《《固体物理-徐智谋》第三章晶格振动与晶体热力学性质.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《固体物理-徐智谋》第三章晶格振动与晶体热力学性质.ppt（113页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三章 晶格振动与晶体热力学性质第一节第一节 一维晶格的振动一维晶格的振动3.1.1 3.1.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动3.1.2 3.1.2 一维双原子链一维双原子链(复式格子复式格子)的振动的振动本节主要内容本节主要内容:3.1 一维晶格的振动3.1.1 一维单原子链的振动1.振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，原子质量为，原子质量为m。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用用
2、xn和和xk分别表示序号为分别表示序号为n和和k的原子在的原子在t时刻偏离平衡位置的时刻偏离平衡位置的位移，用位移，用xnk=xn-xk表示在表示在t时刻第时刻第n个和第个和第k个原子的相对位移。个原子的相对位移。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2(2)振动方程和振动方程和解解平衡时，第平衡时，第k个原子与第个原子与第n个原子相距个原子相距 为为两个原子间的互作用势能，平衡时为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，t时刻为时刻为nkx 第第 n个与第个与第 k个原子间的相互作用力个
3、原子间的相互作用力:振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r r）二次方以上二次方以上的高次项，只保留到的高次项，只保留到(r r)2 2项项-简谐近似简谐近似。(忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。)得得:弹性恢复力系数弹性恢复力系数原子的振动方程原子的振动方程:令令只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：根据波恩根据波恩-卡门周期性边界条件给出试探解：卡门周期性边界条件给出试探解：原子都以原子都以同一频率，同一振幅A振动振动，相邻原子间的位相相邻原子间的位相差为差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都
4、存在着固定的位相晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系，即原子的振动形成了波，这种波称为关系，即原子的振动形成了波，这种波称为格波格波。色散关系色散关系(晶格振动谱晶格振动谱)将试探解代入振将试探解代入振动方程得振动频率动方程得振动频率:如何推如何推导呢？导呢？给出试探解给出试探解:由色散关系式可画图如下由色散关系式可画图如下:2.色散关系 是波矢是波矢q的周期性函数的周期性函数,且且(-q)=(q)。0 m且且故取故取简约布里渊区简约布里渊区且且3.玻恩玻恩-卡门周期性边界条件及波矢卡门周期性边界条件及波矢q的取值的取值 (1)玻恩玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件 设在
5、实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。晶体中任一个原子，当其原胞下标数增加晶体中任一个原子，当其原胞下标数增加N（N为晶体中为晶体中原胞的个数原胞的个数）后，其振动情况复原后，其振动情况复原。由。由N个原胞组成的单原个原胞组成的单原子链，由玻恩子链，由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:对于一维布喇菲晶格对于一维布喇菲晶格(原胞下标数与原子下标数相同原胞下标数与原子下标数相同):整数(2)波矢波矢q的取值的取值因为因为波矢波矢 也只能取也只能取N个不
6、同的值。个不同的值。(共共N个值个值)晶格振动波矢只能取分离的值晶格振动波矢只能取分离的值波矢的数目波矢的数目(个数个数)=晶体原胞的数目晶体原胞的数目4.长波极限:所以所以因为因为所以所以由连续介质波由连续介质波的传播速度：的传播速度：在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。例例1.求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为子质量为m，恢复力常数为恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间
7、的恢复力系数为，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系:S为整数为整数模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动1.运动方程和解 (1)(1)模型模型:一维无限长原子链，原子质量为一维无限长原子链，原子质量为m m和和M M，且且m m M M。相邻原子间距均为相邻原子间距均为a，恢复力系数为恢复力系数为。(晶格常量为晶格常量为
8、2 2a)2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22 2n n-2-2 mM质量为质量为M的原子编号为的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、质量为质量为m的原子编号为的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：(2)方程和解方程和解其他原子位移可按下列原则得出其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。不同。(2)相隔一个晶格常数相隔一个晶格常数2a的同种原子
9、，相位差为的同种原子，相位差为2aq。2.色散关系上上式式看看成成是是以以A、B为为未未知知数数的的线线性性齐齐次次方方程程；若若A，B不不全全为为零零，必须其系数行列式为零，即必须其系数行列式为零，即:如何推导？如何推导？0(+)-光学支格波光学支格波，A(-)-声学支格波声学支格波(1)色散曲线色散曲线折合质量折合质量由玻恩由玻恩-卡门边界条件，设晶体有卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：则：(2)波矢波矢q的取值的取值(共有共有N个值个值)一维双原子链，每个原胞有两个原子，一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。由由N个原胞组成的一个原胞组成的一维维双原子链，波矢的数目为
10、双原子链，波矢的数目为N，频率的频率的数目为数目为2N，格波格波(振动模式振动模式)数目为数目为2N。，s为整数为整数晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶体的原胞个数晶格振动频率晶格振动频率(振动模式振动模式)的数目的数目=晶体中原子的自由度数晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。(1)当波矢当波矢q 0时时,如何推导？如何推导？(2)相邻原子的振幅之比相邻原子的振幅之比对于声学支格波对于声学支格波:声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。长长声声学学波波，相相邻邻原原子子
11、的的位位移移相相同同，原原胞胞内内的的不不同同原原子子以以相相同同的的振振幅幅和和位位相相作作整整体体运运动动。因因此此，可可以以说说，长长声声学学波波代代表表了了原胞质心的运动。原胞质心的运动。对于光学波对于光学波:光学支格波，相邻原子振动方向是相反的。长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。学波代表原胞中两个原子的相对振动。光学支格波，相邻原光学支格波，相邻原子振动方向是相反的子振动方向是相反的。声学支格波，相邻原子振声学支格波，相邻原子振动方向是相同的动方向是相同的。可以证明，可以证明，q=/2a时
12、，在声学支格波上，质量为时，在声学支格波上，质量为m的的轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为轻原子保持不动；在光学支格波上，质量为M的重原子保的重原子保持不动持不动。例例2:一维一维无限无限长原子链，原子质量为长原子链，原子质量为m和和M，且且mM。靠靠的较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位的较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为置的距离为b，恢复力系数为恢复力系数为 1，分子间两原子间的，分子间两原子间的恢复力系数恢复力系数为为 2，晶格常量为晶格常量为a(如图所示如图所示)，求色散关系，求色散关系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb 1
13、2解解:只考虑最近邻原子只考虑最近邻原子间间的相互作用，的相互作用，将试探解代入方程得将试探解代入方程得:据玻恩据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。的取值。0(+)-光学支格波，光学支格波，A(-)-声学支格波声学支格波 q可取可取N个值。个值。第二节第二节 三维晶格的振动三维晶格的振动本节主要内容本节主要内容:3.2.1 3.2.1 色散关系色散关系3.2.2 3.2.2 波矢波矢q的取值和范围的取值和范围模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:
14、2n-22n2n+12n+22n-1Mma晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数，晶体的自由度数，格波的支数格波的支数=原胞内原子的自由度数。原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普本节讨论三维晶格振动，得
15、到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。遍的结论。一、运动方程及其解一、运动方程及其解设晶体原胞的基矢为设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3；沿基矢方向晶体各有沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞，即晶体一共有个原胞，即晶体一共有NN1N2N3个原胞；个原胞；每个原胞内有每个原胞内有n n个原子，质量为个原子，质量为第第l个原胞第个原胞第p个原子的平衡点位置矢量为：个原子的平衡点位置矢量为：是是原胞顶点的位置矢量；原胞顶点的位置矢量；是原胞内第是原胞内第p p个原子的相对坐标。个原子的相对坐标。Rl每个原胞中每个原胞中，n个不同原子平衡位置的相对坐标为个不同原子平衡位置的相对坐标为该原子相对于
16、平衡点的位移为该原子相对于平衡点的位移为它沿坐标轴的分量为它沿坐标轴的分量为第第p个原子在个原子在方向的运动方程为方向的运动方程为把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：解为：（）将将试试解解代代入入运运动动方方程程，可可得得到到3n个个线线性性齐齐次次联联立立方方程程（由由于于晶晶格格的的平平移移对对称称性性，使使得得3nN个个联联立立方方方方程程组组减减少少到到3n个个）：使使有非零解的条件是系数行列式等于零。有非零解的条件是系数行列式等于零。由此可得到由此可得到3n个色散关系个色散关系每个色散关系代表一支格波，共有每个
17、色散关系代表一支格波，共有3n支格波支格波。格波的色散关系中，有格波的色散关系中，有3支当支当另外，另外，3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为为光学支光学支。这这三三支支称称为为声声频频波波，它它们们是是描描述述原原胞胞与与原原胞胞之之间间的的相相对对运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为声学支声学支；二、周期性边界条件确定模式数目二、周期性边界条件确定模式数目根据波恩卡门边界条件的限制根据波恩卡门边界条件的限制或写成或写成由上式得由上式得边界条件表示，沿着边界条件表示，沿着方向，原胞的
18、标数增加方向，原胞的标数增加振动情况相同。振动情况相同。即即也就是说也就是说因此，波矢因此，波矢q具有倒格矢的量纲，因此，容易得出：具有倒格矢的量纲，因此，容易得出：h1,h2,h3为整数为整数b1,b2,b3是是倒倒格格基基矢矢。三三维维格格波波的的波波矢矢也也不不是是连连续续的的，其其中中b1/N1、b2/N2、b3/N3是波矢的基矢，波矢的点阵具有周期性。是波矢的基矢，波矢的点阵具有周期性。可以证明，若可以证明，若是倒格矢，则是倒格矢，则不变。不变。不变。不变。因此因此q的取值可限制在一个倒格原胞范围内，即第一布里渊区的取值可限制在一个倒格原胞范围内，即第一布里渊区之内。之内。波矢点阵最
19、小的重复单元的体积为波矢点阵最小的重复单元的体积为一个重复单元对应一个波矢点，波矢空间单位体积内的波一个重复单元对应一个波矢点，波矢空间单位体积内的波矢数目，即波矢密度为矢数目，即波矢密度为因此，在一个布里渊区内，波矢可取的数目为因此，在一个布里渊区内，波矢可取的数目为对每一个波矢对每一个波矢q，有，有3n个个与之对应，每一组与之对应，每一组表示表示晶格的一种振动模式，由此可知晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为三维晶体中振动模式数目为3nN个。个。对于有对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有个原子，每个原子有3个自由个自由度，所以
20、晶体的总自由度数也是度，所以晶体的总自由度数也是3nN。波矢波矢q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。第一布里渊区。第一布里渊区。晶格振晶格振动动的波矢数目等于晶体的原胞数的波矢数目等于晶体的原胞数N；格波振格波振动动模式数目等于晶体中所有原子的自由模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和度数之和3nN。概括起来，我们得到以下结论：概括起来，我们得到以下结论：例例2：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?答答:金刚石结构为复式格子金刚
21、石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。第三节第三节 简正振动简正振动 声子声子本节主要内容本节主要内容:3.3.1 3.3.1 简正振动简正振动3.3.2 3.3.2 声子声子理理论论考考虑虑：前前面面我我们们根根据据牛牛顿顿定定理理用用直直接接解解运运动动方方程程的的
22、方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：晶晶体体中中原原子子的的集集体体振振动动-格格波波，可可展展开开成成简简谐谐平平面波面波的线性迭加。的线性迭加。对对微微弱弱振振动动（简简谐谐近近似似），每每个个格格波波就就是是一一个个简简谐谐波波，格波之间的相互作用可忽略，形成格波之间的相互作用可忽略，形成独立独立格波模式。格波模式。在在玻玻恩恩-卡卡门门周周期期性性边边界界条条件件下下，得得到到分分立立的的独独立立格格波模式，可用波模式，可用独立简谐振子独立简谐振子来表述。来表述。下下面面我我们们根根据据分分析析力力学学原原理理，引引入入简简正正坐坐标标，直直
23、接接过过渡渡到到量量子子理理论论，并并引引入入声声子子概概念念晶晶格格振振动动中中的的简简谐谐振振子的能量量子。子的能量量子。一、简谐近似和简正坐标一、简谐近似和简正坐标数数学学处处理理：通通过过引引入入简简正正坐坐标标，将将晶晶格格振振动动总总能能量量（哈哈密密顿量）顿量）=动能动能+势能（化成）势能（化成）=独立简谐振子能量之和独立简谐振子能量之和 从从经经典典力力学学的的观观点点，晶晶格格振振动动是是一一个个典典型型的的小小振振动动问问题题，凡凡是是力力学学体体系系自自平平衡衡位位置置发发生生微微小小偏偏移移时时，该该力力学学体体系系的的运动都是小振动。运动都是小振动。上上一一节节关关于
24、于晶晶格格的的运运动动方方程程之之所所以以能能够够化化成成线线性性齐齐次次方方程程组组，是是简简谐谐近近似似的的结结果果，即即忽忽略略原原子子相相互互作作用用的的非非线线性项得到的。性项得到的。处处理理小小振振动动问问题题的的理理论论方方法法和和主主要要结结果果做做为为晶晶格格振动这部分内容的理论基础。振动这部分内容的理论基础。在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互作用势能原子间的相互作用势能取最小值。取最小值。相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。N N个原个原子的位移矢量共有子的
25、位移矢量共有3 3N N个分量，写成个分量，写成原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即将将在平衡位置展开成泰勒级数在平衡位置展开成泰勒级数因因在在平平衡衡位位置置势势能能取取极极小小值值，所所以以上上式式右右端端第第二二项项为为零零，若取若取U0为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。处理小振动问题一般都取简谐近似。处理小振动问题一般都取简谐近似。对对于于一一个个具具体体的的物物理理问问题题是是否否可可以以采采
26、用用简简谐谐近近似似，要要看看在在简简谐谐近近似似条条件件下下得得到到的的理理论论结结果果是是否否与与实实验验相相一一致致。在在有有些些物物理理问问题题中中就就需需要要考考虑虑高高阶阶项项的的作作用用，称称为为非非谐谐作作用。用。为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标N N个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：在简正坐标中，势能和动能化成在简正坐标中，势能和动能化成由上式可得出由上式可得出正则动量正则动量振动系统的振动系统的拉格朗日函数拉格朗日
27、函数为：为：于是系统的于是系统的哈密顿函数哈密顿函数化成化成将上式代入将上式代入正则方程正则方程得到得到 这是这是3N个相互无关的个相互无关的谐振子的运动方程谐振子的运动方程，表明各简正，表明各简正坐标描述独立的简正振动。坐标描述独立的简正振动。借助简正坐标，将借助简正坐标，将N个相互耦合关联的原子组成的晶格个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化为的振动转化为3N个独立的谐振子的简谐振动。个独立的谐振子的简谐振动。其中，任意简正坐标的解为其中，任意简正坐标的解为：振动的圆频率：振动的圆频率原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：上式表明，每
28、一个原子都以相同的频率作振动。上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。当只考虑某一个当只考虑某一个Qj的振动时的振动时，位移坐标可表示为，位移坐标可表示为 一一个个简简正正振振动动与与位位移移坐坐标标不不同同，不不再再只只和和个个别别原原子子相相联联系系，而而是是表表示示整整个个晶晶体体所所有有原原子子都都参参与与的的振振动动，而而且且它它们振动频率相同。们振动频率相同。二、一维简单晶格二、一维简单晶格说明二个问题：说明二个问题：（1 1）简正坐标的引入）简正坐标的引入前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为晶晶格格振振动动等等价价于于N个个谐谐振
29、振子子的的振振动动，谐谐振振子子的的振振动动频频率率就就是是晶格的振动频率；晶格的振动频率；根根据据牛牛顿顿定定理理用用直直接接解解运运动动方方程程的的方方法法，求求链链的的振振动动模模，与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。表示表示第第q个格波引起第个格波引起第n个原子的位移个原子的位移，而而第第n个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加在简谐近似和最近邻近似下在简谐近似和最近邻近似下，一维单原子晶格的振动总能，一维单原子晶格的振动总能量为量为势能项势能项势能项势能项中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉
30、项，可以把原子总中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，可以把原子总位移的表达式变换一下形式，令：位移的表达式变换一下形式，令：则则代入代入将上式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式将上式与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式进行比较可得：进行比较可得：如果如果Q(q)是简正坐标，那么它表示了格波是简正坐标，那么它表示了格波的振幅，而线性变换系数为的振幅，而线性变换系数为Q(q)是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具有平方和的形式。能和势能都具有平方和的形式。为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：为了证明这一点，需要利用以下两个
31、关系式：第一个关系式第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到可以从原子位移为实数的条件得到，因为，因为也可以写成也可以写成因为原子位移因为原子位移un为实数，所以为实数，所以比较上面两式，可得比较上面两式，可得把（把（1 1）式两端取共轭）式两端取共轭（1）第二个关系式第二个关系式，实际就是实际就是线性变换系数的正交条件线性变换系数的正交条件当当q qqq时，时，当当q=qq=q时，时，显然成立。显然成立。s为整数，故有为整数，故有利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和势能的利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和势能的表达式。表达式。利用等比级数前利用等比级数前n项求和项求和
32、公式公式晶格动能：晶格动能：当当时时有有同理可求出晶格势能同理可求出晶格势能：其中其中是一维简单格子的色散关系。是一维简单格子的色散关系。这样可以写出晶格振动总能量如下：这样可以写出晶格振动总能量如下：至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明明Q(q)确实是系统的简正坐标。确实是系统的简正坐标。引入简正坐标以后：引入简正坐标以后：晶格振动的总能量可以表示为晶格振动的总能量可以表示为N个独立简谐振子的能量个独立简谐振子的能量之和。之和。这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比这里所引入的线性变换可与量子力学中的表象变换类比考虑考虑
33、:实际坐标空间的实际坐标空间的N个相互作用的原子体系的微振动和个相互作用的原子体系的微振动和简正坐标所构成的态空间中简正坐标所构成的态空间中N个独立谐振子个独立谐振子等等效效三、声子三、声子根据量子力学对谐振子的处理，频率为根据量子力学对谐振子的处理，频率为q的谐振子的能的谐振子的能量本征值是量本征值是所以晶格的总能量所以晶格的总能量上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为量为引入声子的概念引入声子的概念：由于格波的能量是以为单位量子化的，通常把由于格波的能量是以为单位量子化的，通常把这个能量量子称为这个能量量子称为声子声子。声子是玻
34、色子声子是玻色子：声声子子既既具具有有能能量量又又具具有有动动量量，即即具具有有粒粒子子的的属属性性，所所以以我我们们可可以以把把声声子子看看成成是是一一种种“准准粒粒子子”。由由于于同同种种声声子子（和和q都都相相同同的的声声子子）之之间间不不可可区区分分而而且且自自旋旋为为零零，声声子子是玻色子是玻色子。平均声子数：平均声子数：由由于于对对每每个个声声子子能能级级，声声子子的的占占据据数数没没有有限限制制，声声子子遵遵从从玻玻色色统统计计，对对能能级级的的平平均均占占据据数数由由普朗克公式给出：普朗克公式给出：声子的准动量声子的准动量声子不仅是一个能量子，它还具有声子不仅是一个能量子，它还
35、具有“动量动量”。波波矢矢q的的方方向向代代表表格格波波的的传传播播方方向向，引引入入声声子子概概念念后后它它就就是是声声子子的的波波矢矢，其其方方向向代代表表声声子子的的运运动动方方向向，类类似似光光子子，称为声子的称为声子的准动量准动量。引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：（1）简简谐谐近近似似下下晶晶格格振振动动的的热热力力学学问问题题就就可可看看做做由由3nN种种不不同同声声子子组组成成的的理理想想气气体体系系统统处处理理，如如果果考考虑虑非非谐谐效效应应，可可看看成成有有相互作用的声子气体。相互作用的声子气体。（2）
36、光光子子、电电子子、中中子子等等与与晶晶格格振振动动相相互互作作用用，就就可可看看成成是是光光子子、电电子子、中中子子等等与与声声子子的的碰碰撞撞作作用用，这这样样就就使使得得问问题题的的处处理理大大简化。大大简化。（3）元元激激发发：声声子子反反映映的的是是晶晶格格原原子子集集体体运运动动状状态态的的激激发发单单元元，固固体体中中微微观观粒粒子子在在特特定定相相互互作作用用下下产产生生的的集集体体运运动动状状态态的的激激发发单单元元常常称称为为元元激激发发。相相互互作作用用性性质质不不同同，对对应应不不同同的的元元激激发发，但处理这些元激发的理论方法是相类似的。但处理这些元激发的理论方法是相
37、类似的。第四节第四节 晶格振动谱的实验测定方法晶格振动谱的实验测定方法3.4.1 3.4.1 光子散射光子散射本节主要内容本节主要内容:3.4.2 3.4.2 中子散射中子散射 除除了了少少数数几几个个极极简简单单模模型型，其其晶晶格格振振动动谱谱可可以以从从理理论论上上导出外，绝大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定。导出外，绝大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定。一、定义：一、定义：晶格振动谱就是格波的色散关系晶格振动谱就是格波的色散关系（q），），也称声子谱。也称声子谱。实验测定实验测定（q）:粒子与晶格振动的非弹性散射粒子与晶格振动的非弹性散射中子、光子等与声子的碰撞。中子、光子等与
38、声子的碰撞。当当中中子子、光光子子入入射射到到晶晶体体，可可以以和和晶晶格格振振动动交交换换能能量量，总是以总是以 为为单单元元交交换换能能量量。使使谐谐振振子子从从一一个个激激发发态态跃跃迁迁到到另另一一个个激激发发态态。用用声声子子概概念念说说，就就是是产产生生或或者者消消灭灭了了一一个个声声子，发射或吸收一个声子。子，发射或吸收一个声子。晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：光子散射方法，中子散射方法。光子散射方法，中子散射方法。二、光子散射二、光子散射设设入入射射光光子子的的频频率率为为，波波矢矢为为k，与与频频率率为为、波波矢矢为为q的声子的声子碰
39、撞后，光子的频率和波矢分别变成碰撞后，光子的频率和波矢分别变成碰撞过程中，碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒能量守恒和准动量守恒。两种过程：两种过程：吸收声子过程：吸收声子过程：以上四式可化成以下两式以上四式可化成以下两式产生（又称发射）声子过程：产生（又称发射）声子过程：当当入入射射光光的的频频率率及及波波矢矢k一一定定，在在不不同同方方向向(k的的方方向向)测出散射光的频率测出散射光的频率，由，由与与的差值求出声子频率的差值求出声子频率，由由k与与k的的方方向向及及大大小小求求出出声声子子波波矢矢q的的大大小小及及方方向向，即即可求出晶格振动频谱。可求出晶格振动频谱。实验方法：实验方法：测定
40、长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化:光光被被长长声声学学波波的的散散射射称称为为布布里里渊渊散散射射。由由于于长长声声学学波波的的能能量量非非常常小小，q 0（不不会会超超出出第第一一布布里里渊渊区区），因因此此，散散射射光光的频率和波矢的改变非常小，可以近似认为的频率和波矢的改变非常小，可以近似认为即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得式求得kq波波矢矢q的的方方向向由由光光子子入入射射方方向向与与散散射射方方向向决决定，即由定，即由方向决定。由此即可确定出传播方向上长声学波
41、的频谱：方向决定。由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱：其中是晶体中的声速。其中是晶体中的声速。喇曼散射：喇曼散射：光光子子和和长长光光学学波波声声子子相相互互作作用用，称称这这类类光光子子的的散散射射为为光光子的喇曼散射。子的喇曼散射。由由于于长长光光学学波波声声子子能能量量较较大大，其其频频率率基基本本与与波波矢矢无无关关，（可可由由光光学学波波的的色色散散关关系系曲曲线线非非常常平平缓缓看看出出），所所以以喇喇曼曼频频移相当大。移相当大。三、中子散射方法三、中子散射方法中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律。中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律。设中子的质量：设中子的质量
42、：m，入射中子的动量：入射中子的动量：P，散射后中子的动量：散射后中子的动量：由散射过程中能量守恒，得由散射过程中能量守恒，得由动量守恒，得由动量守恒，得号对应吸收一个声子的过程，号对应吸收一个声子的过程，的两声子是等价的条件。的两声子是等价的条件。动量守恒中利用了波矢动量守恒中利用了波矢q与波矢与波矢倒逆散射过程或倒逆散射过程或U过程。过程。正常散射过程。正常散射过程。号对应发射一个声子的过程。号对应发射一个声子的过程。由（由（10）式）式求出波矢的模求出波矢的模由（由（9）式）式求出频率求出频率，即可确定出某方向上的振动谱，即可确定出某方向上的振动谱对于正常散射过程对于正常散射过程，由（，
43、由（7）和（）和（8）两式分别得两式分别得与与的夹角的夹角求出波矢的方向求出波矢的方向由由(9)(10)第五节第五节 长波近似长波近似3.5.1 3.5.1 长声学波长声学波本节主要内容本节主要内容:3.5.2 3.5.2 长光学波长光学波在第二章中在第二章中,晶体被看作连续介质晶体被看作连续介质,从经典力学的角度推从经典力学的角度推出了晶格振动的弹性波方程。出了晶格振动的弹性波方程。在在3.13.1中中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近做微我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近做微振动的观点（不再是连续介质）振动的观点（不再是连续介质）,推出晶格振动的声学波和推出晶格振动的声学波和光学波。
44、光学波。本节讨论本节讨论 q 0、，即长声学波和长光学波的情，即长声学波和长光学波的情况，并和连续介质结果作比较。况，并和连续介质结果作比较。研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微观本质研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微观本质对对长声学格波长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹性波与声，其长波极限就是弹性波，即弹性波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一；学波在长波条件下，它们是必然的统一；晶体出现宏观极化，是晶体出现宏观极化，是长光学纵波长光学纵波振动模中离子的相对振动模中离子的相对位移引起。位移引起。一、长声学波一、长声学波在在3.1 3.1 中，中，以一维双原子链为例，当以一维双
45、原子链为例，当q很小很小时，即时，即对于长波极限，得到声学波色散关系为对于长波极限，得到声学波色散关系为长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。：恢复力常数，：恢复力常数，2a：晶格常数。：晶格常数。1 1、长声学波波动方程、长声学波波动方程其其试试解为解为：将（将（4 4）式代入（）式代入（3 3），可得），可得对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的
46、位相集体运动，集体运动，对于一维复式格子，对于一维复式格子，运动方程由下式表示运动方程由下式表示原子原子的分离坐的分离坐标标(2n+1)a即即可得两种不同原子的振幅比可得两种不同原子的振幅比将将A/B、B/A和和先后代入（先后代入（5）式得到）式得到对对于于l为为有限整数的情况，由有限整数的情况，由试试解（解（4）式，可得）式，可得l为奇数时；为奇数时；l为为偶数偶数时时；由色散关系，可知当由色散关系，可知当q0时时，0，由振幅比（，由振幅比（7）式，可）式，可得：得：因此当因此当l为有限整数时，不论为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都为奇数或偶数，都有有上式说明上式说明：n在长声学波条件下，
47、一维原子链不同原子的运动方程在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程（8 8）实际可视为一个方程实际可视为一个方程，它们的一般表达式：，它们的一般表达式：邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。集体运动。从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视为连续坐标离坐标可视为连续坐标r，所以有，所以有于是，原子的运动方程可写为于是，原子的运动方程可写为上式为上式为标准的宏观弹性波的波动方程标准的宏观弹性波的波动方程，其中，其中是用微观参数表示的弹性波的波速。是用微观参
48、数表示的弹性波的波速。如何求？如何求？如何求？如何求？本本节节介介绍绍黄黄昆昆的的长长波波方方法法，讨讨论论由由离离子子晶晶体体的的宏宏观观特特性性确定长光学模频率。确定长光学模频率。离离子子晶晶体体的的光光学学波波描描述述原原胞胞中中正正负负离离子子的的相相对对运运动动。它它伴伴随随着着极极化化并并与与电电磁磁波波有有强强烈烈的的相相互互作作用用，并并影影响响长长光光学学模模的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。1 1、离子晶体的宏观极化方程、离子晶体的宏观极化方程由由于于正正负负离离子子相相对对运运动动，电电荷荷不不再再均均匀匀
49、分分布布，出出现现了了以以波长为周期的正负电荷集中的区域。波长为周期的正负电荷集中的区域。二、长光学波二、长光学波模模型型：设设每每个个原原胞胞中中只只有有两两个个电电荷荷量量相相等等、符符号号相相反反的的离子。离子。离离子子晶晶体体的的宏宏观观极极化化产产生生一一个个宏宏观观极极化化电电场场E，作作用用在在某某离离子子上上的的电电场场称称为为有有效效电电场场Eeff,有有效效电电场场等等于于宏宏观观电电场场减减去去该该离离子本身产生的电场。子本身产生的电场。对对立立方方晶晶系系洛洛伦伦兹兹提提出出了了求求解解有有效效电电场场Eeff的的一一个方法，由理论分析得到：个方法，由理论分析得到：其中
50、其中P为为宏宏观观极化极化强强度。度。正离子向左正离子向左正离子向左正离子向左E E离子晶体的极化由两部分离子晶体的极化由两部分贡贡献构成献构成：离离子子位位移移极极化化:是是正正负负离离子子的的相相对对位位移移产产生生的的电电偶偶极极矩矩，这这种种极极化化称称为为离离子子位位移移极极化化，用用e*u表表示示；u为为正正负负离离子子的的相相对对位移，位移，e*为为离子的有效离子的有效电电荷。荷。电电子子位位移移极极化化:是是离离子子本本身身的的电电子子云云在在有有效效电电场场作作用用下下发发生生畸畸变变，即即离离子子本本身身也也成成了了电电偶偶极极子子，这这部部分分的的极极化化为为电电子位移极