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1、突破中考翻学乐轴 学霸秘笈大揭秘式019瓶)分题06:次函数亏网的综金问题【典例分析】例 1|如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(a0,c-S_3EM=-(x-2)3 6,然后根据二次函数的最值4性就可求出aBDM 的面积的最大值；(2)连接AD、B C,如图2.若 a=L c=-4,则抛物线的解析式为y=x?+bx-4,可得C(0,-4),OC=4.设点 A(x i，0),B(x2,0),则 OA=-X|,OB=X2，且 xi、x?是方程x?+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得 O A O B=4.由 A、D、B、C 四点共圆可得NADC=NABC,ZD AB=ZD C B,从而可
2、得AADOS S4C B O,根据相似三角形的性质可得OOOD=OAO B=4,从而可得O D=1,即可得到D(0,1),因而无论b取何值，点 D 的坐标均不改变.满分解答(I).抛物线丫=2*+：过点 A (-2,0),B (8,0),C (0,-4),4a-2b+c=0 43*.4 64Q+8b+c=0,解得b=.2i c=-4 c=-4Ai 3.抛物线的解析式为y=-X2-X-4；4 2过点M作M E y轴，交B D于点E,连接B C,如 图1./A (-2,0),B (8,0),C (0,-4.,.O A=2,O B=8,O C=4,A B=1 0,A C=2后 B C=4 君,/.A
3、 B:=A C:-B C:,/.ZA C B=9 0 S二.AB为直径./CD1AB,/.OD=OC,A D (0,4).设直线BD的解析式为y=m x+n.R：B(8,0),D (0,4),8m+n=0n=4解得1m=2,n=4二.直 线BD的解析式为y=-：x-4.3 1设 M(x,-x;-x-4),则 E(x,-x-4),41 1 3 1.*.ME=(-x-4)-(x-x-4)=-x2-x-8,2 4 2 4 S_BDM=S_DELS一：B E X I=；ME(XE-XD)-ME(XB-XE)=；ME(X3-XD)/=(-x2*x-S)xS=-x:-4x-32=-(x-2)1一362 4
4、V0 xCA=45O.过 B 作 BD_L*轴 于 D,则有BD-1,A D =O D -O A=4-3 =1.BD=AD:.ZDAB=ZDBA=45./.ZBAC=180o-450-45o=90.ABC是直角三角形.二 (0：3)符合条件.Pi3)为所求当NABP=90时，过B作BPAC,BP交抛物线于点P.：A(3,0),C(0,3)/.直线A C的函数关系式为y =-x +3将直线A C向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为y =-x+5由，y=-x +51 2 5 i 得，V=-x x+32 2T 或y =6x=4y=l又 B(4,l),.,.P2(-l,6).综上所
5、述，存在两点Pi(0,3),P2(-l,6).另解当N A B P=9 0。时，过 B作 B P IIACBP交抛物线于点P.A(3,0),C(0,3)二直线AC的函数关系式为v =-X +3将直线AC向上平移2 个单位与直线B P 重合.则直线BP的函数关系式为V=-.v +5,点P在直线S =T+5上,又 在 y =-；x +3 上:.i先 点、P 为(K,-K+5),(.v.1.v?-1 .v +3).c1 2 5 ,.x,-.v +5 =-x .v +32 2解得 M=T，X?=4.,.P1(-1,6),P2(4,1 X )综上所述，存在两点P】(0,3),P2(-l,6).(3)：N
6、 O A E=/O A F=4 5 ,而/O E F=N O AF=45,Z O F E=Z O AE=45 ,二 N O E F=N O F E=45,.O E=O F,N E O F=9 0.点 E在线段A C上，.,设 E(x,-x+3)OE2=J C2+(-x+3)2=2 x:-6x+9 s 110KF=*E O F=-O E2=-(2x2-6 x +9)2 22 ,9=x-3x+-2=(x)+2 4.当X =2时,S F F 取最小值，2 i M/C r3 3此时-x+3 =+3 =-,2 2,E(H)2 2例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0,4),与x轴相交于A
7、、B两点，且AB=6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求s山/A C B的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F,证明直线A F与圆D相切.思路点拨(1)连 接C Q,过 点。作垂足为E,连接4 D 依据垂径定理可知AE=3,然后依据切线的性质可知C O L y轴，然后可证明四边形O C Q E为矩形，则。=4,然后依据勾股定理可求得A O的长，故此可求得0Q的半径和点。的坐标；(2)先求得A(2,0),B(8,0).设抛物线的解析式为产a (x-2)(x-8),将 点C的坐标代入可求得a1 1的值.根据三角形面积公式得：ShAI C x A a i n
8、 Z A C B=B x C O,代入计算即可；(3)求得抛物线的顶点厂的坐标，然后求得。尸和4尸的长，依据勾股定理的逆定理可证明/%尸为直角三角形，则/D 4F=9 0。，故此A F是。的切线.满分解答(1)连 接。，过 点。作D E 1 T B,垂足为E,连接T D.DELLS-=汕=3.与1轴相切，.D C 1 1轴.N C O E=N O E D=/O C O=9 L,.,.四边形 O C D E为矩形，:.O O D E.：C(0,4),：.DE=A.在 R i Z U即 中，A D=v D E2+A E2=5,二。的半径为 5,：.D(5,4).故答案为：6,4),5.(2)如 图
9、1所示:V D (5,4),：.E(5,0),.A(2,0),B(8,0).1设抛物线的解析式为产a（x-2）（x-8）,将点C的坐标代入得：16斫4,解得：=了,抛 物 线 的 解 析 式*1 2 5 4为y=产 一/41 1 24 3/SAfi（-BCxACsinZACB=-ABxCO,：.sinAACB=-=-.2 2 4A/5 x 2（5 5（3）连接。尸，如 图2.；I=一声7=：（犬-5）2 .抛物线的顶点坐标尸一，.D尸=4+”号 疝？132+0),得出顶点P 的坐标为：(m,-4m2),则-2m=-4m2,解方程求出m 的值，再把m 的值代入y=(x-m-4D?,即可求出二次函
10、数的解析式。(3)连 接 C M.根 据(2)中的结论，先 在 RlAOCM中，求 出 CM,O M 的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的 2 倍。满分解答(1)V y=(x-m)2-4m2,二当 y=0 时，(x-m)2-4m?=0。解 彳 导 xi=-m,X2=3m。；.A、B 两点的坐标分别是(-m,0),(3m,0)。(2)VA(-m,0),B(3m,0),m0,.AB=3m (m|=4m,圆的半径为；AB=2m。.OM=AM-0A=2m-m=m二抛物线的顶点P的坐标为：(m,-2m)。.二次函数y=(x-m-4tn，(m 0)的顶点P 的坐标为
11、：(m,-4m2),-2m=-4m;,解得 m产。，m：=0(舍去)。.二次函数的解析式为y=；x-；-1,即y=x-x-,。I 2 4(3)如图，连接CM,在 Rt/kOCM 中，V ZCOM=90,CM=2m=2x-=l,OM=m=-,2 2oc=VCM2-OM2=_()。，C D=2 O C=G。例5己知圆P的圆心在反比例函数y =(k l)图象上，并与X轴相交于A、8两 点.且 始 终 与y轴相切于X定点 C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；(2)若二次函数图象的顶点为D,问当上为何值时，四边形A。8 P为菱形.思路点拨(1)连接P C,过P点作轴，垂 足
12、为，根据圆的切线性质，可知P C J _y轴，由勾股定理及垂径定理，C(0,1)可得到 A(k_&2-l,0),8(k +.7二7,0)即可(2)根据菱形的对角线互相平分，则有尸H=D H,得到关于k的方程即可满分野答(1)连结P C、PA.P B,过 户 点 作 轴，垂足为H.1分OP与y轴相切于点C(0,1),.,.P C y W.P点在反比例函数y =的图象上，X点坐标为（火，1）.2分J.PAPCk.在 R H A P”中，A H P A P H k2-1,：.O A=O H A H=k 7 k 2 _ i：.A（k-&2 _ i，0）.3 分由。尸交x 轴于A、8两点，且 P”_L
13、A8,由垂径定理可“知，。”垂直平分48.OB=OA-2.4H=k-v f c2-1-2、比 :-l=*r-v k2-1,0）.4 分故过A*B两点的抛物线的对称轴为尸目所在的直线解析式为x=k.可设该抛物线解析式为L（x-k）2f.5 分又抛物线过。（0,D，3（卜、灰 二 I,0）,得：（ak+f t =1；（a（k +-v k2-1 -k）2+h =0.解 得a=,H2.7 分.抛物线解析式为Kx-k）a-l-f c2 8 分（2）由知抛物线顶点。坐 标 为（k,i-k2）：.DH=k21.若四边形A。8 P 为 菱 形.则 必 有.1 0 分,;PH=1,：.k2l=l.又,:k 1,
14、k=*.1 1 分当左取M 时，尸。与 AB互相垂直平分，则四边形AO5 P 为菱形.12分例 6 如图，二次函数y=x?+px+q(p 0)的图象与x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于点C(0,-1),AABC的面积为3。4(1)求该二次函数的关系式；(2)过 y 轴上的一点M(0,m)作 y 轴的垂线，若该垂线与AABC的外接圆有公共点，求 m 的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。思路点桢(1)山AABC的面积为2,可得A B xO C=*,又二次函数y=x?+px+q(p 2 4 2 4 2由抛
15、物线与y轴 交 于(0,-1)，得 产xp x-g(p 则 Xi-Xfp,XX；=-1,且 A、B 两点的坐标为(x i,0)、(x;,0),由直角坐标系上两点间的距离公式可得x”x尸AB=2,2,(与一再)=(：)25.xr-x2;-2x;x;=,25.XF-XF-ZXIXTJX I X L T,425 25 3(xi-x;):-4x:x;=-2-,gpp：-4=,解得p=士三,4 4 23/p0，/.p=-,3该抛物线的关系式为】=炉-彳-1;（2）设AABC的外接圆交y 轴于另一点D,如图,3 1由0=x 1 得 x1=2,2 2；.4O=.B0-2,2连接AD,在AABC的外接圆中，-
16、AC=AC,Bb=BDAZADC=ZABC,NDAB=NDCB,/.AODACOB,.AO _ODOBc1-21-OP,一_r.DO=1,?.CO=DO=1,XVAB1CD,A AB过ABC外接圆的圆心，即 A B为aABC外接圆的直径,.ABC外接圆的直径为,.直线)=(-X-1)=55与AABC的外接圆相切，5-5 w 2+1,即 PQ3.,/OM=AN=t,OA=1,/.PQ=MN=OA-OM-AN=1-2t,/.l-2 t 3,解得 t l,又；它0,.,.0tl;。P与O Q内 含,则P Q 2-1,即P Q 0,又 二.两圆分别从0、A两点同时出发，且移动速度相等，当运动到P,Q两
17、点重合时同时停止运动，OA=1,点P的横坐标为t,.2 0 1,解得，4不，故答案为：0 rS彳.考点：二次函数综合题.3.如图，抛物线过点4（2,0）、B 6 0）、C（l,也）,平行于x 轴的直线CC交抛物线于C、D,以AB为直径的圆交直线C。于点E、F,则 CE+FZ）的值是.【答案】4【解析】如图，设 以 AB为直径的圆的圆心为P,过 点 P 作 PM 1EF于 点 M,则 有 EM=FM,因为点A 与 点 B,点 C 与 点 D 都关于抛物线的对称轴对称，所 以 CN!=DM,所 以 CE=DF,由 d（2,0）、5（6,0）在抛物线上，所 以 AB=4，抛物线的对称轴为：x=4,因
18、为。（1,苏），所 以 D（7,赤），所 以 CD=6,在 RtAPME 中，EM=VPE2-P M;=2:-(f所以 CE-DF=CD-EF=4,故答案为：4.4.如图，抛物线y=,x 2 3 x 与 x 轴交于O,A 两点.半径为1 的 动 圆（O P）,圆心从O 点出发沿抛物2 2线向靠近点A 的方向移动；半径为2 的动圆（O Q）,圆心从A 点出发沿抛物线向靠近点O 的方向移动.两圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P,Q 两点重合时同时停止运动.设点P 的横坐标为t.（1）点 Q 的横坐标是（用含t 的代数式表示）;（2）若。P与。Q相离，贝Ut的取值范围是.【答案】（1）5-t；（
19、2）0 t 1,2 t -.2【解析】1 ,5试题分析：（1）如图，抛物线y=-x 2一2x与x轴交于O,A两点，两圆刚开始分别在0,A点，所以2 2%+x 0 =5 ；设点P的横坐标为t,所以点Q的横坐标=5-t（2）若。P与。Q相离，所以两圆的圆心距大于两圆的半径之和，即解得t v l;由题知点P的横坐标为t,刚开始P在原点，所以/N 0 ,因此0 t 2;当运动到P,Q两点重合时同时停止运动，解得所以t的取值范围0 t 1,2 t|考点：二次函数和圆点评：本题考查二次函数和圆，掌握二次函数的性质和圆相离，会判断两圆相离，圆心距与两圆半径之间的关系是本题关键5.如图，抛物线y =一;x-6
20、的图象与x轴交于点A,B,交y轴于点C,动点F从点A出发沿射线A B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为/秒，作ABCP的外接圆。M,当圆心加落在该抛物线上时，则 H 秒.【答案】6【解析】A P B C的外接圆的圆心在线段B C的垂直平分线y=-x上，求出直线丫=巾与抛物线的交点，即可推出点M坐标，由此即可解决问题.解：P B C的外接圆的圆心在线段B C的垂直平分线y=-x上y=-x A 1x=4-x=6由 1 2 1 /解得 ）或,（舍去），y=-x x-6 y=-4 y=6，点 M 坐 标 为(4,-4),如图中，作 M N A B 于 N,.PN=NB=2,/.O P-2,
21、AP=6,.t=6时，圆心在抛物线上./36.如图，圆 B切 y轴于原点O,过定点A(-2&0)作圆B的切线交圆于点P,已知ta n N P A B=g,抛物线C经过 A、P两点。(1)求圆B的半径.(2)若抛物线C经过点B,求其解析式.(3)设抛物线C交 y轴于点M,若三角形APM 为直角三角形，求点M 的坐标.【答案】(1)r=2/；(2)见解析；(3)M 点坐标为(0,-6),(0,6),0 0【解析】【分析】(1)因为A P 是 的 切 线，所以连接P B 可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数值即可求出圆B 的半径;（2）根据Q B 的半径可求出B点坐标，利用勾股
22、定理或切割线定理可求出4P的距离，根据4P、BP的长可求出P点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（3）求出P点坐标和4点坐标，设出M点坐标为（04），根据勾股定理及其逆定理解答.【详解】（1）连接PB,PB L A P,设P 8=r,tanz.P.4B=百，3/JAB=30=,故r=：（OA+OB）=久 2、4 +力（2）如P在第一象限，OP与 斓 的 夹 角=24PAB=60,贝|J：P点坐标（2收 出 60。,2闻“60。），即（居 3）,B、4关于?轴对称，所以抛物线顶点必在y轴上，设为（0,m）,抛物线解析式：y-m =kx2,将（展），（2疯，0）代入，1得：3-m=3
23、k9-?n=12fc,m=4,k=-抛物线解析式：y=-1x 92+4,若P点在四象限,则：P点坐标（我-3）,则抛物线解析式：y=-；/_ 4；（3）由于P点坐标为（、氏3）,A点坐标为（一2、0）,M点坐标为根据勾股定理，P京=P M2+A M2,3 6 =”-6 t+1 2 +1 2 +广，解得t=誓，P M?=P A2+A M2,t:-6 t+1 2 =3 6 +1 2+t:,解得t=-6;A M?=P A2 +P M：,1 2 +*=3 6 +*-6 t+1 2,解得t=6,于是M点坐标为（0，6）,（0.6）,（0,三 尹），（0，、卫）【点睛】此题将圆、抛物线、直线结合起来，考查
24、了对知识的综合运用能力.特别是解（3）时，要应用勾股定理进行分类讨论.7.如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A （2,0）,点B （0,2布）。（2）设弧OB的中点为D,请求出同时经过O,A,D三个点的抛物线解析式。并判断该抛物线的顶点是否在圆C上，说明理由。（6分）（3）若（2）中的抛物线上存在点P （m,n）,满足/A P B为钝角，直接写出m的取值范围。（2分）【答案】(I)点C的坐标是(1,百);(2)顶点不在圆C上；(3)或 2 V x 23 3所以顶点不在圆C上;.当抛物线上的点在圆内部时，N APB是钝角，/.m的 取 值 范 围 是 或2x3.考点：二次函数解
25、析式的求法、圆的基本性质点评：本题主要考查了二次函数解析式的求法与圆的基本性质.求二次函数的解析式的常用方法是待定系数法.,18.如图，已知抛物线丁 =以2+云+c(a#)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y =/X +l与抛物线交于B,D两点，以B D为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作B E J _m,垂足为E,再过点D作D F L m,垂足为F,求MF的值.【答案】(D y=-x2-x +2；(2)证明见解析；(3)由 土1.-4 2【解
26、析】试题分析：(1)可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点(4,2),可求得抛物线的解析式；(2)联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；(3)过点C作C H J _m于点H,连接CM,可求得MH,利 用(2)中所求B、D的坐标可求得F H,则可求得MF和B E的长，可求得其比值.试题解析：(1)已知抛物线y =a v 2+c (a/0)的 图 象 的 顶 点 坐 标 是(2,1),.可设抛物线解析式为y =a(x-2 y +l,.抛 物 线 经 过 点(4,2),A 2 =(4-2)2+1 ,解 得a=；,.抛物线解析式为y =
27、(x-2)2+1,B p y =%2-x +2；4 4（2）联立直线和抛物线解析式可得1 2 -y=-x-x+2:，解得：，V=-X +l 22 2yo 7rr 5#5 在 v：一 半），D（3+在，：+当），为BD的中点、，.,点c的纵坐标为五工=彳，,2 2 2 2 2 2考点：二次函数综合题；压轴题.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c（a0）与 x 轴交于点O、M.对称轴为直线x=2,以0 M 为直径作圆A,以0 M 的长为边长作菱形ABCD,且点B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上,点 D 在 y 轴负半轴上;BD=J （3_（3+）*2+（|_ 2
28、）_（2 +2）2=5,.圆的半径为:，.点 C 到 x 轴的距离等于圆的半径，.圆 C 与 x 轴相切；5 5 3（3）如图，过点C 作 CH_Lm,垂足为H,连接C M,由（2）可知C M=-,CH=-1=-,在 R/CMH2 2 2中，由勾股定理可求得MH=2,；HF=3+石T 3-后=道，.MF=HF-MH=6一 2，V B E=-2 2 2(1)求证：4a+b=0；(2)若圆A 与线段A B 的交点为E,试判断直线DE与 圆 A 的位置关系，并说明你的理由；(3)若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且NOPM为锐角时，求 a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)DE与圆A 相切；(
29、3)-a 3 .2【解析】试题分析：(1)由题意可知(4,0),由抛物线经过点O 可求得c=0,将 c=0,x=4,乎=0 代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；(2)如 图 1所示：由菱形的性质可知：DN=NB,DN_LAN,由 OM=AD=AB,可证明AD=AB=DB,由AE=2可知AE=EB,由等腰三角形三线合一的性质可知A E L D E,从而可证明DE与圆A 相切；(3)如 图 2 所 示.设 点 P 的坐标为(2,m).由题意可知点E 的坐标为(-2,2),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),将 x=2代入得y=-4a即 m=-4 a.由NOPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部
30、可知-4a-4 7 3 .从而可求得a 的取值范围.解：的 坐 标 为(0,0),抛物线的对称轴为x=2,点M的坐标为(4,0.抛物线经过点O,/.c=0.将c=0,x=4,产。代入抛物线的解析式得：1 6 a-4 b=0.整理得：4 a-b=0.(2)DE与圆A 相切.理由：如 图 1所示:J 小.四边形ABCD为菱形，/.DN=NB,DN1AN.,/ZAOD=ZAON=ZDNA=905,，四边形OAND为矩形.OA=DN=2.DB=OM=4.,.,OM=AD=AB,.AD=AB=DB.：AE为圆A 的半径，；.AE=EB=2.VAD=DB,AE=EB.AAEDE.DE与圆A 相切.(3)如
31、图2 所示.设点P 的坐标为（2,m）.VOM 为圆A 的直径，二 ZOEM=90.VAE=2,0A=2,二点E的坐标为(-2,2).设抛物线的解析式为y=ax(x-4),将 x=2代入得y=-4a.,.m=-4a./O P M 为锐角，.点P 在 点 E 的下方.4a g .在 RtAAOD 中，0D=_ 0 _ f=2#.二.A C=4 6 .点P 在菱形的内部，.点 P 在 点 C 的上方.-4a-4 也.解得：a /.二.a 的取值范围是;0，一 元二次方程久2 +p x +q =O有两个不相等的实根，抛物线y =公+p x +q 与x 轴有两个交点：解：(3)由题意，x2+px-2
32、p -4 =0,解此方程得=2,=-p -2 (p H -4),.A B=p+4(p -4)或月B =-P 4(P 0)经过A、B两点，顶点为P。v(1)求抛物线与y轴的交点D的 坐 标(用m的代数式表示)；(2)当m为何值时，直线P D与圆C相切？(3)联结PB、PD、B D,当m=l时，求/B P D的正切值。c【答案】(1)(0,-3。7(2)m =：(3)t a nN 8 PO =33【解析】试题分析：(1)把41,0)、氏-3,0)代入抛物线 =/+云+c即可得到c与m的关系，从而求得抛物线与y轴的交点D的坐标；(2)根据切线的性质结合函数图象匕点的坐标的特征即可求得结果；(3)先把
33、m=l代入函数关系式得到点D、P的坐标，再根据正切函数的定义即可求得结果.(I)；抛物线y =云+。的图象过点A(l,0)、5(-3,0)机 +。+c=09771-36 4-c=0解得c=-3m，抛物线与y轴的交点D的坐标为（0,-3m）；OC经 过 典。、5（-1 0）.点c的坐标为（-1,0）,。的半径为2m +b+c=0 b=2ni由1 可得 9 加-36+c =0 c =-3w y=m x1+&v+r =+2HIX-3HI=+1)2-4 w.点P的坐标为（T T?）设直线P D的函数关系式为1=H+bb=-3wd+6 =7,解得b=一 3?k=ni二.直 线P D的函数关系式为3=W-
34、V-3W当直线P D与 圆C相切加=解得物=二 目（舍负）;3当 m=l 时，y-m x1+h x+c=x2+2 x-3则D的坐标为（0,.3）,P点坐标为（1,-4）t a nZ.BPD=3.考点：二次函数的综合题点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，耍特别注意.1 91 4.如图，抛物线y =鼻2+云+，与 x轴的两个交点A、B,与 y轴交于点C,A 点坐标为（4,0）,C（2）用直尺和圆规作出A A B C 的外接圆。M,（不写作法，保留作图痕迹），并求。M 的圆心M 的坐标；【答案】（1），二 万/一%一4；（4 分）;（2）作图正确2分,
35、N（l,-I）（2分）；【解析】试题分析：（1）由题意分析可知，本题中把A （4,0）,C（0,-4）代入得到b=-l,c=-4,故 所 得 抛 物 线 解 析 式 是 x-4（2）由题意可知点B 的坐标是（口 0）,根据题意可知，设该圆的解析式是（x-。广+（1-6）2=/因为该圆是外接圆，所以经过A：B：C,所以可以求得a=l,b=-l故是（6）考点：二次函数的综合题点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键3 11 5.已知直线旷=4 工+匕与抛物线丁 =磔 2 交于点A（1,-）,与 y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和点C 的
36、坐标;（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移机个单位（相 0）,抛物线与X轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以C Q为直径，求机的值；（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（0）,抛物线与x轴交于p、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时的值；若不存在，请说明理由.1 ,3【答案】（1）y =一一r，C（0,-1）；（2）机=1；（3）最小值为4万，n=-4 4【解析】1 3试题分析：（1）把A（1,-）分 别 代 入 直 线+b与抛物线y =即可求得结果；（2）先根据平移的特征得到平移后的函数关系式，再根据直径所
37、对的圆周角是直角即可得到结果；（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴.因此过C、P、Q三点的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，那么圆心到C点的距离也要最小，即两点的纵坐标相同，即可得到圆的半径，求出圆心的坐标.可设出平移后的抛物线的解析式，表示出P Q的长，如果设对称轴与x轴的交点为E,那么可表示出P E的长，根据勾股定理即可确定平移的距离.1 7（1）把A（l,-4）分别代入直线y=与抛物线），=,4 4可得。=一,，b=一14,抛物线的解析式为y=,直线的解析式为，43在y=：x-l中，当x=0时，J =-l,二.C的坐标为（0,（2）设平移后的抛物线函数关系
38、式为y =-（x-2）2+m,4由题意得，此时抛物线的图象经过原点（0,0）,则-x4+m =0,解得m =l；4(3)设平移后的抛物线函数关系式为y =2):+”，令 y=,贝U x=2 2 赤 ).me、P、Q三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点，二要使圆的面积最小，圆的半径应等于点C到直线x=2的距离，此时，半径为2,面积为4,7,设圆心为O,P Q的中点为E,连 接0 E,0 P.在三角形C E M中，PE2+O E2=O P2,：.(2jri)2+1*=2:,解得 =3.当时，me、P、Q三点的圆的面积最小，最小面积为4 7.考点：本题考查的是二次函数的综合题点评：解答本题的
39、关键是注意平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可：左右平移,只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减.1 6.已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴 交 于(-2,0),(2,0).(1)直接写出抛物线解析式；(2)如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.当直线O D与以A B为直径的圆相切于E时，求此时k的值：是否存在这样的k值，使得点0、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)y=-X2+4O(2)如图，连接C E,C D,yDOD 是。C
40、 的切线，.C E lO D。在 RtaCDE 中，ZCED=90s,CE=AC=2,DC=4,.,.ZEDC=30o.,.在 RtACDO 中，ZOCD=90:,CD=4,ZODC=30,.oc=坟。3二当直线OD与 以 AB为直径的圆相切时，k=OC=半o存在k=2夜，能够使得点O、P、D三点恰好在同条直线上。理由如下：设抛物线y=-X2+4向右平移k个单位后的解析式是y=-（x-k）2+4,它与y=-x2+4交于点P,由-（x -k）2+4=-x +4,解得 x i=K,X 2=0 （不合题意舍去）。2k1当 x=一时，y=-k2+4o2 4k 1 o 点P的坐 标 是（士，-k2+4）
41、o2 44设直线O D的解析式为y=m x,把D（k,4）代入，得m k=4,解得m二。4工直线O D的解析式为y=-X ok若点P（V,-Lk 2+4）在直线y=2x匕 得-1 1?+4=2 ，解得k=2也（负值舍去）。2 4 k 4 k 2.当k=2后 时，0、P、D三点在同 条直线上。【解析】试题分析：（1）二.抛物线的顶点为（0,4）,.可设抛物线解析式为y=a x?+4。又.抛物线过点（2,0）,.-.0=4 a+4,解得a=-1。.抛物线解析式为y=-x?+4。（2）连接C E,C D,根据切线的性质得出C E L O D,再解R s C D E,得出/E DC=3 0。，然 后R
42、MC DO,得出O C=,则 k=OC=述。3 3设抛物线y=-x、4 向右平移k 个单位后的解析式是y=-(x-k)2+4,它与y=-x、4 交于点P,先求出交点P 的坐标是(&,-k2+4),再利用待定系数法求出直线O D的解析式为y=-x,然后将点P 的坐标2 4 k代入y=4 x,即可求出k 的值。k1 7.已知抛物线y=ax?+bx+c,当 x=0时，有最小值为1 ；且在直线y=2上截得的线段长为4.(1)求此抛物线的解析式；(2)若 点 P 是抛物线的任意一点，记 点 P 到 X 轴的距离为由，点 P 与 点 F(0,2)的距离为c h 猜想%、d2的大小关系，并证明；(3)若直线
43、PF交此抛物线于另一点Q(异于P 点)。试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由。【答案】(1)求此抛物线的解析式：y=(2)猜想：d产”d“2.设 d 的坐标为(x,0.25X2+1)d =收+(0.25+1-2)2=|-x2+1|d尸 I 0.25X2+1 I;.d|=d2(3)以 PQ为直径的圆与x 轴相切设 Q 到 x 轴的距离为m,到 F 的距离为n,根 据(2)的结论，有 m=n,过 PQ的中点作x 的垂线，设其长度为h,1易得 h=-(m+d,),同时有 PQ=(n+d 2)=(m+d|),为h的2倍，故以P Q为直径的圆与x轴相切.【解析】(1)由x=0时，有最小值
44、为1得(0,1)点经过抛物线，由在直线y=2上截得的线段长为4得 出(2,2)、(-2,2)点经过抛物线，把这三点代入求出抛物线的解析式；(2)由勾股定理即可5=d 2；(3)由(2)的结论，找P Q的中点到x轴的距离与P Q的大小关系，容易证得两者相等；故以P Q为直径的圆与x轴相切.1 8.在平面直角坐标系中，直线y =-1 x+l交)轴于点8 ,交x轴于点A,抛物线y =+经(2)如图，横坐标为根的点M在直线B C上方的抛物线上，过点M作用E/y轴 交 直 线 于 点E,以ME为 直 径 的 圆 交 直 线 于 另 一 点 .当点E在x轴上时，求VDEM的周长；(3)将A 4 O B绕坐
45、标平面内的某一点按顺时针方向旋转9 0，得到MQ4,点A,0,8的对应点分别是4，。，片.若M a g的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点4的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为：y=-y x2+1x+l；64(2)A D E M的周长=不 ；3 31 7(3)点 A|(一,)或(-4 96 12言【解析】试题分析：(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;3(2)如 图1,A与E重合，根据直线y=-x+l求得与x轴交点坐标可得0A的长，由勾股定理得A B的4长，利用等角的三角函数得：s i n/ABO=9 ,co s Z ABO=-,则可得D E和DM的长，根据AB 5 AB 5M的横坐标代
46、入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得A D E M的周长：(3)由旋转可知：O|A|_ Lx轴，O|B|J _ y轴，设点A1的横坐标为x,则点日 的横坐标为x+l,所以点6,A,不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：如图2,当点Bi同时落在抛物线上时，根据点O i，Bi的纵坐标相等列方程可得结论；4如图3,当点A,Bi同时落在抛物线上时，根据点B,的纵坐标比点Ai的纵坐标 大 彳，列方程可得结论.3试题解析：(1).直线y=-：X-1交丫轴于点3,(0,1),41c=1 5=丁 抛 物 线 产-7；x=b x r经过点B和 点C (4,-2)./._ ,解得：4 ,2-8+46+
47、c=-2-c=11 ，抛物线的解析式为：3(2)如 图1,直线y=-x+l交x轴于点A,4,4 3 4 4 4当 y=0 时，-x+l=0,x=,/.A(,0),O A=,4 3 3 3t,5 OX 4 OB 3在 R t AO B 中，V O B=I,/.AB=-,.,.s i n Z ABO=一，co s Z ABO=一，3 AB 5 AB 5：M E x 轴，.,.Z D E M=Z ABO,以ME为直径的圆交直线B C于另一点D,/E D M=9 0,34.D E=M E co s Z D E M=-M E,D M=M E s i n Z D E M=-M E,55当点E在x轴上时,4
48、E和A重合，则m=O A=一，3,4当 x:一时，y=-315 41 61 6，M E=,94(-3x)-H x H=;24 3 93 1 6 1 6A D E=-x=5 9 1 54 1 6 6 4D M=x=5 9 4 5AJW1 6 6 4 1 6.AD E M 的周长=D E+D M+M E=一+十 1 5 4 5 96 41 5(3)由旋转可知:O】A】l x轴，O】B山 轴,设 点A】的横坐标为x,则 点B】的横坐标为xX,；OAJ_x 轴，.点0】，A】不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况:如图2,当 点0，B)同时落在抛物线上时，点0】，B】的纵坐标相等，1 5 1 5二 X
49、2 x-l=-(x-1)-(x-1)-132 4 2 43解得：x=-,43 31此时点A的 坐 标 为，获)，4 96如图3,当 点A”B1同时落在抛物线上时，点B】的纵坐标比点小的纵坐标大?，31 5 4 1 5 x:-x-1 =一一(x-1)，一二(x-1)-1,2 4 3 2 4解得：x=-,1考点：二次函数综合题.1 9.如图，抛物线y=f+2 x 3 与 x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于C 点.(2)设直线y=x+3 与 y 轴的交点是D,在线段A D 上任意取一点E(不与A、D 重合)，经过A、B、E三点的圆交直线A C 于点F,试判断ABEF的形状，并说明理由.【答案】(
50、1)(-1,-4)；(2)等腰直角三角形.【解析】试题分析：(1)将抛物线的解析式的一般式转化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标.(2)连 接 BE、BF、E F 得到A B E F,由抛物线y=d+2%3 可以得出A(-3,0),C(0,3),由直线y=x+3与 y 轴的交点是D 可以求出D(0,3),可以求出NEAB=NFAB=45。，根据圆周角定理可以求得/EAB=ZEFB=ZFAB=ZFEB=45,从而得出结论.试题解析：3).丁=1+2下3,.顶点坐标是(-1,-4);(2)ABE F是等腰直角三角形.连接BE、BF、E F得到ABE F.y =1 +2x-3与x轴交于A、B两点,.