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1、时间序列平滑预测法 第一节 移动平均法 又称滑动平均法一一次移动平均法假定yt随时间顺序t=1,2,N发生变化的已知数据.设为N=20，则为y1，y2，,y20将其分为若干段，以5个数据作为一段，进行滑动。第一段：y1，y2，y3，y4，y5:，=(1/5)yt=M5由于在此段，y5为数据平均值，所有数据应在它的上下波动。因此推出，可以用于预测t=6时的值y6=y5。y6的实际值还按前一组值的变化规律在的上下波动。第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为y2,y3,y4,y5,y6:y6=(1/5)yt=M6有y7=y6=M6:第十六段：y16,y17,y18,y19,y20:y20=(1/5)y
2、t=M20可预测y21=y20=M20平均值一般地：Mt=yt+yt-1+yt-n+1/N=(1/N)yi=这个公式就称为一次移动平均公式。2004/10/18递推式Mt(1=yt+yt-1+yt-n+1/N=yt-1+yt-n/N+ytyt-N/N=Mt-1(1)+ytyt-N/N=移动平均法基本上是在平均值的基础上进行预测。一般来讲，若经济变量在某一值上下波动情况及升降缓慢预测效果比较好，反之误差比较大.另外，N的选取也起着较大的作用，N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。特别地当N=1，则与实际状况相同。N大一些，平滑特性就好一些，但跟踪能力差。二、二次移动平均法1、二次移动平均数公
3、式.二次移动平均是在一次平均移动的基础上再做一次移动平均。Mt(2)=Mt(1+Mt-1(1).Mt-n+1(1)/N递推公式Mt(2)=Mt-1(2)+Mt(1)Mt-N(1)/NMt(2)为二次移动平均数N分段数据个数Mt(1)一次移动平均数2、线形趋势条件下的一次移动平均数Mt(1)与二次移动平均数Mt(2)的关系一次移动平均预测对于数据变化小，近似于水平变化的数据平滑作用较好。如果是线形趋势变化，则分析线落后于真实数据变化，形成滞后偏差yt Mt(1线形变化如下：bt=ytyt-1有：yt-1=ytbtyt-2=yt-1bt=yt-2btyt-N+1=yt(N1)bt:tt-1yt-1
4、ytbtyt=at+btt考虑到：Mt(1=(yt+yt-1+yt-N+1)/N=Nyt1+2+(N1)bt/N1+2+(N1)=N(N1)/2 Mt(1=Nyt(N/2)(N1)bt/N =yt(N1)bt/2 Mt-1(1)=yt-1(N1)bt/2 =yt(N+1)bt/2 :Mt(1-Mt-1(1)=yt yt-1=bt 即；Mt-1(1)=Mt(1-bt类推：Mt-2(1)=Mt-1(1)bt=Mt(12bt:Mt-n+1(1)=Mt(1(N1)btMt(2)=Mt(1+Mt-1(1)+Mt-n+1(1)/N=Mt(1(N1)bt/2 移项Mt(1-Mt(2)=(N1)bt/2 有公
5、式(N1)bt/2=yt Mt(1即得Mt(1-Mt(2)=yt Mt(1=(N1)bt/2.公式说明：直接用一次移动平均值模拟：真值与一次平均值存在N1)bt/2的滞后偏差。即公式1在线性趋势条件下:Mt(1-Mt(2)=(N1)bt/2此式表明.若直接用Mt(2)作预测值,滞后偏差将拉大为（N-1）bt三、二次移动平均法预测公式在线性趋势条件下，回到思维基础，用线性函数拟合假定：=at+btT.其中t为目前周期数T为从目前周期t到需要预测的周期的周期个数。yt+T为第t+T周期的预测值bt为斜率，at为截距若：令T=0，得yt=at为初始值由于当前数据为yt，有ytyt 故选取atyt由公
6、式Mt(1-Mt(2)=yt Mt(1=(N1)bt/2代入at=yt得at=2Mt(1 Mt(2).bt=2Mt(1-Mt(2)/(N-1)公式,（7)构成二次移动平均法预测公式。注：1)预测公式是以t时刻为基准的，这个时刻可以随意选取，当选择靠近当前时刻，准确度较高;2yt+T Mt(1=at+btT Mt(1=2Mt(1-Mt(2)Mt(1+btT=Mt(1-Mt(2)+btT=(N-1)bt/2+btT即与一次移动平均法相比较，滞后偏差(N1)/2已补偿。3Mt(1.Mt(2)对应的N应一致，且二次移动值Mt(2)不是预测值4二次移动平均法预测公式仅适合于线性趋势预测。5不断的丢失信息
7、，且N的大小一般由经验及前期趋势确定。简例：已知某产品销量统计数据以线形趋势变动，当处在第20期时，Mt(1=74,Mt(2)=68,N=5,预测在5个周期之后的销量解：由已知：Mt(1=74,Mt(2=68,N=5xt+T=at+btTat=2Mt(1Mt(2)=80=xtbt=2/(N1)Mt(1)Mt(2)=3预测模型：xt+T=80+3T当T=5时x20+5=80+15=95 移动平均法应用举例-期，股市中的移动平均 线一、道。琼斯的理论:美华尔街日报创办人股价运动的三种趋势1、原始波动(PrimaryTrends)BullMarketandBearMarket股价波动的长期上升（多头
8、市场）和长期下降（空头市场）是大市波动的基本趋势，基本趋势一旦形成，通常要延续14年；2、次级波动 股价在长期的上升通道中快速下跌，或在长期下降通道中急速上升，次及波动方向与原始波动方向相反，是对原始波动的修正，一般的原始波动均有二至三个次及波动；次及波动时间为3周数目可不等；3、短期波动(MinorTrends)股价在分时或数日内进行快速波动4、次级波动的振幅约为原始波动幅度的1/3；次级波动一般由3个或3个以上短期波动组成；5、次级波动下跌，若谷底上次波动谷底，确定为长期上升通道；若谷底低于上次波动谷底，确定为长期下降通道一、移动平均线种类1、M(3),M(5),M(10)短期移动平均线以
9、5,10日移动平均线较合理2、M(20),M(30),M(60)中期移动平均线、3、M(120)以上为长期移动平均线，对中国股市当前实用意义不大。西方重M(200)。二移动平均线的转点指移动平均线由下行转为上升的最低点或由上升转为下行的最高点因为移动平均数的取得是要扣减xt-N,即第t-N日的股价或指数，在一个上升通道中，上升的速度应保持，不能转缓甚至下降它的转点为扣减的若是最低价，就是上升趋势的转点，随时可能由升转跌；反之，在下降过程中，扣减的是最高值，则随时可能反转由跌转升。短期移动平均转点较多，适合于短线抄手 中,长期线转点较为重要，这是中期转势甚至长期转势的信号三、葛兰维八大买卖法则买
10、进四大法则1.MA由转平并开始抬头向上,且股价突破MA;2.股价在MA上方运行,回档未破MA股价再次;3.MA呈上升状态,股价急速下跌破MA线时;4.MA下降状态股价在MA下方运行,突然下跌远离MA线时;卖出法则5.MA由转平并开始向下,且股价突破MA线之下;6.股价在MA下方运行,上升时遇MA所阻,再次回落;7.MA呈下降状态,股价上升突破MA又回落至MA线下方;8.MA呈上升状态,股价在MA上方突然暴涨远离MA线;四:黄金交叉与死亡交叉由移动平均线原理,对股价趋势变动反应最快的是短期线,其次是中期线,然后是长期线死叉金叉30日MA与60日MA是判别中期市场的主要线,若股价跌破此二线为中期调
11、整开始,应出脱持股.97.5.16深:MA(5)=5630MA(10)=5689MA(30)=5090MA(60)=4561沪:MA(5)=1415MA(10)=1437MA(30)=1362MA(60)=1239第二节 指数平滑法 一、一次指数平滑法1、一次指数平滑公式,由一次平滑公式的递推公式Mt(1=Mt-1(1)+ytyt-1/N其中Mt(1=yt=yt+yt-1+yt-N+1/N假定yt-N Mt-1即用前一期的移动平均值代替前期的初始值.有Mt(1=Mt-1(1)+ytMt-1/N=(1/N)yt+(11/N)Mt-1=yt+1令=1/N,(0,1)及St(1)=Mt(1则St(1
12、)=yt+(1)St-1(1)=yt+1 其中称为平滑系数这个公式称为一次指数平滑公式.2、举例某日用电器销售额如表.预测12月份的销售量:月123456789101112200135195197.5310175155130220277235-销售额函数图2001003001300=0.1=0.5=0.9t台选取不同的值:设S0(1)=xt=1(1)=200,当=0.1 有:S1(1)=x1+(1)S0(1)=0.1200+0.9200=200S2(1)=x2+(1)S0(1)=193.5:S11(1)=205.6=x12填于表中=0.1时200193.5193.7194205.6202.61
13、97.8191193202.3205.6=0.5时200167.5181.3189.4249.7212.3183.7156.8188.4233234 =0.9时200141.5189.7196.9298.7187.4158.2132.8211.3270.9238.6可见当=0.1时,x12=S11(1)=205.6平滑效果好前期数据影响大。=0.5时，x12=S11(1)=234当=0.9时,x12=S11(1)=238.6平滑效果差，后期数据影响大。可以看到：对于波动变化很大的情形，由一次的指数平滑曲线来模拟误差很大而对振动较小的情形，则比较合适。1）平滑系数(0,1)当0St(1)St-1
14、(1)预测值接近原来估计值即前期预测数据起主导作用。当1St(1)yt 预测值接近上一时刻的估计值。后期实际数据起主导作用，前期预测值作用很小。(2004/10/25)2）指数平滑由St(1)=yt+(1a)St-1(1)递推St-1(1)=yt-1+(1)St-2(1)将St-1(1)代入St(1)公式中,且不断代入St(1)=yt+(1)yt-1+(1)St-2(1)=yt+(1)yt-1+(1)St-2(1)=yt+(1)yt-1+(1)S0(1)=(1)yt-k+(1)S0(1)其中S0(1)为初始估计值tt2k讨论：a）考虑右边第二项，(1)S0(1)01即有010，实际数据若t50
15、，则(1)0则(1-a)tS0 0可略去,也就是初始数据的影响可不考虑。若t50，一般的可选择最初几个原始数据的平均值代S0(1)tttb）考虑公式右边第一项(1)kxt-k为除S0(1)外其他所有已知的数据的平滑值，即影响大小权数为：(1)(1)(1):(1)012t-1这是一个公比为1(1)的递减指数级数（或几何级数）加权系数变化规律曲线即原始数据平滑按照指数平滑规律加权构成，数据越原始，被平滑的部分也越多。即对预测值影响越小，反之影响越大。t-2tt-1c）由公式可知所有原始数据均参与预测值的构成。即预测结果包含所有的已知信息量.这些量的大小取决于平滑系数的大小。d）指数平滑的平滑能力（
16、修匀能力）设数据序列为常数趋势序列：yt=a+t其中a为常数,t可视做实际值与a的偏差，此为随机项，应有Et=0且Dt=对数据指数平滑St(1)=(1)yt-k+(1)S0(1)2kt当t,(1-a)tS00则St(1)=(1)yt-k=(1)(a+t-k)=a(1)+(1)t-k=a/1(1)+(1)t-k取数学期望ESt(1)=a+(1)Et-k=a 即 ESt(1)=Eyt=akkkkkk考虑均方误差：DSt(1)=D(1)t-k=(1)Dt-k=(1)=1/(2)=/(2-)22 即是说：指数平滑使原始数据集中程度提高，滤除了一些随机误差，使预测值向均值方向集中，对原始数据产生了平滑效
17、果k2k222k222e)平滑能力体现取决于i)DSt(1)平滑能力增强这种情况适用于不规则起伏，但在某个值上下波动的时间序列，经验选取0.050.2ii),DSt(1)平滑能力减弱这种情况适用于趋势变化明显的时间序列使跟踪灵敏度提高。经验0.3-0.6iii）对于变化不太大的时间序列，取0.10.4以便于使早期信息充分反映到预测值中。3).指数平滑预测不断修正误差:yt=St(1)=yt+(1)St-1(1)=St-1(1)+ytSt-1(1)即下期预测值=本期预测值+本期预测误差 系统为负反馈自动控制系统,有一定的自适应能力。2、二次指数平滑二次,三次乃至高次指数平滑是多项式模型中利用指数
18、平滑进行模拟而得出的。利用台劳公式和卷积公式定理以求出多项式参数.证明即定理详见预测与决策方法1)预测公式:假定数据趋向为线性趋势yt+T=at+btT2)预测参数公式第一次平滑St(1)=yt+(1)St-1(1)第二次平滑St(2)=St(1)+(1)St-1(2)且at=2St(1)St(2)bt=/(1)St(1)St(2)预测公式即为yt+1=at+btT=2St(1)St(2)+/(1)St(1)St(2)T注:公式推导参考(日)春日井博郭明哲二次指数平滑仅适用与线性趋势型.3.三次指数平滑:假定已知数据呈二次曲线趋势1)预测公式yt+T=at+btT+ctT22)平滑公式S(1)
19、t=yt+(1)St-1(1)S(2)t=St(1)+(1)St-1(2)再进行一次平滑St(3)=St(2)+(1)St-1(3)3)参数公式at=3St(1)3St(2)+St(3)bt=/2(1)2(65)St(1)2(54)St(2)+(43)St(3)ct=/2(1)23St(1)3St(2)+St(3)4)初始值计算二次,三次指数平滑预测均涉及初始值的问题,书上介绍的为i)数据少时,取最初几个数据的均值为初始值ii)数据多时,以第一期原始数据为初始值.指数平滑应用-指数平滑异同移动平均线MACD(MovingAverageConvergenceandDivergence)美Gera
20、ldApple和WFredrickHitsckler与1979年提出.作用:运用快,慢速移动平均线,加以双重平滑运算,研判买入和卖出时机,克服移动平均线易出现假信号的缺陷,是研判中期走势和盘整转势的重要指标.1.平滑系数(N)=2/(N+1)若N=12日,即(12)=2/13=0.1538 N=26日,即(26)=2/27=0.07412.指数平滑值:(EMA)St(12)=(12)今日收盘价xt+1(12)St-1(12)即EMA(12)=(12)xt+1(12)EMAt-1(12)同理:EMA(26)=(26)xt+1(26)EMAt-1(26)3.快,慢连线的离差DIF:DIF=EMA(
21、12)EMA(26)当DIF0为多头市场,DIF0为空头市场4.再取DIF的9日移动平均值,即指数平滑异同移动平均值MACDt=DIFt+DIFt-N+1/N=MACDt-1+DIFtDIFt-N/N 这实际上是以离差及离差的平均值来进行预测.5.柱状值BARBAR=DIFMACD由图可见,在一段股价的真正涨势中,快慢速之间的差距将愈来愈大,(乖离值越大);若涨势趋缓,则将缩小,甚至死叉;反之,在持续跌势中,快速线在慢速线之下,亦会愈去愈远.当距离大到一定程度时,回归将会产生.两次平滑的结果,平滑了意外波动,透出股价的真正走势.股价xtSt(12)St(26)DIFDIF二.使用原则1、DIF
22、与MACD在0轴以上,大势属多头市场;否则为空头市场;2、DIF从下向上突破MACD形成金叉(柱状值BAR由负变正),或DIF及MACD从下向上突破0轴,为买入信号;3、DIF从上向下突破MACD形成死叉(柱状值BAR由正变负),或DIF及MACD从上向下突破0轴,为卖出信号;4、顶背离:当股价不断创新高,DIF和MACD钝化;底背离:当股价不断创新低,DIF和MACD钝化;5、高位两次死叉股价将大跌;低位两次金叉股价将大涨.注1:一般地,MACD指标还结合其他中线指标进行综合考虑.如乖离率BIAS,强弱指标RSI,随机指标KDJ及威廉指标WR%注2:收盘价xt可取xt=(2 收盘价+最底价+最高价)/4更合理.