中考数学压轴09 二次函数与矩形正方形存在型问题（教师版）.pdf

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1、突破中考翻学压轴方军霸秘黄大揭秘QO19版)题0 9:次函数。矩形IE方形存在型问题【典例分析】例 1|如图，抛物线顶点P(1,4),与 y 轴交于点C(0,3),与 x 轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q 是抛物线上除点P外一点，ABCQ与ABCP的面积相等，求点Q 的坐标.(3)若 M,N 为抛物线上两个动点，分别过点M,N 作直线BC的垂线段，垂足分别为D,E.是否存在点 M,N 使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由.思路点拨(1)设出抛物线顶点坐标，把 C 坐标代入求出即可；(2)由ABCQ与ABC尸的面积相等，得到P。与 B

2、C平行，过尸作作尸Q8 C,交抛物线于点。，如 图 1所示；设 G(l,2),可得P G=G H=2,过，作直线。2 0B C,交 x 轴于点H,分别求出。的坐标即可；(3)存在点M,N 使 四 边 形 为 正 方 形，如图2 所示，过 用 作 M尸y 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N作 NHy 轴，则有与%：，都为等腰直角三角形，设y/),N(X2,y z),设直线MN解析式为y=-x+，与二次函数解析式联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数关系表示出N产，由AMNF为等腰直角三角形，得到MM=2N产，若四边形MNE。为正方形，得到求出。的值，进而确定出 M N的长，即为正

3、方形边长.满分解答(1)设 y=a(x-I)2+4(a#0),把 C(0,3)代入抛物线解析式得：a+4=3,即 a=-1,则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3；(2)由 B(3,0),C(0,3),得到直线BC解析式为y=-x+3,VSAOBC=SAQBC,，PQBC,过P作PQ BC,交抛物线于点Q,如 图1所示。,V P (1,4),.直 线P Q解析式为产-x-5,联立得:y=-x+5,y=-x2+2 x+3俱或信解得:即 Q (2,3以设 G (1,2),；.P G=G H=2,过H作直线Q;Q；B C,交x轴于点H,则直线Q i Q；解析式为y-x-1,y=-x

4、+l联立得：2 ，_y=-x+2x+3_ 3+近7 X=n-X=Z-解得:一”或小行，2|尸,c /W n-1+V 1 7.c，3+J 1 7 -1-7 1 7.Q二、Q i(,)；(3)存在点M,N使四边形MNED为正方形,如图2所示，过M作MFy轴，过N作NFx轴，过N作NH y轴，则有AMNF与ANEH都为等腰直角三角形,设 M(xi,yi),N(X2,y 2),设直线 MN 解析式为 y=-x+b,联立得:尸一 x+by=-x2+2x+3消去 y 得：x：-3x-b-3=0.NF:=Xi-x：2=(xi-x：)：-4xX：=21-4b,VAM NF为等腰直角三角形，.MN-2NFM2-

5、8b,NH;(b-3)-NF:=y(b-3)若四边形MNED为正方形，则 有NE：=ZN=,.42-8b=-(b-6b-9),整理得：1-101)-75=0,解得：b=T 5或b=5,;正方形边长为N=j42-8b,.*.MN=9V2V2.例2如图，已知抛物线y=o%2+加与%轴分别交于原点。和点F(10,0),与对称轴 交于点E(5,5).矩形4BCD的边4B在%轴正半轴上，且4B=1,边4D,BC与抛物线分别交于点M,N.当矩形4BC朋久轴正方向平移，点M,N位于对称轴1的同侧时，连接M N,此时，四边形4BNM的面积记为S；点M,N位于对称轴/的两侧时，连接E M,E N,此时五边形4B

6、NEM的面积记为S.将点4与点。重合的位置作为矩形4BCD平移的起点，设矩形4BCD平移的长度为t(0WtW5).(1)求出这条抛物线的表达式；(2)当t=0时，求SAOBN的值;(3)当矩形4BCD沿着久轴的正方向平移时，求S关于t(0wtw5)的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？思路点拨（1）根据点E、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;（2）找出当t=0时，点 B、N 的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公式可求出SAOBN的值；（3）分 0 4 和 4区5 两种情况考虑：当 0 t 时（图 1）,找出点A、B、M、N 的坐标，进而可

7、得出 AM、BN 的长度，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出 S 的最大值；当4 5 时，找出点A、B、M、N 的坐标，进而可得出AM、B N 的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值.将中的S 的最大值进行比较，即可得出结论.满分解答(1)将 E(5,5)、F(10,0)代入 y=ax?+bx,100a+lo rf o ）解得:a,.抛物线的表达式为y=x2+2x.5,9（2）当仁0 时，点 B 的坐标为（1,0）,点 N 的坐标为（1,-）,C LT 八 9*SA

8、OBN=/NOB=mj.(3)当O V t 时(图 1),点 A 的坐标为(3 0),点 B 的坐标为(t+1,0),.点 M 的坐标为(t,-#+2 t),点 N 的坐标为(t+1,(t+1)2+2(t+D),11AAM=-2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),5 5A S=|(AM+BN)AB=；xlx-%2+2t_；(t+1)2+2(t+1),1,9 9=-t2+-t+,1V-0,54 9.当t=4 时，S取最大值，最大值为正；当 4 5时（图 2）,点 A的坐标为（t,0）,点 B的坐标为（t+1,0）,图2.点M 的坐标为(t,-*2 t)，点 N的坐标为(I,q(1 尸+2

9、(t-D),.，.A M=*2 t,B N=-;(t-1)-2(t-1),.,.S=1(；t)(-22t+5)-1(t-4)5 尚(t-1)二2(t-1),=4(h3-3 t-5 t-25)上4 5 A a 5 5 5-0，当 t=4 时，s取最大值，最大值为常.Z 4 U4 9 19 6 19 9、:=-V-，10 4 0 4 09 19 9 .当t f 时，S有最大值，最大值是大.2 4 0例 3如图，抛物线W:y =+法一7的顶点为（3,2）.（1）求抛物线W 的函数表达式.（2）若抛物线形W与W 关于x轴对称，求抛物线W的函数表达式.（3）在（2）的基础上，设W 上的点M、N 始终与W

10、 上的点M、N 分别关于x轴对称，是否存在点M、N（M、N 分别位于抛物线对称轴两侧，且 M 在 N 的左侧），使四边形MMNN为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.思路点拨（1）根据顶点坐标，求 出 的 值，求抛物线 卬 的 函数表达式.（2）抛物线W 与W关于x轴对称，求出抛物线W 的顶点坐标和二次项系数，即可求得函数表达式.（3）根据正方形的边长相等，M N=M M =2yM.列出方程，求解即可.满分解答（1）抛物线卬：=公2+&一7的顶点为（3,2）.-=3（2a,4ax24a。=-1解得：7Ub=6,y （x 3）2 J +6x_7.（2）若抛物线W的顶点坐标为（3,

11、2）.a=-.若抛物线W 与卬关于x轴对称，抛物线W 的顶点坐标为：（3,-2）.a=L抛物线W 的函数表达式为：y=（x+3）2=x 一 6x+7.(3)存在.如图，要使四边形MNNM是正方形,MM/MV/y轴，则要MN/X轴，旦 MN=M =2M|.设 A/+6 a-7),(/3),.抛物线的对称轴为：直线x=3，:.由抛物线的对称性可知MN=2(3-m),:.2(3 zn)=2卜加2 +6m-7|.当 3-?=-w*+6w-7，解得：叼=2,(%=5舍去)，此时河(2)，当 1切3时,3-w=-(-w:+6w-7),解得：叱=1,(住=4舍去)，此时财(12),综上，存在这样的点M(21

12、)或(L 2).例 4 如图，正方形ABCD的顶点A、B 分别在y 轴和x 轴上，且 A 点的坐标为(0,1),正方形的边长为力.(1)直接写出D、C 两点的坐标；(2)求经过A、D、C 三点的抛物线的关系式；(3)若正方形以每秒在个单位长度的速度匀速沿射线下滑，直至顶点。落在X轴上时停止.设正方形落在x 轴下方部分的面积为S,求 S 关于滑行时间，的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点。落在x 轴上时，求 抛 物 线 上 两 点 间 的 抛物线弧所扫过的面积.思路点拨(1)可先根据A B 所在直线的解析式求出A,B 两点的坐标，即可

13、得出OA、O B的 长.过 D 作 DM_Ly轴于 M,则AADM丝B A O,由此可得出MD、M A 的长，也就能求出D 的坐标，同理可求出C 的坐标；(2)可根据A、C、D 三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；(3)要分三种情况进行讨论：当 F 点在A，B，之间时，即当OVtWl时，此时S 为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB，的长，即可求出B，F 的长，然后根 据/G FB，的正切值求出B，G 的长，即可得出关于S、t 的函数关系式.当 A，在 x 轴下方，但 C 在 x 轴上方或x 轴上时，即 当 1乜2 时，S 为梯形A，G B H 的面积，可参照的方法求出A，G和

14、BH的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为A，B，即正方形的边长，可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式.当D，逐渐移动到x轴的过程中，即当2 3时，此时S为五边形ABCHG的面积，S=正方形A B C T T的面积-三角形G H D，的面积.可据此来列关于S,t的函数关系式；(4)C E扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形B C D A，的面积.可通过求矩形的面积来求出C E扫过的面积.满分解答(1)C(3,2),D(1,3)；(c =1,|a+b+c=3,19 a +3b+c=2.(2)设抛物线 为 产/+b x+c,抛物线过(0,1

15、)(3,2)(1,3),依题意得：廨得5a=6,b=6C =1.y =+抛物线的关系式是.5分O D(3)当点A运动到点x轴时，=1,当O V t W l时，如 图1,OA 1Z.OFA=Z.GFB,tanOFA=-OF 2GBl Gff 1tanZ-GFB=k 底二VB=当点C运动到x轴上时，t=2,当1 1,分别表示出M E=|-m2+2m -3|、M N=2 m-2,由四边形MNF E为正方形知ME=MN,据此列出方程，分类讨论求解可得m 的值，进而求出正方形的面积；(3)先利用待定系数法求出直线B C的解析式，设点M 的坐标为(t,t 2-2l-3),则 t V l,则点N(2-t,t

16、 2-2t-3),点 D (t,t-3),由 MD=MN列出方程，根据点M 的位置分类讨论求解可得.满分解答(1)把 A (-1,0),B(3,0)代入 y=a x2+b x-3,日 (c i -b 3=0得：(9(7 +36-3=0，解得份：黑故该抛物线解析式为：y=x2-2x-3；(2)由知,抛物线解析式为：y=y?-2x-3=分两种情况：当-m;-2m-3=2m -2 时，解得：m i=v 1 5、m尸-5(不符合题意，舍去),当 m=v 弓时，正方形的面积为(21 5 2):=24-81 5;当-1峭+20 1+3=2-2 m时，解得：1 1 1 3=2+/5,n i 4=2-&(不符

17、合题意，舍去),当 m=2+小时，证 方形的面积为 2(2+/)-22=24+8/；综上所述，正方形的面积为24+8/或 24-8依.(3)设 B C所在直线解析式为y=p x+q,把 点 B(3,0)、C (0,-3)代入表达式，,V牙,解 得：(二,.直线B C的函数表达式为y=x-3,设点M 的坐标为(t,t2-2t -3),其中t 点 B 坐 标 为(VI,-1),代入 Jv=ax(a 0)得3 a=-f,2 i.三，故 选B.【点 睛】本 题考查用待定系数法求函数解析式和勾股定理的运用，解题的关键是利用正方形的性质及相应的三角函数 得 到 点B的坐标.2.如 图，边 长 为1的 正

18、方 形ABCD顶 点A(0,I),B(1,1)；一抛 物 线y=ax?+bx+c过 点M(-1,0)且 顶 点 在 正 方 形ABCD内 部(包 括 在 正 方 形 的 边 上)，则a的 取 值 范 围 是()1A.-2a-1 B.-2a-C.-la-4 21D.-la ,=.故答案为24.如图，正方形4BCD的顶点4B与正方形EFGH的顶点G,“同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边4B与EF同时落在x轴上，若正方形4BCD的边长为4,则正方形EFGH的边长为【答案】2 5-2【解析】【分析】根据题意得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF=FG,进而求出.

19、【详解】.正方形ABCD边长为4,二顶点坐标为:（0,4）,B（2,0）,设抛物线解析式为：y=ax?+4,将B点代入得，（）=4a+4,解得a=-l,抛物线解析式为：y=-x2+4,设G点坐标为：（ni,-m2+4）,则 2m=-m2+4,整理的：m2+2m-40,解得：mi1+%/5,m21-/5（不合题意舍去），/.正方形EFGH的边长FG=2m=2g2.故答案是：2 62.【点 睛】考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，解题关键是运用正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式.5.如 图4,已知抛物线y=ax 2+bx+c(a 0)经 过 点A (2,0),B (6,0),

20、交y轴 于 点C,且 SAABC=16.(1)求 点C的坐标;(2)求抛物线的解析式及其对称轴;(3)若 正 方 形D E F G内接于抛物线和x轴(边F G在x轴 上，点D,E分别在抛物线上),求S正 方 形D E F G 【解 析】1 6x+8,3其对称 轴 为 直 线x=4：(3)4【分 析】(1)由S s c=；x A B x O C求 出OC的长度,进 而 确 定C点坐标；(2)因为抛物线经过点A(2,0),B(6,0),故可以设二次函数的交点式，即y=a(x-2)(x -6),再 将C点坐标代入即可求得解析式，进一步得到对称轴；(3)设 正 方 形。E F G的 边 长 为 也 再

21、根据题中的条件列出正确的。、E坐 标，再 将E点坐标代入二次函数求出边长机，进一步求得 正 方 形。E F G的面积.【详 解】(1)(2,0),B(6,0),.AB=6-2=4.5A A B C =1 6,，0C=8,.点C的坐标为(0,8)；(2):抛物线 y=x 2+f e r+c(a 0)经过点 4 (2,0),B(6,0),二可设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-6),将 C (0,8)代入，得 8 =1 2“，解得=争2/.y=|(x -2)(x -6)=家-y x+8,故抛物线的解析式为丫=争2 -y.t+8,其对称轴为直线x=4；设正方形D E F G的边长为泪,则“。，.

22、正方形D E F G内接于抛物线和.V轴(边尸G在,v轴上，点D,E分别在抛物线上),.D-m),E(4 +!?,-7 ).将E (4 +昴-W)代入尸*-竽v+8,得-7 =；x +:一竽乂(4+；?)+8整理得，户+6m-1 60,解 得 期=2,叫=-8 (不合题意舍去)，二.正方形D E F G的边长为2,.S DEFG=22=4.【点睛】本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运用知识点，另外利用面积求出点C坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示。、的坐标是解答此题的关键.6.如 图1：矩形O A B C的顶点A、B在抛物线+6 X

23、-3上，O C在X轴上，且04 =3,0。=2.(1)求抛物线的解析式及抛物线的对称轴.(2)如图2,边长为a的正方形A B C D的边CD在x轴上，A、B两点在抛物线上，请用含a的代数式表示点B的坐标，并求出正方形边长a的值.【答案】(1)y =x*2 x 3 ,对称轴：x =；=1,(2)F(a+1,-a),a=2亚-2.【解析】试题分析：（I）根据矩形的性质，可得出点B的坐标，将 点B的坐标代入抛物线y=x 2+bx-3可得出b的值,继而得出抛物线的解析式及抛物线的对称轴；（2）由（1）中求得的解析式，可得出对称轴，从而可得O M=1,C M=；a,B C=a,得出点B的坐标后代入抛物线

24、解析式，可得a的值.试题解析：3）.,四边形O A B C 是矩形，0A=3,0C=2,B在第四象限,点 B的坐标为（2,-3）,把 B 点代入产x bx-3,得 2:-2 b-3=-3,解得：b=-2,.y x J2 x-3,对称轴：X=-j l,即直线：X=1 .（2）由（1）得 O M=1,1由抛物线的对称性，可得：C M=-a,又B C=a,1点B的坐标为（-a+1,-a）,把 B 点代入函数得：（g a+1）2-2 （；a+l）-3=-a,解得：ai=-2声2 Vo （舍去），32=2 5-2,故边长a=2依-2.1 _综上可得点B的坐标为（漫+1,-a）,正方形边长a=2/-2.考

25、点：二次函数综合题.7.如图，正方形O A B C的边长为4,对角线相交于点P,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线L经过0、P、A三点，点 E是正方形内的抛物线上的动点.(1)点 P 的坐标为(2)求抛物线L的解析式.(3)求A O A E 与AOCE的面积之和的最大值.1 ,【答案】(1)(2,2);(2)y=-x2+2 x；(3)9.【解析】试题分析：(1)根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点。、P、A三点的坐标；(2)设抛物线L的解析式为 =以 2+区+心结合点。、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(3)由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点的坐标，结合

26、三角形的面积公式找出SQAE+SOCE关于加的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论.试题解析：为正方形，且边长为4,对角线相交于点P,二点。的坐标为(0,0)：点B的坐标为(4,4),点 尸 为。&的 中 点，.点P的坐标为(2,2).故答案为：(2.2).(2)设抛物线L的解析式为y=a?+陵+心抛物线L经 过。、P、4三点，C 10=c a=2；0=16Q+4Z?+C 解得：.c b-22=4。+2。+c,八c =0,1 9.抛物线L的解析式为y=+2工(3)点E是正方形内的抛物线上的动点，.设点 E 的坐标为卜”，-g+2/7 2 j(0 m 4),J J 2S+S OCE OA,

27、丁 +OC，E+4m+2/n (/3)+9,，当,=3时，OA E与OC E面积之和最大，最大值为9.8.如 图1,在直角坐标系中，已知点A (0,2)、点B(-2,0),过点B和线段O A的中点C作直线B C,以线段B C为边向上作正方形BC D E.(1)填空：点D的坐标为(),点E的坐标为().(2)若抛物线丫=2*2+6*+8 2#()经过人、D、E三点，求该抛物线的解析式(3)若正方形和抛物线均以每秒正个单位长度的速度沿射线B C同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t (秒)的函数关

28、系式,并写出相应自变量t的取值范围.运动停止时，求抛物线的顶点坐标图1用2(备用图)图3(备用图)【答案】解：(1)D (-1,3),E (-3,2)。(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则1a=c =2 2-a-b+c =3,解得-b=-1o9 a-3b+c =2.c =2.抛物线的解析式为y=-1 x 20-13x +2(3)求出端点的时间：当点D运动到y轴上时，如 图1,DDI=|DC=1BC=,当点B运动到y轴上时，如图2,BBi=BC=V5.当点E运动到y轴上时,如图2,E E i=E D +DE k坞+3t=O2当0/5t.ASACCT=-CC-TC-75 tx

29、 2/5 t=5 t2o2 2当V tW l时，如图5,正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CCD，G的面积，设D，E，交y轴于点G,过 G 作 GH_LB，C于 H。V G H=BC=后，A C H=-G H=。2 2V C Cr=V 5 t-o27.s,i。梯形CCD，G-3+石t-V5=5t-43当IV t S,时，如图6,正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B，C D，MN的面积，设D，E E，B，分别交y轴于点M、N o图6.8=后，BC=57 5 o .,.B N-2C B,-2-x/5 t-2在。；B E，=后,.ErN=BE BN=3#-2#t。.E M=；E N=；3有-2

30、#t)o SA W X E=-2 4 t)；|34-2召t|=5 t?-15 t-。4 5、=，25S三 边形 BfD,MN=S 正方形 BCDE SqiXE 5t*-1 5t=-5 t 1 5 t-o综上所述，S与x的函数关系式为:u 5(1 八s 5t t41412u 2 25 3-5 f +15t-1 t-4 I 2 J当点E 运动到点E 时，运动停止，如图7 所示。VZCB,E,=ZBOC=90,NBCO二 NBCE,B O C s/E B C。:、OB BCBT7-EC二 OB=2,BrE,=BC=5/5，r=oA/5 ErC：.CE=-O25 7 7 OE=OC+CE=l+=。：.

31、Ef（0,一）。2 2 27 3山点E（3,2）运动到点日（0,小），可知整条抛物线向右平移了 3 个单位，向上平移/士 个单位。2 21 Q 1 a nc Q oc.y=-x 2-2 x +2=-!（X+2）2+3,.原抛物线顶点坐标为（-三，三）2 2 2 2 8 2 83 37 运动停止时，抛物线的顶点坐标为（二，二）。2 8【解析】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点 E 的坐标:由题意可知：0B=2,OC=1 o如图8 所示，

32、过 D 点作DH_Ly轴于H,过 E 点作EG_Lx轴于G。图8易证ACDH岭 由 。，；.DH=OC=1,CH=OB=2,AD(-1,3)。同理AEBG丝BCO,；.BG=OC=I,EG=OB=2,；.E(-3,2)。AD(-1,3)、E(-3,2)。(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式。(3)为求s 的表达式，需要识别正方形(与抛物线)的运动过程.正方形的平移，从开始到结束，总共历 时 秒，期间可以划分成三个阶段：0 乜上，-t l,l t m：=l-v,Tl（舍），p的横坐标为i-v n,当F 在 y 轴上时，如图3,过 P 作 PM，x 轴于M,同理得：ZkPMB0 BOF,/.0B

33、=PM=6,1即-m2+2m+6=6,rm=O（舍），m2=4,P 的横坐标为4,当 F 在 y 轴上时，如图4,此时P 与 C 重合，此时P的横坐标为0,综上所述，点P的横坐标为l+g 或4或0.【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形和全等三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在(3)中确定出P的位置是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.。如 图,已 知 直 线 一 夫+1交坐标轴于43两点，以 线 段 功 为 边 向 上 作 正 方 形 海

34、。，过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E.(1)请 直 接 写 出 点 的 坐 标；(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒有个单位长度的速度沿射线,1 5下滑，直至顶点。落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为s，求S关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量r的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求 抛 物 线 上 两 点 间 的 抛 物 线 弧 所 扫 过的面积.、1 7【答案】(1)C(3,2).D(L 3)(2)x +1.(3)当O c 4 1时，S G=鼻F B YGB二 x底 x 冬=产当 1 /K 2时，S=二 一2 45

35、,L 24 L L当2 r S 3时，s=厂 H t(4)5 x 3-/5 =1 54 2 4【解析】(1)C(3,2):D(L 3),.2 分(2)设抛物线为j =a/+5 x +c,抛物线过(0)3,3),口+解得博.I 分*9a 4-3 6 4-c=2.(c=L1分6 6（3）当点A运动到点F时，t=L当0 f l时，如 图1.1 1 丙 V,SB 6=-F B xGB =-X、氏 X*=二户;x 2 2 2 42分当点C运动到X轴上时，r =2.当1C 42时,如 图2,AoAf图2XSV B，H=县21 S梯形4BHG=2(G +BH)x AB1 便t-M=5(2+5 5t 2 4（

36、2分）当点D运动到x轴上时，r =3.当2 r S 3时，如图3,GD=#23在-6SMOF=(x lx 2 =L OA=1,AAOFSAGDHS、GDH，G D 2S 五地形 G 4FCH =（而）2一5 t 2+15t-（2分）4 24（4）：t=3，BB=AA=3/5.二S阴影=S矩形BB，C，C=S矩形44DD.（1分）=AD AA=75x3/5=15.（1 分）1 1.如图，抛物线y=ax 2+bx （a#0）过点E（1 0,0）,矩形A B C D的边A B在线段O E上（点A在点B的左边），点C,D在抛物线上.设A （t,0）,当t=2时，A D=4.（1）求抛物线的函数表达式.

37、（2）当t为何值时，矩形A B C D的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形A B C D不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线WH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.1 5 41【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=-/2+x；（2）当匚1时，矩形A B C D的周长有最大值，最大值为亏;4 N Z(3)抛物线向右平移的距离是4 个单位.【解析】分析：(1)由点E 的坐标设抛物线的交点式，再把点D 的 坐 标(2,4)代入计算可得；(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,据此知AB=10-2t,再 由 x=t时 AD=：2+，根据矩形的周长

38、公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；(3)由 t=2得出点A、B、C、D 及对角线交点P 的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P,根据ABCD知线段0 D 平移后得到的线段是G H,由线段0 D 的中点Q 平移后的对应点是P 知 PQ是AOBD中位线，据此可得.详解：(1)设抛物线解析式为y=ax(x-10),.当 t=2 时，AD=4,二点D 的坐标为(2,4),二将点D 坐标代入解析式得-16a=4,解得：a=-j,抛物线的函数表达式为(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,.AB=10-2t,当 x=t 时,AD=-i2+-t,4 2J 矩形ABCD的周长=2(AB+AD

39、),、1,5=2(10-2t)+(-t2+-t)4 2=-t2+t+2021、c 41(t-1)2+-2 21V 0,241 .当t=l时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为彳；(3)如图,当 t=2 时，点 A、B、C、D 的坐标分别为（2,0）、（8,0）、（8,4）、（2,4）,矩 形ABCD对角线的交点P的坐标为（5,2）,当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4,4）,此 时GH不能将矩形面积平分,当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6,0）,此 时GH也不能将矩形面积平分；.当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直 线GH不可能将矩形的面积平分，当 点G、H分别落在线段A

40、B、DC上时，直 线GH过 点P必平分矩形ABCD的面积，.,AB/CD,.线 段OD平移后得到的线段GH,线 段OD的中点Q平移后的对应点是P,在AOBD中，PQ是中位线，/.PQ=|OB=4,所以抛物线向右平移的距离是4个单位.点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点.1 2.如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1）,将此矩形绕点O逆时针旋转90。得矩形D E FO,抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）将矩形DEFO向右平移，当点E的对

41、应点E，在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.（3）若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d的值.备用图【答案】(I)y=-x2+|x +/；(2)平行四边形DD，F，F 的面积为学；(3)平移的距离d=?或得.【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法即可解决问题.(2)由平移可知DF扫过的面积为平行四边形DD，F，F 的面积.根据点E 向右平移后的对应点E，在抛物线上,可得E，的坐标，从而求出平移的距离FF即可求出面积。(3)求出抛物线顶点坐标，点 B 坐标，即可解决问题.【详解】由题意可知，点 E 的坐标为(-1,2).把(2,1),(-1,2)分别代入

42、y=-+以+c，fb=2可得 T/Mt Uj，解得1YC=一32 11.此抛物线的解析式为y=-f y+了如图，由平移可知D F扫过的面积为平行四边形DD，F，F 的面积.当点E 向右平移后的对应点E，在抛物线上时，2 11 5有y=2,则-+9 +2 =2,解得。=-1,%2=/.E,(|,2),5 8FF=1+-=2=x2+：x+/=(X.)+拳.抛物线的顶点坐标为然),/B(2,1),，平移的距离d=*-i=?【点睛】本题考查二次函数与几何变换，矩形的性质旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.1 3.如 图1,平面直角坐标系x Oy中，点。(一

43、4：0),OC=8,若抛物线丁=平移后经过C,D两点，得到图1中的抛物线W.(1)求抛物线W的表达式及抛物线W与x轴另一个交点4的坐标；(2)如图2,以OA,O C为边作矩形O A B C,连结O B,若矩形O A B C从O点出发沿射线OB方向匀速运动，速度为每秒1个单位得到矩形O 4 B C ,求当点。落在抛物线W上时矩形。的运动时间；2(3)在(2)的条件下，如图3,矩形从O点出发的同时，点P从4出 发 沿 矩 形 的 边B C 以每秒？个单位的速度匀速运动，当点P到达C 时，矩形和点P同时停止运动，设运动时间为困.请用含t的代数式表示点P的坐标；已知：点P在边4 B 上运动时所经过的路

44、径是一条线段，求点P在边4 B 上运动多少秒时，点D到C P的距离最大.图1图2 2 2 0 3 6【答案】（1）y=-x-8,6,0）；（2）；当0 4 Y 2 0 时,P（6+-t,-t）,当2 0 V tM 35时,P（|t+1 4,-8-i）；学【解析】试题分析：（1）先得到C 的坐标，再把D、C 的坐标代入平移后的解析式即可，令 y=0,可以得到和x 轴的另一交点的坐标；（2）经过t 秒后，点。的坐标为：（%,-%）,将。代入y=%2 _%-8,即可求出。落在抛物线W上的时间；5 5 3 3（3）设P（x,y）,分两种情况讨论：当0WCW20时，即点P在4B边上，（II）当20 t

45、W 35时，即点P在BC边 上（不包含B点），当点P在AB运动时，0 t 2 0,可以求出点P所经过的路径所在函数解析式，还可以求出直线DC解析式为：y=-2 x-8,得至UDCA P,从而有ADCP面积为定值.当CP取得最小值时，点 D 到 CP的距离最大,即当CP_LAP时，CP取得最小值.1 2试题解析：（1）依题意得：0（7,0）,C（0,-8）,.抛物线W的解析式为：y=c2-x-Q,另一交点为（6,0）；依 题 意：在运动过程中，经 过 t 秒后，点。的坐标为：点,-%）,将。代入、=9 _ 与-8,舍去负值5 5 3 320 20得：t=,经过与秒0落在抛物线w 上；(I)当0

46、W t W 2 0时，即点 P 在4 B 边上，A P=1 t,4(6+%,-%),，x =6+:,y=-|t；2 34 1(I I)当2 0 t W 3 5时，即点 P 在B C边上(不包含B 点)，B P=-t-8,B (6+-t,-8-？t),.x =-t+1 4,综上所述：.当0WW20 时，P(6+,-/),当 2 0 t W 3 5 时，P(g t +1 4,-8 -*),当点P在AB运动时，0 M t V 2 0,点 P 所经过的路径所在函数解析式为：y=2x+1 2,又二.直线DC解析式为：)，=-2 戈 一 8,.D C A P,.DCP面积为定值.二.CP取得最小值时，点

47、D 到 B的距离最大,如图，当 C P1A P时，CP取得最小值，过 点 P 作 P tL y 轴于点M,.NPMC=90。，.砥 6+，一 为，CM=8-1 t,PM=6+：t,/Z DCO-Z PCM=903,Z CPM-Z PCM=90,/.P M =zJ)CO,：.tan4cpM=tanrDCO=，在 RtAPMC 中，ZPMC=905,：.PM=2CM,：.t=检蛤：0-20,4 3 31 4.如图，将矩形OA BC置于平面直角坐标系x O y中，A (2 8，0),C (0,2).(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,求该抛物线的解析式；(2)将矩形OABC绕原点顺时针旋转

48、一个角度a(0。019()。)，在旋转过程中，当矩形的顶点落在(1)中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标：(3)如 图(2),将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度0(00/3x+2.(2)A(6，-3).C(6，1)(3)120,4.【解析】试题分析：(1)首先根据矩形的性质以及A、C 点的坐标确定点B 的坐标，再利用待定系数法确定该抛物线的解析式.(2)设抛物线的对称轴与x 轴的交点为D,若矩形的顶点 恰好落在抛物线对称轴上时，该顶点、0、D 正好构成一个直角三角形，由勾股定理即可确定这个顶点的坐标.(3)观察图示可知：当点E 运动到y 轴负半轴上时，CE最长，找出了这个关键位置，

49、解答问题就简单多了.试题解析：(1).矩形 OABC,A(2 6，0),C(0,2),；.B(，2).抛物线的对称轴为x=J L .=2 6.二次函数的解析式为：y=-x2+2gx+2.(2)当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A，连接OAT设对称轴*=由 与 x 轴交于点D,.O D=JL：.0 A 9 A=2&.在 R S O A D 中，根据勾股定理A，D=3.AA（V 3，-3）.当顶点落C 对称轴上时（如图），设点C 的对应点为点C，连接OC,在 R tO CD 中，根据勾股定理C，D=1.C（5 1）.（3）如图，设 AC、O B的交点为E；在 Rt/kOAB 中，0 八

50、=2 6，AB=2,A ZBOA=30,OE=AB=2；在 O E旋转过程中，可将点E 的轨迹看作是以O 为圆心，以O E为半径的圆（旋转角度：0。180。）；由图可看出，当点E 运动到y 轴负半轴上时（即点日的位置），C E最长；此时，旋转的角度：ZEOE=ZBOA+90=30+90=120；CE 的最长值：CE,=OC+OE,=2+2=4；考点：二次函数综合题.1 5.如图，矩形的边O A 在 x 轴上，边 O C在 y 轴上，点 B 的坐标为（10,8）,沿直线O D 折叠矩形，使点 A 正好落在BC上的E 处，E 点坐标为（6,8）,抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E 三点.X(