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1、第五章时间序列平滑预测法第1页，共41页，编辑于2022年，星期三5.1 一次移动平均法一次移动平均法 一、一次移动平均法 一次移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值 作为下一期的预测值。回总目录回本章目录第2页，共41页，编辑于2022年，星期三 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数，必须一开始就明确规定。每 出现一个新观察值，就要从移动平均中减 去一个最早观察值，再加上一个最新观察 值，计算移动平均值，这一新的移动平均 值就作为下一期的预测值。这正是移动平均法的由来。回总目录回本章目录第3页，共41页，编辑于2022年，星期三 由移动平均法计算公式可以
2、看出，每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正，N 越大平滑效果愈好。设时间序列为移动平均法可以表示为：式中：为最新观察值；为下一期预测值；回总目录回本章目录第4页，共41页，编辑于2022年，星期三（1）移动平均法有两种极端情况在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。回总目录回本章目录第5页，共41页，编辑于2022年，星期三 当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，
3、并且预测值滞后的期数也少。回总目录回本章目录 （2）移动平均法N的选取第6页，共41页，编辑于2022年，星期三 （3）移动平均法的优点 计算量少；移动平均法能较好地反映时间序列 的趋势及其变化。回总目录回本章目录 （4）移动平均法的主要缺点 只能用于平稳时间序列的预测；移动平均法只能用于短期预测。第7页，共41页，编辑于2022年，星期三 （5）移动平均法的两个主要限制 限制一：计算移动平均必须具有 N 个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须存储大量数据；回总目录回本章目录 限制二：N 个过去观察值中每一个权数 都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的 权数等于0，而实际上往往是最新观
4、察值 包含更多信息，应具有更大权重。第8页，共41页，编辑于2022年，星期三 例例 1 1 分析预测我国平板玻璃月产量。例题分析时间 序号实际观测值三个月移动平均值 五个月移动平均值 1980.11980.21980.31980.41980.51980.61980.71980.81980.91980.101980.111980.12123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8(259.5)-215.9222.6224.8214.6209.0211.6214.3220.6227.0-218.4217
5、.4216.1215.8212.4213.6223.5 下表是我国1980-1981年平板玻璃月产量，试选用N=3和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。回总目录回本章目录第9页，共41页，编辑于2022年，星期三5.2一次指数平滑法一次指数平滑法1.一次指数平滑法模型回总目录回本章目录指数平滑法是由移动平均法演变而来的 假设是平稳时间序列，则可以用前一期的预测值 代替 ，并用 代替 即得第10页，共41页，编辑于2022年，星期三 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为。递推可得 易见，每一递推观测值的权数按指数规律递减，这就是指数平滑法的由来。2.由一次指数平滑法的通式可见：回总
6、目录回本章目录第11页，共41页，编辑于2022年，星期三3.模型讨论模型可化为 它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。接近1时，新的预测值将包括对前一期预测误差的全部修正值；接近0时，新的预测值只包括很小一部分修正值；总之，平滑系数取较大值时，预测值能较快的反映出时间序列的变化情况；当平滑系数取较小值时，预测值对时间序列变化反映比较慢，但比较平滑。第12页，共41页，编辑于2022年，星期三4.模型优缺点优点：它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和值，就可以进行预测。缺点：适用于变化不
7、大的平稳时间序列第13页，共41页，编辑于2022年，星期三5.一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：取第一期的实际值为初值；取最初几期的平均值为初值。一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。回总目录回本章目录第14页，共41页，编辑于2022年，星期三 例例 2 2 利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预测（取=0.3，0.5，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的进行预测。拟选用=0.3，=0.5，=0.7试预测。结果列入下表：回总目录回本章目录第15页，共41页，编辑于2022年，星期三时间
8、 序号实际观测值指数平滑法=0.3=0.5=0.71980.011980.021980.031980.041980.051980.061980.071980.081980.091980.101980.111980.121981.01123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5 203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5 203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.823
9、3.8 203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1 回总目录回本章目录第16页，共41页，编辑于2022年，星期三=0.3，=0.5，=0.7时，均方误差分别为：MSE=287.1 MSE=297.43 MSEMSE=233.36=233.36 因此可选=0.7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：由上表可见：最小回总目录回本章目录第17页，共41页，编辑于2022年，星期三5.3 5.3 线性二次移动平均法线性二次移动平均法 一、线性二次移动平均法 （1）基本原理 为了避免利用移动平均法预测有趋势的
10、数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。在二次移动平均的基础上建立线性预测模型进行预测。回总目录回本章目录第18页，共41页，编辑于2022年，星期三 （2）计算方法线性二次移动平均法的通式为：m为预测超前期数（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）回总目录回本章目录用于计算一次移动平均值；用于计算二次移动平均值；N是计算移动平均数所选定的数据个数。线性预测模型：其中：第19页，共41页，编辑于2022年，星期三（3）模型建立的思想：当序列具有趋势时，一次平均序列总是落后于实际数据序列，出现了之后
11、偏差；二次移动平均序列也与一次平均序列形成了滞后偏差。二次移动平均正是利用这种滞后平常的演变规律建立上述线性预测模型的：（5.3）式用于对预测（最新值）的初始点进 行基本修正，使得预测值与实际值 之间不存在滞后现象；（5.4）式中用除以，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落在N个点的中点。回总目录回本章目录第20页，共41页，编辑于2022年，星期三（4）线性二次移动平均法例题期数期数销售额销售额St(1)(N=3)St(1)(N=3)St(2)(N=3)St(2)(N=3)atatbtbtFt+m(m=1)Ft+m(m=1)1 1125.0 125.0-2 2135.0 13
12、5.0-3 3195.0 195.0 151.7 151.7-4 4197.5 197.5 175.8 175.8-5 5186.0 186.0 192.8 192.8 173.4 173.4 212.2 212.2 19.4 19.4-6 6175.0 175.0 186.2 186.2 184.9 184.9 187.4 187.4 1.2 1.2 231.6 231.6 7 7155.0 155.0 172.0 172.0 183.7 183.7 160.3 160.3-11.7-11.7 188.6 188.6 8 8190.0 190.0 173.3 173.3 177.2 177.
13、2 169.5 169.5-3.8-3.8 148.7 148.7 9 9220.0 220.0 188.3 188.3 177.9 177.9 198.8 198.8 10.4 10.4 165.7 165.7 1010219.0 219.0 209.7 209.7 190.4 190.4 228.9 228.9 19.2 19.2 209.2 209.2 1111226.0 226.0 221.7 221.7 206.6 206.6 236.8 236.8 15.1 15.1 248.1 248.1 1212198.0 198.0 214.3 214.3 215.2 215.2 213.4
14、 213.4-0.9-0.9 251.9 251.9 1313260.0 260.0 228.0 228.0 221.3 221.3 234.7 234.7 6.7 6.7 212.6 212.6 1414245.0 245.0 234.3 234.3 225.6 225.6 243.1 243.1 8.8 8.8 241.3 241.3 1515-251.9 251.9 第21页，共41页，编辑于2022年，星期三（4）线性二次移动平均法例题第22页，共41页，编辑于2022年，星期三5.4 线性二次指数平滑法线性二次指数平滑法 一次移动平均法的两个限制因素在线性二次移动平均法中也还存在，二
15、次指数平滑主要是用平滑值对时序存在的线性趋势进行修正。因此，二次指数平滑也被称为线性二次指数平滑。线性二次指数平滑法只利用三个数据和一个值就可进行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。回总目录回本章目录 二次指数平滑法也称双重指数平滑，它是对一次平滑值再进行一次平滑。第23页，共41页，编辑于2022年，星期三一、布朗单一参数线性指数平滑法 其基本原理与线性二次移动平均法相似，因为当趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。回总目录回本章目录平滑公式：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值；第24页，共41页
16、，编辑于2022年，星期三m为预测超前期数回总目录回本章目录由两个平滑值可以计算线性平滑模型的两个参数：得到线性平滑模型：注：二次指数平滑的平滑初始值通常采用或序列 最初几期数据的平均值。布朗单一参数线性指数平滑法预测实例第25页，共41页，编辑于2022年，星期三二、霍尔特双参数线性指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。回总目录回本章目录 由于其可以用不同的参数对原序列的趋势进行平滑，因此具有很大的灵活性。第26页，共41页，编辑于2022年，星期三 计算公式：（5.5）（5.6）（5.5）式是利用前一期的趋势值直接修正（5.6）式
17、用来修正趋势项，趋势值用相邻两次平滑值之差来表示。回总目录回本章目录即将bt-1加在前一平滑值St-1上，这就消除了滞后，并使 St值近似达到最新数值xt利用 对相邻两次平滑值之差 进行修正，并将修正值加上前期估计值乘以（1-）霍尔特双参数线性指数平滑法预测实例第27页，共41页，编辑于2022年，星期三5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法一、基本原理：当数据的基本模型具有二次、三次或高次 幂时，则需要用高次平滑形式。从线性平滑过 渡到二次多项式平滑，基本途径是再进行一次 平滑（即三次平滑），并对二次多项式的参数 作出估计。类似，也可以由二次多项式平滑过 渡
18、为三次或高次多项式平滑。回总目录回本章目录第28页，共41页，编辑于2022年，星期三5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法二、应用条件：对于非线性增长（减少）的时间序列，采用二次曲线指数平滑法可能比线性指数平滑法更为有效。它的特点是不但考虑了线性增长趋势，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。第29页，共41页，编辑于2022年，星期三三、计算公式：1.计算t时期的单指数平滑值2.计算t时期的双指数平滑值3.计算t时期的三重指数平滑值4.计算t时期的水平值回总目录回本章目录5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法第30页，共41页
19、，编辑于2022年，星期三回总目录回本章目录5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法三、计算公式：5.计算t时期的线性增长量6.计算t时期的抛物线增长量7.预测t时期以后，即t+m时期的数值第31页，共41页，编辑于2022年，星期三例：某地区统计了从1983年到2006年每年的消费品销售总额，试预测2007年数据年度销售总额（亿元）198312.90 198414.91198515.96198614.41198714.57198814.60 198915.35 199015.84 199116.90 199218.26 199317.40 199418.71
20、年度销售总额（亿元）199519.53 199620.82 199722.87 199824.59 199925.93 200028.04 200129.45 200231.47 200333.99 200439.56 200548.08 200653.67 第32页，共41页，编辑于2022年，星期三散点图：时间序列呈非线性增长趋势，考虑用布朗二次多项式指数平滑法5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法第33页，共41页，编辑于2022年，星期三1.二次指数平滑法得初始值依赖于两个时期的观察值x1和x2，令则其中，通过计算机求解，可得平滑常数最佳值为 ，此时它
21、所对应的均方差最小5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法第34页，共41页，编辑于2022年，星期三于是5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法第35页，共41页，编辑于2022年，星期三布朗二次曲线指数平滑法预测Excel计算预测：2007年该地区的消费品销售总额为61.77亿元5.5 布朗二次多项式（三次）指数平滑法布朗二次多项式（三次）指数平滑法第36页，共41页，编辑于2022年，星期三5.6 温特线性和季节性指数平滑法 一、温特线性和季节性指数平滑法的基本原理 由温特于20世纪60年代初创立，该方法与二次指数平滑法类似
22、，但它可以同时修正时间序列数据的季节性和倾向性，因此，它可以用于对既有倾向性变动趋势又有季节性变动的时间序列进行预测。温特线性和季节性指数平滑法利用三个方 程式，其中每一个方程式都用于平滑模型的三 个组成部分（平稳的、趋势的和季节性的），且都含有一个有关的参数。回总目录回本章目录第37页，共41页，编辑于2022年，星期三温特法的基础方程式：回总目录回本章目录其中，L为季节的长度；I为季节修正系数，即季节性系数（）。（1）为了使 中的随机性得到平滑，在季节指数 I 的方程中，给新算出的季节系数加权 ；给相当于同一季节，距 最近的季节指数 加权 。（2）在 中，给增量 加权 ，给以前的倾向性趋势
23、数值 加权 ，使时间序列的倾向性得到平滑。（3）在平滑后的 的方程中，第一项被季节性指数 除，其目的是消除原始数据 的季节性。第38页，共41页，编辑于2022年，星期三注2：使用此方法时一个重要问题是如何确定、和的值，以使均方差达到最小。通常确定、和的最佳方法是反复试验法。回总目录回本章目录温特线性和季节性指数平滑法的预测公式：注1：初始值的计算：为不同年度同一季节的平均值，为总体平均值。第39页，共41页，编辑于2022年，星期三5.6 温特线性和季节性指数平滑法计算步骤：1.指数平滑数初始值的计算 S_L+1=x_L+1,这里S_4+1=x_4+12.季节指数It初始值的计算 季节指数初始值，由各季节平均除以总平均所得3.平滑系数bt初始值的计算 L=4,故b_5=(x_4+1-x_1)+(x_4+2-x_1)+(x_4+3-x_1)/(3*4)第40页，共41页，编辑于2022年，星期三5.6 温特线性和季节性指数平滑法计算步骤：4.运用预测公式计算F6同理，依次求出S24，b24，I245.预测2006年四个季度的销售额。第41页，共41页，编辑于2022年，星期三