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1、工程力学例题第1页，本讲稿共47页21 达朗贝尔原理 21.1 惯性力的概念动力学问题动能定理动量定理动量矩定理运动学关系两点速度、加速度关系复合运动联立求解静力学问题平衡方程达朗贝尔原理（动静法）惯性力人为引入的假想力，无施力者，与观察者有关，与真实力同样有运动、变形效应。第2页，本讲稿共47页1.第一类惯性力在非惯性系中引入在非惯性系中引入，使牛顿第二定律形式上仍成立:2.第二类惯性力在惯性系中引入在惯性系中引入，使动力学形式上转化为静力学问题:其中：牵连惯性力、科氏惯性力xyzxyzmxyzm在非惯性系中(21.1)(21.2)(21.3)达朗贝尔惯性力（21.4）第3页，本讲稿共47页
2、(21.3)达朗贝尔惯性力（21.4）(21.5)共点力系平衡方程质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力组成一个形式上的平衡共点力系。21.2 达朗贝尔原理xyzm1.质点的达朗贝尔原理第4页，本讲稿共47页达朗贝尔惯性力（21.7）(21.8)n个平衡的共点力系质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。2.质点系的达朗贝尔原理(21.6)对质点系中任意质点达朗贝尔原理平衡方程（21.9)其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。第5页，本讲稿共47页达朗贝尔原理平衡方程（21.9)达朗贝尔原理平衡
3、方程（21.9)记：达朗贝尔原理的平衡方程中，矩方程的矩心A点可以任意选取。第6页，本讲稿共47页21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化简化为一等效力系（主矢+主矩）1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化(1)达朗贝尔惯性力系的主矢 代入即质心运动定理m-质点系（刚体）的总质量-质点系（刚体）质心C的加速度（21.10）达朗贝尔惯性力系主矢第7页，本讲稿共47页（21.10）达朗贝尔惯性力系主矢(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的O点的主矩：根据 达朗贝尔惯性力系对固定的O点主矩：(21.11)由(21.9)第2式，令A点为O点：对固定点O的动量矩定理第8页，本讲稿共47页(3)达朗贝尔惯性力系对
4、质点系质心C（可为动点）的主矩：利用对不同点的动量矩之关系：求导，并利用xyzCCO第9页，本讲稿共47页由于根据力系对不同点主矩之关系，有：由定义由(21.9)第2式，令A点为质心C点：xyzCCO对质心C的动量矩定理(21.12)达朗贝尔惯性力系对质点系质心C的主矩：第10页，本讲稿共47页（21.10）达朗贝尔惯性力系主矢达朗贝尔惯性力系对固定点O的主矩（21.11）达朗贝尔惯性力系对质心C的主矩（21.12）等效于对质点系质心C的动量矩定理等效于质点系对固定点O的动量矩定理等效于质点系的质心运动定理质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果第1 1页，本讲稿共47
5、页2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称面，且可用代数量表示：（转向与 相同）C由质点系达朗贝尔惯性力系向质心C的简化结果：得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心C简化的结果：（21.13）第12页，本讲稿共47页（21.13）或：（21.13）（转向与 转向相反）C平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心CC简化的结果：简化的结果：第13页，本讲稿共47页对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：（1）刚体平面平移C由于，（21.14
6、）仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢，此结果也适用于刚体作空间平移运动。第14页，本讲稿共47页（2）刚体定轴转动OCa.a.达朗贝尔惯性力系向质心达朗贝尔惯性力系向质心CC简化简化的结果为：的结果为：(21.15)第15页，本讲稿共47页b.b.达朗贝尔惯性力系向转轴达朗贝尔惯性力系向转轴OO简化的结果为：简化的结果为：(21.15)OC惯性力系向转轴O简化 惯性力系向质心C简化OC第16页，本讲稿共47页（1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的这两种简化方法是等价的，最容易犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴O，即式 写出。注意（2）以
7、上图示表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，其大小不要再将对应矢量式前的“负号”带入，因为“负号”所表示的方向（或转向）已在图中标出。以后在列写平衡方程时，就是按图示方向（或转向）来列写的。惯性力系向质心C简化OC第17页，本讲稿共47页例 题 21-121 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题均质轮C，半径r，质量m，在半径为 R 的固定圆轮上纯滚动，已知，均质杆OC长R+r，质量M，均质杆CA长l，质量m，若l=3r，R=4r，给出该刚体系统达朗贝尔惯性力系的简化结果。RrCOA第18页，本讲稿共47页RrCOA例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题解：设杆OC的质心为B杆AC的质心
8、为DBD轮C一般平面运动，杆OC定轴转动，杆AC定轴转动。1.运动学关系轮C：杆OC：()()第19页，本讲稿共47页例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题杆OC：()()RrCOABD第20页，本讲稿共47页RrCOA例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题BD杆AC：()()第21页，本讲稿共47页例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题2.惯性力系简化结果RrCOABD（1）轮C，向其质心C简化：（方向如图）（2）杆OC，向其质心B简化：方向如图 第22页，本讲稿共47页例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题（3）杆AC，向其质心D简化：方向如图RrCOABD第23页，本讲稿共47页
9、例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题此题易错处之一：将定轴转动杆（如杆OC）的达朗贝尔惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：或将惯性力画在O点，惯性力偶矩写为：RrCOABD第24页，本讲稿共47页例 题 21-121 达朗贝尔原理 例题此题易错处之二：将纯滚动轮的达朗贝尔惯性力作用点画在杆的质心处，而将惯性力偶矩写为：RrCOABD正确做法是：将惯性力画在轮的速度瞬心P点，惯性力偶矩才可写为：第25页，本讲稿共47页21.4 动静法及应用（1）明确研究对象；（2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力和外约束力；（3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；（4）根据刚化公理
10、，把研究对象刚化在该瞬时位置上；（5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实质上是含运动学特征量的动力学方程）；（6）解“平衡”方程。用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：利用达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法求解动力学问题动静法。第26页，本讲稿共47页例 题 21-221 达朗贝尔原理 例题如图所示一半径为，质量为 的均质圆盘通过光滑销钉A，B连接一长度为，质量为 均质细杆AD，已知系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的光滑轴O以匀角速度 转动。若，。当系统转至图示位置（点O，A和D在同一水平线上）时，突然拔去销钉B，试求该瞬
11、时杆AD的角加速度和O处约束力。ABOD C第27页，本讲稿共47页例 题 21-221 达朗贝尔原理 例题ABOD C解：分析：系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩必定随时间变化。当销钉B突然拔去后的瞬间，主动力主动力偶偶和两刚体的角速度角速度都与拔去前的瞬间相同，但两刚体均有角加速度角加速度。（1）在未拔销钉B时求M(t)在突然拔去销钉拔去销钉BB前的瞬间前的瞬间，取整体为研究对象，画出受力图。由达朗贝尔原理知：（1）以O为原点建立坐标系O xy，此时，系统的达朗贝尔惯性力系向O点简化结果为过O点的一个力。第28页，本讲稿共47页例 题 21-221 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题
12、（2）当拔去销钉B后的瞬间:设圆盘和杆的角加速度分别为，转向均为顺时针。先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。ABOD C为求杆质心C的加速度，由A，C两点加速度关系：？第29页，本讲稿共47页例 题 21-221 达朗贝尔原理 例题ABOD C达朗贝尔惯性力的简化结果为：第30页，本讲稿共47页例 题 21-221 达朗贝尔原理 例题由达朗贝尔原理列出平衡方程：(2)(3)ABOD C(4)第31页，本讲稿共47页例 题 21-221 达朗贝尔原理 例题ABOD C(2)(3)(4)（1）A DC再取杆AD为研究对象，画受力图，由达朗贝尔原理知：(5)联
13、立（1）（5），得：第32页，本讲稿共47页例 题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题OABOA杆长 l，质量为 m，AB为一刚度系数为 k 的弹簧，系统从图示初始位置由静止进入运动，设初始位置弹簧的伸长量为 l，不计弹簧的质量和各处的摩擦，求杆OA转至水平位置的瞬时，杆OA的角速度、角加速度及O处的约束力。第33页，本讲稿共47页OAB例 题 21-321 达朗贝尔原理 例题解：系统仅重力、弹性力作功，机械能守恒：初始：取O点为重力势能零点，弹簧原始长度为弹性势能零点。杆OA定轴转动，设杆水平时角速度为，则：A第34页，本讲稿共47页例 题 21-321 21 达朗贝尔原理达
14、朗贝尔原理 例题OBA代入机械能守恒式中，得：（）设杆水平时的角加速度为杆OA此瞬时的达朗贝尔惯性力向质心C简化：C第35页，本讲稿共47页例 题 21-321 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题OBAC取杆OA为分离体，画出受力图O AC对杆OA其中弹簧力第36页，本讲稿共47页例 题 21-321 达朗贝尔原理 例题OBACO AC其中弹簧力()第37页，本讲稿共47页例 题 21-321 达朗贝尔原理 例题O AC其中弹簧力负号表示（）()对OA列x，y方向的平衡方程：第38页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题AB杆AB长 l，质量为m，圆轮半径为r，质量为m，地
15、面光滑，杆AB从水平位置无初速释放，求杆AB运动到铅垂位置时，（1）A点的速度和AB杆的角速度。（2）A点的加速度和AB杆的角加速度。（3）地面对圆轮的支持力。第39页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题解：画出整体受力图和圆轮的受力图 分析圆轮的受力，圆轮外力均过质心A，故对质心动量矩守恒：圆轮为平动ABC（2）当AB杆运动到铅垂时，设杆的角速度为，圆轮A点的速度为，由C，A两点速度关系AB CA第40页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题由C，A两点速度关系投影：()系统整体仅受铅垂方向外力，故水平方向动量守恒：()AB CABCA第41页，本讲稿共
16、47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题()(3)系统仅受重力，机械能守恒设点A处为势能零点，则：初始位置：杆铅垂位置：AB CABCA第42页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题初始位置：杆铅垂位置：()()AB CABCA第43页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题ABC(4)取杆AB为分离体，设杆AB的角加速度ABC画出受力图：由A，C两点的加速度关系：投影：A第44页，本讲稿共47页例 题 21-421 21 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题(5)对杆AB:()(1)对杆ABC()第45页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题AABCABC(1)(2)对杆：(3)(4)对轮：达朗贝尔惯性力第46页，本讲稿共47页例 题 21-421 达朗贝尔原理 例题ABCABCA(1)(2)(3)(4)()()联立，可求得：第47页，本讲稿共47页