动方程运动方程 大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子,这就是复式格子这就是复式格子.最简单的复式格子为一维双原子链最简单的复式格子为一维双原子链.考考虑虑两种不同原子所构成的一两种不同原子所构成的一维维无限无限长长原子原子链链，原子，原子质质量量为为m和和M，且，且mM。相邻原子间距均为。相邻原子间

11、距均为a，恢复力系数为，恢复力系数为。2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22n-2 mM(晶格常量晶格常量为为2a)质量为质量为M的原子编号为的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、质量为质量为m的原子编号为的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、x2n x2n-1x2n+1x2n+2x2n-2类似与求解一维单原子链的运动方程类似与求解一维单原子链的运动方程,可得可得即认为同种原子的振幅相同，只有位相上存在差别即认为同种原子的振幅相同，只有位相上存在差别(2nq)，不同原，不同原子的振幅可以不同子的振幅可以不同.3.2.2 3.2.2 色散关系色散关系将解代入将解代入上

12、式看成是以上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程为未知数的线性齐次方程欲使欲使A，B有非零解有非零解，其系数行列式应为零，即，其系数行列式应为零，即:推导略推导略-光学支格波光学支格波-声学支格波声学支格波(1)(1)偶函数偶函数(2)(2)周期函数周期函数注注:在一个周期内在一个周期内折合质量折合质量AcousticsOptics在长波近似的情况下，声学支格波与在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波弹性波的情况类的情况类似似,所以我们称之为所以我们称之为声学波声学波.声学波声学波当波矢当波矢时时,推导略推导略级数展开级数展开相邻原子的振幅之比相邻原子的振幅之比对于声学支格波对于声学支格波:

13、声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的.由右图可知由右图可知所以所以当波矢当波矢时时,长长声学波，相声学波，相邻邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以原子的位移相同，原胞内的不同原子以相相同的振幅和位相作整体运动同的振幅和位相作整体运动.因此，可以说，长声学波代表因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动了原胞质心的运动.所以所以 光学支格波，相邻原子振动方向是相反的光学支格波，相邻原子振动方向是相反的.当波矢当波矢时时,对于光学支格波对于光学支格波:长光学波，原胞的质心保持不动长光学波，原胞的质心保持不动.所以定性地说，长光学所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动波代表原胞中两

14、个原子的相对振动.光学支格波，相邻原光学支格波，相邻原子振动方向是相反的子振动方向是相反的.声学支格波，相邻原子振声学支格波，相邻原子振动方向是相同的动方向是相同的.1 1为了保证为了保证xn的单值性的单值性,限制限制q在一个周期内取值在一个周期内取值3.2.3 3.2.3 周期边界条件周期边界条件由玻恩由玻恩-卡门边界条件，设晶体有卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：，则：有有(共有共有N个值个值)由由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的，频率的数目为数目为2N，格波，格波(振动模式振动模式)数目为数目为2N。一维双原子链，每个原胞有两个原

15、子，晶体的一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数自由度数是是2N.晶格振动的波矢数晶格振动的波矢数=晶体的原胞数晶体的原胞数 晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内的自由度数原胞内的自由度数晶格振动频率晶格振动频率(振动模式振动模式)数数=晶体的自由度数晶体的自由度数上述结论可以推广到上述结论可以推广到m维维(如二维或三维如二维或三维)复式晶格情况复式晶格情况.如果一个如果一个m维复式晶格原胞数为维复式晶格原胞数为N,每个原胞含每个原胞含n个不等效的原子个不等效的原子,则则:晶格振动的波矢数晶格振动的波矢数=N晶体中格波的支数晶体中格波的支数=nm，m(声学支声学支)+m(n-1)

16、(光学支光学支)晶格振动频率晶格振动频率(振动模式振动模式)数数=nmN2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22n-2 1mM两种不同原子所构成的一两种不同原子所构成的一维维无限无限长长原子原子链链，原子，原子质质量量为为m和和M，且，且mM。设晶格常数为。设晶格常数为a,相邻两个原子之间的距离为相邻两个原子之间的距离为b,恢复力系数为交替恢复力系数为交替等于等于 1和和 2.试找出色散关系试找出色散关系.ab思考题思考题:2整理得整理得欲使欲使A，B有非零解有非零解，其系数行列式应为零，即，其系数行列式应为零，即:解得解得3.3 3.3 晶格振动的量子化和声子晶格振动的量子

17、化和声子在简谐近似下，晶体中存在在简谐近似下，晶体中存在3pN个独立的简谐格波，晶体中任个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这一原子的实际振动状态由这3pN个简谐格波共同决定个简谐格波共同决定.晶格振动的系统能量是否可表示成晶格振动的系统能量是否可表示成3pN个独立谐振个独立谐振子能量之和吗？子能量之和吗？3.3.1 3.3.1 格波的量子理论格波的量子理论首先以单原子为例首先以单原子为例波矢为波矢为q的格波引起的第的格波引起的第n个原子的位移为个原子的位移为格波不同引起的原子位移一般也不同格波不同引起的原子位移一般也不同第第n个原子的总位移应为所有格波引起位移的迭加个原子的总位移

18、应为所有格波引起位移的迭加将将 和和Aq写在同一表达式写在同一表达式 中中其中其中按经典力学按经典力学，系统的，系统的总能量总能量为动能和势能之和为动能和势能之和包含交叉项包含交叉项这对建立物理模型和数学处理都带来困难这对建立物理模型和数学处理都带来困难.用用坐标变换坐标变换的方法消去交叉项的方法消去交叉项,即将本来存在即将本来存在相互耦相互耦合合的原子振动转换成在另一坐标体系中的原子振动转换成在另一坐标体系中相互独立的谐振子相互独立的谐振子.简正变换简正变换:上式实际上是代表上式实际上是代表 在在q q空间的傅里叶变换空间的傅里叶变换.推导略推导略式中式中称为简正坐标称为简正坐标.广义动量广

19、义动量经典谐振子能量经典谐振子能量简正坐标简正坐标由由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和个谐振子的能量之和.广义坐标广义坐标按照量子力学，独立的简谐振子的能量按照量子力学，独立的简谐振子的能量 所以所以一维晶格振动的总能量一维晶格振动的总能量晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以 计量计量.当当n=0时时-零点能零点能上述方法可以推广到上述方法可以推广到三维晶格三维晶格,设每个原胞中含设每个原胞中含p个原子个原子3.3.2 3.3.2 声子声子光子光子19051905年爱因斯坦在研究光

20、电效应时提出年爱因斯坦在研究光电效应时提出光子光子的概念的概念.光是运动着的粒子流光是运动着的粒子流光子光子每个光子的能量每个光子的能量为为对照光子对照光子的概念的概念,我们将格波的能量量子我们将格波的能量量子称为称为声子声子.注注:(1)(1)声子是声子是准粒子准粒子.光子是光子是真实粒子真实粒子,可在真空中存在可在真空中存在.声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而设想设想的一种粒子的一种粒子,不能游离于固体之外不能游离于固体之外.(2)(2)声子自身不携带动量声子自身不携带动量,具有具有准动量准动量.各种微观粒子各种微观粒子(电子、光子等电子、

21、光子等)与晶格的相互作用与晶格的相互作用,可可以看成这些粒子与能量为以看成这些粒子与能量为 ,动量为动量为 的粒子相互作用的粒子相互作用.服从能量守恒和动量守恒服从能量守恒和动量守恒热传导热传导-声子的扩散声子的扩散实例实例:热阻热阻-声子被散射声子被散射一维单原子链为例一维单原子链为例:推推导导(3)(3)声子具有声子具有等价性等价性.当当q增加一个周期时增加一个周期时不变不变即具有相同的性质即具有相同的性质.(4)(4)声子是声子是玻色子玻色子.各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，频率各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，频率为为 的格波的平均声子数服从玻色的

22、格波的平均声子数服从玻色爱因斯坦统计爱因斯坦统计推导略推导略对于频率为对于频率为 的格波，忽略零点能情况下，其能量为的格波，忽略零点能情况下，其能量为其能量恰为其能量恰为ni个声子所携带个声子所携带3.4 3.4 晶格的比热晶格的比热固体的定容热容固体的定容热容E固体的平均内能固体的平均内能按照经典能量均分理论按照经典能量均分理论,每个自由度的平均能量每个自由度的平均能量-能均定理能均定理N个原子个原子三维运动的晶体三维运动的晶体 ，总能量，总能量热容是一个与温度和材料无关的常数热容是一个与温度和材料无关的常数.-杜隆珀替定律杜隆珀替定律实验表明在低温时实验表明在低温时热容量随温度迅速趋于零热

23、容量随温度迅速趋于零!3.4.1 3.4.1 比热的量子理论比热的量子理论 根据量子理论根据量子理论,在简谐近似下在简谐近似下,晶体的能量为晶体的能量为热容与晶格振动频率和温度都有关热容与晶格振动频率和温度都有关 高温极限高温极限忽略忽略与杜隆与杜隆珀替定律相符珀替定律相符低温极限低温极限与实验结果相符与实验结果相符 频率的计算比较复杂频率的计算比较复杂,在一般讨论中，常用在一般讨论中，常用爱因斯坦爱因斯坦模型模型和和德拜模型德拜模型.关键关键3.4.2 3.4.2 爱因斯坦模型爱因斯坦模型1907年爱因斯坦采用了非常简单的假设：假设晶体中的原子振动年爱因斯坦采用了非常简单的假设：假设晶体中的

24、原子振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率是相互独立的，所有原子都具有同一频率 0.-爱因斯坦热容函爱因斯坦热容函数数令令-爱因斯坦温度爱因斯坦温度温度较高时温度较高时 与杜隆与杜隆珀替定律相符珀替定律相符温度非常低时温度非常低时按温度的指数形式降低按温度的指数形式降低 这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的一个疑难问题一个疑难问题.金刚石的热容金刚石的热容实验表明实验表明:温度很低时温度很低时-爱因斯坦模型爱因斯坦模型过于简单过于简单,忽略了各格波之间的忽略了各格波之间的频率差别频率差别.红外光频率红外光频率 低温下

25、低温下,晶体热容主要由频率较低的晶体热容主要由频率较低的声学支格波声学支格波决定决定,而爱因斯坦模型只考虑了而爱因斯坦模型只考虑了光学支格波光学支格波对热容的贡献对热容的贡献.频率频率 为的格波地平均热振动能：为的格波地平均热振动能：格波的振动能与频率的关系曲线 1、频率越高，其热振动能越小2、当温度很低时，低频格波的振动能占整个晶格振动能的以上说明，要在甚低温下使理论与实验相符，应主要考虑长声学格波的贡献。3.4.3 3.4.3 德拜模型德拜模型德拜于德拜于19121912年提出了另一个简化模型年提出了另一个简化模型,考虑了格波的的频率分布考虑了格波的的频率分布.(1)(1)把晶体视为连把晶

26、体视为连续介质续介质,即把格波看作是即把格波看作是弹性波弹性波.(2)(2)假定横波和纵波的假定横波和纵波的波速相等波速相等.低温时，只有长声学波被激发，对比热容产生影响，所以低温时，只有长声学波被激发，对比热容产生影响，所以实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响.基本思想基本思想:q q 空间空间一维单原子链一维单原子链把把q看作空间的矢量看作空间的矢量,而周期性边界条件允许的而周期性边界条件允许的q值表值表示这个空间中的点子示这个空间中的点子.o平均每个点子占据的平均每个点子占据的q q空间线度空间线度推广到三维情况推广到三维情况q q

27、的分布密度的分布密度 V是一个宏观的体积，允许的是一个宏观的体积，允许的 q 值在值在 q 空间十分密集，可以看作是准连续的空间十分密集，可以看作是准连续的.在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目-单位体积的固体中单位体积的固体中,频率在频率在 到到 间隔内的振动模式数目间隔内的振动模式数目.态密度态密度(频谱密度频谱密度)q是准连续的是准连续的,所以频率也是准连续的所以频率也是准连续的.为最大截至频率为最大截至频率在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目频率在频率在之间，振动模式数目之间，振动模式数目考虑到三维情况下有考虑到三维情况下有三

28、支三支声学支格波声学支格波代入热容公式代入热容公式最大截至频率的计算最大截至频率的计算可得可得令令-德拜温度德拜温度-德拜热容函数德拜热容函数在高温极限下在高温极限下与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致低温极限低温极限推导略推导略T3成正比成正比铜热容的热容的实验数铜热容的热容的实验数据和德拜理论值的比较据和德拜理论值的比较的测定方法的测定方法:(a)(a)实验测定声速实验测定声速(b)(b)实验测定比热实验测定比热,由比热公式反代出由比热公式反代出.德拜模型的缺陷：德拜模型的缺陷：（2 2）德拜温度随温度稍有）德拜温度随温度稍有变化变化（1 1）实验和理论不一致）实验和理论不一致原因：原因：

29、（1 1）忽略了晶体的各向异性）忽略了晶体的各向异性（2 2）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献思考题思考题:求由求由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频谱分布函数谱分布函数.o平均每个点子占据的平均每个点子占据的q q空间线度空间线度q q的分布密度的分布密度解解:那么在那么在dq间隔内可以有间隔内可以有不同的不同的q值值,即有即有 不同的振动状态不同的振动状态.0q那么在那么在d间隔内可以有间隔内可以有个不同的振动模式个不同的振动模式根据频谱密度的定义根据频谱密度的定义:由一维单原子链的色散关系由一维单原子链

30、的色散关系因为因为三维情况三维情况在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目考虑到三维情况下有考虑到三维情况下有三支三支声学支格波声学支格波二维情况二维情况在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目在体积元在体积元dq中的振动数目中的振动数目考虑到三维情况下有考虑到三维情况下有二支二支声学支格波声学支格波附加作业附加作业:附加一附加一设三维晶格一支光学波在设三维晶格一支光学波在q=0附近附近,色散关系为色散关系为试证明长光学波的频谱密度试证明长光学波的频谱密度附加二附加二设有一长度为设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格的一价正负离子构成的一

31、维晶格,正负离子间距正负离子间距为为a,正负离子的质量分别为正负离子的质量分别为m+和和m_,近邻两离子的相互作用势为近邻两离子的相互作用势为式中式中e为电子电荷为电子电荷,b和和n 为参量常数为参量常数,求求(1)参数参数b与与e,n与与a为关系为关系(2)恢复力系数恢复力系数(3)q=0时的光学波的频率时的光学波的频率(4)长声学波的速度长声学波的速度vA(5)假设光学支格波的频率为一常数假设光学支格波的频率为一常数,即即,对光学支格波采用爱因对光学支格波采用爱因斯坦近似斯坦近似,对声学支格波采用德拜近似对声学支格波采用德拜近似,求晶格热容求晶格热容.3.5 3.5 非谐效应非谐效应3.5

32、.2 3.5.2 非谐效应与热传导非谐效应与热传导简谐近似下简谐近似下，各种格波是相互独立的，各种格波是相互独立的.各个谐振子之间没有相互作用各个谐振子之间没有相互作用,没有能量交换没有能量交换.声子之间不会相互碰撞改变能量声子之间不会相互碰撞改变能量.原来处于非平衡态的体系不会变成平衡态原来处于非平衡态的体系不会变成平衡态,即热即热平衡平衡.3.5.2 3.5.2 非谐效应与热膨胀非谐效应与热膨胀简谐近似下简谐近似下，晶体中两原子作用势函数，晶体中两原子作用势函数抛物线型（虚线所示）抛物线型（虚线所示）温度升高时，两原子相对振幅温度升高时，两原子相对振幅 增大，增大，但平衡位置间的距离，即平

33、均距离不变仍为但平衡位置间的距离，即平均距离不变仍为r0故晶体不会膨胀。故晶体不会膨胀。泰勒级数泰勒级数如果如果 在点在点x0的某邻域内有具有各阶导数的某邻域内有具有各阶导数 ，则则简谐振动方程的解简谐振动方程的解令令该方程有形如下式的解该方程有形如下式的解也可表示为：也可表示为：为初位相为初位相欧拉欧拉公式公式波矢波矢波数波数-单位长度内所包含波的周期数单位长度内所包含波的周期数.角波数角波数-单位长度内所包含波的相角数单位长度内所包含波的相角数.角波数矢量，简称角波数矢量，简称波矢波矢 波矢对于研究波的干涉和衍射非常有用波矢对于研究波的干涉和衍射非常有用 r相角差相角差余弦函数级数展开余弦

34、函数级数展开利用利用当当当当所以所以因为因为因为因为广义坐标广义坐标相互独立的变量称为广义坐标相互独立的变量称为广义坐标 光子动量光子动量光子能量光子能量根据相对论质能关系根据相对论质能关系则光子质量则光子质量光子的动量光子的动量玻色子玻色子满足满足玻色玻色-爱因斯坦统计爱因斯坦统计，自旋自旋为整数的粒子为整数的粒子.玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚光子-电磁相互作用1.的媒介粒子，自旋为玻色子包括：玻色子包括：胶子-强相互作用1.的媒介粒子，自旋为W 及 Z 玻色子-弱相互作用的媒介粒子，自旋为1.引力子-引力相互作用.尚未被发现2,的媒介粒子，自旋为希格斯玻色子-尚未被发现.费米子费米子依随依随狄拉克统计狄拉克统计-费米费米、自旋量子数自旋量子数.为半奇数的粒子为半奇数的粒子费米子遵从泡利不相容原理 中子、质子都是费米子平均声子数平均声子数根据玻尔兹曼分布规律：根据玻尔兹曼分布规律：温度温度T时平均能量：时平均能量：令令