《2023年中考数学压轴题22二次函数与新定义综合问题（教师版含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学压轴题22二次函数与新定义综合问题（教师版含解析）.pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专 题 2 2 二 次 函 数 与 新 定 义 综 合 问 题典例剖析.X _【例 1】(2022湘西州)定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线Ci：y=/+2 x-3 与抛物线C2：y=ax1+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线Ci和抛物线C2与 x 轴有着相同的交点A(-3,0)、B(点 B 在点A 右侧)，与)，轴的交点分别为G、H(0,-1).(1)求抛物线C2的解析式和点G 的坐标.(2)点 M 是 x 轴下方抛物线。上的点，过点“作轴于点M交抛物线C
2、2于点D,求线段/WN与线段0 M 的长度的比值.(3)如图，点 E 是点“关于抛物线对称轴的对称点，连接E G,在 x 轴上是否存在点F,使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将 A(-3,0)、(0,-1)代入y=/+2 o r+c 中，即可求函数的解析式;(2)设 M(f,?+2/-3),则 D Ct,l.A-？-r-1),N(n 0),分别求出 MN,D M,再3 3求比值即可；(3)先求出E(-2,-1),设 尸(x,0),分两种情况讨论：当EG=EF时，2我=V(X+2)2+1，可得F(V 7-2,0)或(-4-2,0)；
3、当 E G=F G 时，2&=叱2,“点不存在.【解答】解：(1)将 A(-3,0)、(0,-1)代入=/+2 以+。中，.(9a-6a+c=0I c=_l_1解得,:7,c=-l二丫=工7+4-1,3 3在y=/+2 x-3 中，令x=0,贝U y=-3,：.G(0,-3)；(2)设 W(/,r+2 z-3),贝I。(/,工+2/-1),N(/,0),3 3：.N M=-r -2 r+3,DM=-r+-t-1 -(?+2 z-3)=-A/+2,3 3 3 3.M N =(t2+2 t-3)_ 3；D H-4(t2+2 t-3)2o(3)存在点尸，使得 E F G是以E G为腰的等腰三角形，理
4、由如下：由(1)可得y=/+2 x-3的对称轴为直线x=-,点与H点关于对称轴x=-1时称，：.E(-2,-I),设 F (x,0),当E G=E F时,:G(0,-3),:.E G=2 近,2 近=V(X+2)2+1 解得x=B-2或x=-夜-2,：.F(V7 -2,0)或(-W-2,0)；当 E G=F G 时，2&=+x 2,此时x无实数根；综上所述：F点坐标为(-2,0)或(-4-2,0).【例2】(2 0 2 2南通)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于(2 0)的点叫做这个函数图象的“阶方点”.例如，点(工，工)是函数y=x图象的“工阶方点”；点(2,3 3 21)是函数y=2
5、图象的“2阶方点”.X(1)在 (-2,-*)；(-1，-1);(1,1)三点中，是 反 比 例 函 数 图 象的“1阶方点”的有 (填序号)；(2)若y关于x的一次函数y=x-3 a+l图象的“2阶方点”有且只有一个，求“的值；(3)若y关于x的二次函数y=-(x-)2-2+1图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围.【分析】(1)根据定义进行判断即可；(2)在 以0为中心，边长为4的正方形A 8 C。中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；(3)在以。为中心，边长为2的正方形A 8 C。中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数
6、y=-(x-)2-2+1图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可.【解答】解：(1)(-2,-1)到两坐标轴的距离分别是2 1,1 0 时，A(n,n),B(n -n),C(-n,-n),D -n,)，当抛物线经过点时，n-1 (舍)或=工；4当抛物线经过点8时.，=1：.工时，二次函数y=-(x-)2-2+1 图象有“阶方点”；综上所述：时，二次函数y=-(x-n)2-2 n+l 图象的“阶方点”一定存在.【例 3】(2 02 2 春芙蓉区校级期末)在)，关于x 的函数中，对于实数a,b,当 a W x W b 且匕=a+3 时，函数y 有最大值加如，最小值y,而”设力=%3-加“，则
7、称为y 的“极差函数”(此函数为h关于a的函数)：特别的，当hyma x-y,nin为一个常数(与a无关)时，称 y 有“极差常函数”.(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应()内 画“J”，如果不是，请在对应()内 画“X”.y=2 x(V)；尸-2 x+2 (4)；y=/(X ).(2)y关于x 的一次函数y=px+q,它与两坐标轴围成的面积为1,且它有“极差常函数”h=3,求一次函数解析式；若二当a W x W。(匕=。+3)时，写 出 函 数 尸 苏-法+4的“极差函数”；并求4 皿 的取值范围.【分析】(1)由一次函数的性质可知6=2(+3)-2 4=6,则y=2
8、x是“极差常函数”；由一次函数的性质可知h=-2+2 -2 (4+3)+2 =6,则y=-2 x+2是“极差常函数”；由二次函数的性质可知，当“+3 W 0时-，h=-9-6 a不是常数，则y=?不 是“极差常函数”,2(2)根据一次函数的图象及性质可得 转 丁=2,再分两种情况讨论：当p 0时，h=pIP I(a+3)+q-(pa+q)=3；当 p0,可知 q+3 到对称轴2 2 2a 2 2a a的距离大于。到对称轴的距离，则当x=a+3时，y有最大值。(a+3)2 一 (a+3)2+4,当x=_ L时，y有最小值4 -卫1=4 -仁+3)2,求出力，再由。的范围确定4a h的范围2a 4
9、a 4a即可.【解答】解：(1)y=2 x是一次函数，且y随x值的增大而增大，.h=2(a+3)-2 a=6,.y=2 x是“极差常函数”，故答案为：V；.？=-2 x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，：.h=-2 a+2 -2 (a+3)+2 =6,.y=-2 r+2是“极差常函数”，故答案为：V；.4=是二次函数，函数的对称轴为直线x=0,当 a+3 W 0 时，/?=/-(+3)2=-9 -6 a；当时，h(a+3)2 -“2=9+6。；.)，=/不 是“极差常函数”，故答案为：X；(2)当元=0 时，y=q,函数与y轴的交点为(0,q),当 y=0 时，x=-9,D，函数与X轴的
10、交点为(-9,0),P.S=Ax|X|-&|=1,2p2当 p0 时，h=p(。+3)+夕-(po+q)=3,p=】，二夕=&，.函数的解析式为y=x&；当 p V0 时，h=pa+q-p(+3)+夕=3,:p=-1，.“=企，函数的解析式为y=-x V2：综上所述：函数的解析式为丫=工料 或)，=-x J 5；(3)y=ax2-bx+4a(x-)2+4-,2a 4a，函数的对称轴为直线x=旦，2a=4+3,A、一 -a+3-_-1 _-3-,2a 2 2av z W l la2 2a 2 2a a/32&4万，2+2-g 0,a，a+3到对称轴的距离，大于a 到对称轴的距离，当 x=+3 时
11、，y 有最大值(+3)2-(+3)2+%当x=a 时，y 有最小值4-月 _=4-乌也;2a 4a 4a：.h=a（+3）2-（a+3）2+4-4+（a+3）2=（a+3）2（a_ 1+_L_）,4a 4a：.4ah=（2a2+5a-3）2,：2a1+5a-3=2（a+回）2-二4 3,4 8 2 2.3+3G W2J+5-3W9,2.娱 生 U亘 W4MW8 L2【例 4】（2022武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xO.y中，对于一个动点尸（x,y）,若 x,y 都可以用同一个字母表示，那么点尸的运动路径是确定的.若根据点P 坐标求出点P 运动路径所对应的关系式是函数，则称
12、由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”.例如，将点M+1，-机+1）（机为任意实数）“去隐”的方法如下：TSC xm+1,y -m+l（2）由得 i=x-1将代入得y=-（x-1）+1,整理得y=-x+2则直线y=-x+2是点M 的运动路径.【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点。（-。，-t J-a+s）（”为任意实数）的运动路径是抛物线.（1）请将点。“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与 x 轴交于点A,B（A 在 8的左侧），其顶点为点 C,现将卬进行平移，平移后的抛物线卬始终过点A,点 C 的对应点为C.i）试确定点C运动路径所对应的函数表
13、达式；i i）在直线x=-2 的左侧，是否存在点C,使ACC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)设 x=-a,y=-a2-a+3,可得y=-工，+x+3；4 4(2)i )设抛物线 W的解析式为 y=-(J C-h)2+k,由 k=C2+h)2,可得 y=1(x+2)4 4 42i i )C(2,4)在 产(x+2)2上，则C点关于直线x=-2的对称点为C (-6,4),4此时 4 c=A C,A C C 为等腰三角形；设 C(，*，im2+w+l),当 A C=C。时，C(-44-2 V 5.6+2遥)；当C A=C C时，。只能在x=-2右侧不符合题意
14、.【解答】解：(1)设x=-a，y=-工/-”+3，4由得a=-x,1 9，y=-x-+x+3：4(2)Vy=-工/+x+3=-A(x-2)2+4,4 4：.C(2,4),令 y=0,则-X2+X+3=0,4解得x=-2或x=6,(-2,0),B(6,0),i )设抛物线匹的解析式为y=(x-h)2+k,：.C(h,k),经过点 A (-2,0),./=!(2+h)2,4令 x=h,y=L=工(2+a)2,4.,.y=(x+2)2；4i i )存在点C,使A C C为等腰三角形，理由如下：V C (2,4)在 y=2(x+2)2,4点关于直线x=-2的对称点为C (-6,4),此时A C=A
15、C,A C C为等腰三角形；设 C (w.J2+/M+1),4当 A C=C C时，5+2)2+(A,n2+Wi+1)2=(i n-2)2+(A/M2+m+l -4)2,4 4解得7=-4 -2遥 或 m-4+2 5/5 (舍)，：.C(-4 -2A/5.6+2代)；当。=C C时，C只能在x=-2右侧，此时不符合题意;综上所述：(-6,4)或(-4-2遥，6+2遥).满分训练.解 答 题(共2 0题)1.(2 0 2 2甘井子区校级模拟)定义：将函数C,的图象绕点P(?，0)旋 转1 8 0,得到新的函数C2的图象，我们称函数C 2是函数C!关于点P的相关函数.例如：当机=1时，函 数)=(
16、x-3)2+9关于点P (1,0)的相关函数为y=-(x+1)2-9.(1)当 m=0时;一次函数y=-x+7关于点P的相关函数为 v=-x-7 .点A (5,-6)在 二 次 函 数 了=-2 or+a (”W 0)关于点P的相关函数的图象上，求”的值.(2)函数y=(x-2)2+6关于点尸的相关函数是y=-(%-1 0)2-6,则m=6.(3)当机-1 W xW zn+2时，函数y=/-6以+4#关于点p(?，。)的相关函数的最大值 为8,求，的值.【分析】(1)由相关函数的定义，将y=-x+7旋转变换可得相关函数为y=-x-7；先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即
17、可得到答案；(2)两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得，的值；(3)先确定相关函数，然后根据？的取值范围，对加进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的的值.【解答】解：(1)根据相关函数的定义，),=-x+7关于点P(0,0)旋转变换可得相关函数为y=-x-7,故答案为：y=-x-1；-2 a x+a=a(x-1).yua x2-2 a x+a关于点尸(0,0)的相关函数为y=-a (x+1)2,点A (5,-6)在二次函数y=-4 (x+1)2的图象上，/.-6=-a(5+1)，解得：a=l；6(2)y=(x-2)2+6
18、的顶点为(2,6),y=-(x-1 0)2-66 的顶点坐标为(1 0,-6)；两个二次函数的顶点关于点P (m，0)成中心对称,故答案为：6；(3)y=7 -6mx+4m2=(x-3 zn)2-5 m2,-6m+4 m 2关于点尸(m,0)的相关函数为y=-(x+z)?+5?.当-胴即川与*时，当x=m-l时，y有最大值为8,工-(m-l+/w)2+5/n2=8,解得如=-2-岳(不符合题意，舍去)，加2=-2+丘；当m -阳+2,即次V-1时，当x=?+2,y有最大值为8,-(加+2+?)？+5加2=8,解得：m=4-2救 或，m=4+2(不符合题意，舍去)，综上，”的值为-2+行或4-2
19、救.2.(2 0 2 2江都区二模)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点(1)若点P (3,p)是一次函数y=a+6的图象上的“梅岭点”，则 片 -1 ；若点尸(m,/)是 函 数 的 图 象 上 的“梅岭点”，则加=3或 7 ；x-2(2)若点P(p,-2)是二次函数)=/+灰+。的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；(3)若二次函数ya+bx+c(a,b是常数，a 0)的图象过点(0,2),且图象上存在两个不同的 梅岭点”A (x i,x i),8(x 2，X2),且满足|x i -%2|-2,如果k=-tr+2 b+2,请直接写出k的
20、取值范围.【分析】(1)根 据“梅岭点”的定义，P(3.p)的横纵坐标相等，即p=3m+6=3；P(?，“)的横纵坐标相等，即桁=工，分别求解即得答案；m-2(2)由题意得：抛物线y=/+f e r+c与直线y=x的唯一交点为尸(-2,-2),方程/+b x+c=的根为：X1=H=-2,即方程/+S-1)x+c=O可 写 为(x+2)2=0,对比两个方程的系数，即可求出江c,进而得出答案：y=+5x+4；(3)先 由“梅岭点”的定义证明加、龙 2是方程o?+-)A-+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x i+x 2=a,x i X 2=Z,进而利用|xi-间=2,推出k=-b2+2 b
21、+2a a=-4a2-8a+3=-4(a+1)2+7,再由-1XI 0)的图象过点(0,2),，c=2,ju/+b x+Z 图象上存在两个不同的“梅岭点”A(xi,xi),B(X 2,也)，.x=a x +bx+2,工 2=以2+法2+2,a x2+(Z?-1)xi+2=0,a x+(Z?-1)X2+2=0,.XI、M 是方程/+(A-1)x+2=0的两个实数根，1-b 9/.X|+X2=-:2，Xl9X2=fa a,:|xi-12尸 2,(X|-X2)2=4,/.(XI+X2)2-4 用 工 2=2-4 x 2=4,a a/.b1-2b+-8a=4c,:k=-b1+2b+2=-4cr-8a+
22、3=-4(a+1)2+7,*|xi-X2|=2,/.XI-X2=-2 或 X2-犬 1 =2,V-1X11,-3X2-1 或 IVx2V3-3 V x i2 V 3,-3 2 3,a3A-4 (a+l)2+7 0)，尸 7+6 图象的“等值点”分别为点A,B,过点B 作 BCx轴，垂足为C.当ABC的面积为4 时，求 6 的值.【分析】(1)根 据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；(2)先根据“等值点”的定义求出函y=4(x 0)的图象上有“等值点”4(2,2),X同理求出B(工 儿”,根据ABC的面积为4 可得工X上依X|2-工臼=4,分类求解2 2 2 2即可.【解答】解：(1)在
23、 y=2x+2中，令 x=2 x+2,解得x=-2二函数y=2x+2的图象的“等值点”坐 标 是(-2,-2)；在 y=7 -3元中，令 x2-3x=x,解得：x i =0,X2=4,.,.函数y=7-3 x的图象上有两个“等值点”（0,0）或（4,4）；故答案为：（-2,-2）；（0,0）或（4,4）；（2）在函数 y=_l（x0）中,令元=匹,x解得：x=2,(2,2),在函数y=-x+b中，令 工=-x+b,解得：x=b,2：.B/,A/n,2 2；8C _L x 轴，：.c(4 o),2：.BC=b,2A B C的面积为4,.,.AXA|/,|X|2-工臼=4,2 2 2当。0 时，*
24、-4 6-32=0,解得b=-4,当 0 W 6V 2 时,y-4 6+32=0,V A =(-4)2-4 X1 X32=-1 1 2 0,.5=-x+巾与y广 N 是互为“凤凰函数”，乙X当m=1 时，/7-2=0,解得 X|=-l,X 2 =2,/.X I =-1,X 2=2是力=-x+m与y =的“凤凰根2 X（2）如图：y i=-x+?与y广 仁*2+2*|有两个的 凤凰根”，N 2则直线在/|和/2之间平移（不含两条直线）或在直线/3的右侧平移.故y 与x 轴交点P 和交点。的坐标分别为（-4,0）和（0,0）.将（-4,0）和（0,0）代入巾=-x+/,得 m-4 和 m 0.故
25、当-4?V0时，力与”有两个的“凤凰根”；当yi=-x+m 与y 广 x2-2x相切时，联立可得方程-x tm=-x 2-2 x，整理，得x2+x+nF。，=l-2m=0,.1当yi=-x+?在直线/3的右侧平移，即m4 时，V 与”有两个“凤凰根”.综上所述，当-4 小|时，巾 与”互 为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”.5.（2022淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数y=/的图象上，存在一点P（-l,1）,则 P 为二次函数=/图象上的“互反点”.（1）分别判断y=-x+3、y=+x 的图象上是否存在“互反点”?如果存在，求
26、 出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由.（2）如图，设函数 =二殳（x 0）,的图象上的“互反点”分别为点4,B,x过点B 作 BC，x 轴，垂足为C.当ABC的面积为5 时，求人的值；（3）如图，Q（加，0）为 x 轴上的动点，过 Q 作直线L x 轴，若函数y=-/+2 （x的图象记为Wi，将 W i沿直线/翻折后的图象记为牝，当牝 两部分组成的图象上恰有2 个“互反点”时，直接写出m的取值范围.【分析】(1)由定义可知，函数与y=-x的交点即为“互反点”；(2)求出4 (-我，7 5)-8(-工6,%,可得弘4 8。=工乂|上/7|义|粕-工 例=5,2 2 2 2 2求出b的值；(
27、3)函数y=-7+2关于直线x=m的对称抛物线解析式为y=-(x-2 m)2+2,联立z _方程组I#-*,当=()时，m=-2,因此当z n V-9时，W ,卬2两部分Ly=-(x-2m)+2 8 8组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y=-7+2与直线x=/n的交点为(?，-/+2),当点-,/+2)在直线y=-x上时，解得?=-1或 7 =2,结合图象可知：-1?V2时，W i，W 2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”.【解答】解：(l)y=-x+3中，x+y=3,；.y=-x+3的图象上不存在“互反点”；y=W+x 中,当 y-x 时，-x=，+x,解得x=0或、=-2,.(0,0)
28、,(-2,2)是 产d+x的图象上的“互反点”;(2)y=(x 0)中，当 丫=-时，-x=X X解得x=-遥，.X(-V5)遥)，y=x+b 中，当 y=-x 时，-x=x+b,解得 X-2:.B(-工b,工)，2 2.8 C=|L|,2，SBC=X|X|泥-上 川=5,2 2 2解得6=4遥 或6=-2遥；(3)函数y=-7+2关 于 直 线 的 对 称 抛 物 线 解 析 式 为y=-(x-2 m)2+2,由定义可知，“互反点”在直线y=-x上，/y=X联立方程组1 9,y=-(x_2m)+2整理得 x2-(4/+1)x+4团2 -2=0,A =(4 任1)2-4 (4/n2-2)=0,
29、解得加=-S,8当m -9时，y=-(x -2 M 2+2与y-x没有交点，此时y-x与y-7+2有两o个交点，m-1时，明，牝两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；当“1=2时，财，卬2两部分组成的图象上恰有I个“互反点”，.“2时，W”W 2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；二7 /2时，W i，W 2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；综上所述：-m 2或m -且时，财，牝两部分组成的图象上恰有2个“互反点”.6.（2022荷塘区校级模拟）已知二次函数y=o?+bx+c（0）与 x 轴交于A（xi,0）,B（X2，0）两点，且（xi0 0,即可得出结论；（2）如图，连接4 C,先求
30、出直线8的解析式为y=x+c,可得上（-2 邑，0）,再利2b用求根公式可得：A（土星生0）,B（J iV b z4ac i 0）,再 证 明4c s2a 2aECB,可得 CE2=AE BE,即（-b-Vb2-4ac+区）（-b+Jb2-4ac+区）,匕 2 2a b 2a b化简即可得出答案.【解答】解：（1）当。=-1,b=2,c=4 时，抛物线解析式为y=-?+2x+4,.y=X2+2X+4=-（x-1）2+5.抛物线的对称轴为直线x=l,顶点为0（1,5）；当 y=-x 时，-/+2%+4=-x,整理得：x2-3x-4=0,A=(-3)2-4X1X(-4)=250,.二次函数y=-/
31、+2 r+4 有两个不同的“零和点”;(2)如图，连接AC,设直线CD的解析式为ykx+n,b,4ac-b2则在卜廿 n=ck&解得：J 2,n=c,直线CD的解析式为y=XV4-c,：.E(-至，0),b A (.bVb2-4ac 0),B(-b+Vb2-4a _-bH b-dac+2c-b+v b2-4ac _(2a b 2a b 2a2c)-b+YbYac+2cb 2a b:NACE=NCBE,NAEC=NCEB,：4EACSXECB,.EC=EB*EA EC，ACE2=A*BE,2在 RlZ CE O 中，。产=0。2+0 炉=/+（*）2=/+生b b2,.+4c 之=（_ b H
32、b2 _ 4 ac +2 c）（-b+/b2 _ 4 ac +2。）匕 2 2a b 2a b化简得：a c=-1,故a c的值为-1.7.（2 0 2 2 秋海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点（1,1）是函数y=/x+2 的图象的“等值点”.（1）判断函数y=x+2 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求 出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数），=-2的图象的“等值点”坐标；（3）若函数的图象记为例,将其沿直线x=?翻折后的图象记为牝.当Wi,牝 两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值.【
33、分析】（1）根 据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）根 据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（3）根 据（2）中求出的y=?-2的图象上有两个“等值点”（7,-1）或（2,2）,再利用翻折的性质分类讨论即可.【解答】解：（1）不存在，理由：在 y=x+2 中，令x=x+2,得 0=2 不成立，函数y=x+2 的图象上不存在“等值点”；（2）令 工=/-2,解得：XI =-1,X 2 =2,.函数y=7-2的图象上有两个“等值点”（7,-1）或（2,2）；（3）当mV-1 时，W i,卬 2 两部分组成的图象上必有2个“等值点”（-1,-1）或（2,2）,W：y=x1-2W
34、2：y=（x -2 m）2-2 （x /w）,令 x=（x -2M 2-2,整理得：（4?+l）x+4 P-2=0,卬 2 的图象上不存在“等值点”，/.A 0,，（4 m+1）2-4 （4 m 2-2）0,当切=-1 时，有 3 个“等值点”（-2,-2）,（-1,-1）,（2,2）,当-1 V/2时，,卬2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当Wi，牝两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，m=l.8.（2 0 2 2秋长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于（2 0）的点叫做这 个 函 数 图 象 的 阶 方 点”.例 如，点（工，A）是函数y=x图象的“上阶方点”；点
35、3 3 2（7,1）是函数y=-x图象的“1阶方点（1）在（-1,2）；（0,0）；（工，-1）三点中，是正比例函数y=-2 x图象2的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数y=o r-3 a+l图象的“2阶方点”有且只有一个，求。的值；（3）若函数图象恰好经过“阶方点”中的点（，），则 点（”）称为此函数图象的“不动”阶方点，若y关于x的二次函数y=L/+（p-f+1）x+q+r-2的图象上存在唯4一的一个“不动阶方点，且当2 W p W 3时，q的最小值为f,求f的值.【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在 以。为中心，边长为4的正方形4 8 c o中，当直线与正方
36、形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求。的值即可；（3）在以。为中心，边长为2的正方形A 8 C O中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=-2-2+1图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可.【解答】解：（1）（-1,2）到x轴距离为2,不符合题意，（0,0）到两坐标轴的距离都等于0,符合题意，（尚，-1）到x轴距离为1,到y轴距离为工，符合题意，故答案为：.（2）.y=a x-3a+=a（x -3）+1,函数经过定点（3,1）,在 以。为中心，边长为4的正方形A 8 C/）中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象 的“2阶方点”有且只有一个，y由
37、图可知，C(2,-2),D(2,2),一次函数y=o x-3+l图象的“2阶方点”有且只有一个,当直线经过点C(2,-2)时，-2=2“-3。+1,解得a=3,此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点O (2,2)时，2=2。-3。+1,解得=-1,此时图象的“2阶方点”有且只有一个,(3)点(“，)在直线y=x上，.=)+(p-r+i)x+q+t-2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程上/+4 4(p-r+l)x+g+/-2=x有两个相等实数根，/.A =(p-t)-q-/+2=0,:.q=(p -z)2-r+2,.当2 W p W 3时，q的最小值为3若p=t,贝J q的
38、最小值为-f+2,则-t+2=t,解得f=p=l，不符合题意.当fV 2时，若p=2,则g取最小值，即4=(2-f)2-f+2=f解得f=3+y(舍)或r=3-北，当r 3时，若0=3,则“取最小值，即q=(3-r)2-t+2=t解得f=4-遥（舍）或f=4+遥，综上所述，/=3-y或4+遥.9.（2022秋如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍 点 例 如，点（-1,-1）是函数y=4 x+3图象的“1倍点”，点（/,-3）是函数y=4 x+3图象的“2倍点”.（1）函数
39、y=f-8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求 出“2倍点”；（2）若抛物线），,上有且只有一个“1倍点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当时，求：c的取值范围.（3）将函数y=/-8 （x机）的图象记为W”其沿直线=机翻折后的图象记为W 2,M和W 2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围.【分析】（1）联立方程1 v=2x9 求解._ _ _oy=x-8（2）令/+5户。=方 根据根的判别式A =0可得比的值，进而求解.（3）令/-8=2x,求 出 抛 物 线-8与直线y=2x的交点横坐标，由函数y=-8（x Z m）求出翻折后函数解析式
40、，结合图象求解.【解答】解：（1）由题意可得“2倍点”在直线y=2x上，联立方程/y=2xc ，解得4乂2=4y -4 （y2=8 函数），=7-8的图象上存在“2倍点”，点（-2,-4）,（4,8）是该图象的“2倍点”.（2）令 加+5 1+=-整理得a F+M+c u。，由题意得 =42-4 c=0,A a c=4,V 1,.0 c 4.(3)图象y=/-8 关于直线工=机翻折后解析式为y=(x -2/n)2-8 (X/H),令/-8=2x,解得x=-2或x=4,当m=4时,如图,图象W有1个“2倍点”,.,./4时符合题意，图象W有3个“2倍点”，-2?4符合题意.令(x -2?)2-8
41、=2X,整理得x2-(4/+2)x+4/2-8=0,当4=(4 w+2)2-4 (4 m2-8)=0 时，解得,”=-且,44综上所述，-2 m V 4或 布 1 时，求：c 的取值范围；直 接 写 出 的 度 数.【分析】（1）根 据“2 倍点”的概念直接作答即可；（2）根据有且只有一个“1 倍点”求出。与 c 的数量关系，根据a 的取值范围求出c的取值范围；先求点E 的坐标，然后求点M 和点N 的坐标，然后比较线段长度，最后求出NEMN的度数.【解答】解：（1）存在，设“2 倍点”的坐标为（x,21）,则 2 x=x2-8,解得：x=-2 或 4,“2 倍点”的坐标为（-2,-4）或（4,
42、8）；（2）由题意可知，y=a x1+5 x+c与y=x有且只有交点，则 x=a x2+5 x-c9整理得：则该方程有两个相同的实数根，即 =16-4ac=0,ac=4,V 1,A 0 c0）,然后根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数解析式.【解答】（I）解：当x=0时，y=-/+2 x+4=4,则C点坐标为（0,4）；.y-/+2 x+4=-（x -1）2+5,顶点。的坐标为（1,5）；（2）证明：设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x,-x）,把 P（x,-x）代入 y=-/+2 r+4 得-/+2 x+4=-x,整理得-3 x-4=0,解得 x i=-1.X 2=4,点坐标为（-
43、1,1）和（4,-4）,此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）解：设直线C Q的解析式为y=H+6,把C (0,4),D(1,5)分别代入得(b二4l k+b=5解得仆”,I b=4直线C D的解析式为y=x+4,设 Q(x,x+4)(x 0),S=0 M Q M=x*(x+4)=,r2+2 j c,2 2 2即S关于x的函数解析式为5=工/+(x 0).21 3.(2 0 2 2红河州二模)有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等 都 是“和睦四边形”.(1)如 图1,8 0平分/A B C,A D/B C,求证：四边形4 B C O为“和睦四边形”：(2)如图2,直线
44、A B与x轴，y轴分别交于A (1 2,0),B(0,9)两点，点P、。分别是线段O A、A B上的动点.点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点。运动.点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运 动.P,Q两点同时出发，设运动时间为r秒，当四边形B O P Q为“和睦四边形”时，求/的值；(3)如图3,抛物线丫=加+且巨乂+2 (a 0)与x轴交于A，B两 点(点A在点8的3左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为点。.当四边形C O B O为“和睦四边形”，且C D=O C,求”的值.【分析】(1)8 0平分N A B C及A C B C,推 出 即 可 得 出 结 论；(2)求
45、出8,4的坐标，OB,OA,48的长度，用 含f的代数式表示出A。，AP,BQ,O P,连接 P。，证 A Q P s A B O,推出 N A P Q=N A O 8=90 ,求出。P=3/,根据 和睦四边形”的定义分情况讨论可求出f的值；(3)用含字母的代数式表示顶点。的坐标，由C Q=O C,即可求解.【解答】(1)证明：1即 平 分N A B C：.ZABD=ZCBD,JAD/BC,：.ZADH=NCBI),：.ZABD=ZAD B,：.AB=AD,四边形ABCD为“和睦四边形”；(2)解：(1 2,0),B(0,9),.,.0 8=9,O A=1 2,A B=V O B2OA2 =1
46、 5,由题意得：AQ=5t,AP=4t,B Q=l5-5t,O P=12-4t,连接PQ,A P A O又：N B A O=N Q A P,A Q PS/V I B O,A ZAPQ=ZAOB=90Q,.Q P=、A Q 2-A2=3 f，.四边形8 0 P Q为“和睦四边形”,当 0 8=。尸时，9=1 2-4/,.3 +二:4当 0 8=8Q 时，9=1 5-5t,.6 +;5当 O P=P Q 时，1 2-4/=3 z,.+=-1-2-;7当 B Q=P Q 时，1 5-5f=3 f,.15.干综上所述，r的值为3或2或2 2或 五；4 5 7 8（3）解：由题意可得：顶点。的坐标为（二
47、 应，2）C（0,2）,3a 3a：C D=O C,：.CD1=O C1,*,2+(2-2)2=223a 3a化简得：a2八，9Va =/+2%+1的图象上，存在好点”的函数是；x（填序号）（2）设函数-=-1（x =履+3求得k的值：（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即y=-x与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果.【解答】解：（1）.）=-x+3,；.y+x=3,.不是“好点”的函数,.=旦，x0,X/.xy=30 .冗+yWO,.不 是“好点”的函数,(o.y=x+2x+l,x4y=0，/+3x+1=0,Z.
48、A=32-4X 1 X l 0,方程组有解，是“好点”的函数，故答案为：；f _ 4y=-(2)7 x，x*-AN=yJ_=4+(t-2V3 )2,解得f=2f+3或t=?M-3,当/=2我+3时，N (0,2我+3),此时M点在8点右侧，不合题意;当/=2愿-3 时，N(0,2代+3)；当M点在y轴上时，此时M(0,0),过点N作N G J _x轴交于G点，设N(x,y),由折叠可知，A N A C-,13,C M=M N=3,二/+)2=9,(x+2)2+(y-2 7 3)2=1 3,解得x=0 (舍)或 方=旦，2*哈综上所述：N点坐标为(0,2d+3)或(与，生 应)；2 2(3)存在
49、点凡使得以点A,C,E,尸为顶点的四边形为平行四边形，理由如下:.1=-织I-量1 _1+2愿=-!1.(%+1)2+8 V3 _j3 3 3 3.抛物线的对称轴为直线x=-1,设 E(-1,m),抛物线丫=上 应X 2 应 x+2反 与 其 梦想直线”为y=_汉耳.叶&!巨,3 3 3 3设尸(”，-22巨巨)，3 3当AC为平行四边形的对角线时，-2-3=-1+，2百=阳-3 3解得 =-4,m=-4 ,3：.E（-I,-生 巨），F（-4,旦后；3 3当AE为平行四边形的对角线时，m+2a=_ 2,-2-=n-3,3 3解得n=0,m-2近,3：.E（-I,-至 巨），F（0,2 巨）；
50、3 3当AB为平行四边形的对角线时，-2=-3-1,机=2禽-凶 3,3 3解得n-2.胆=生 应，3：.E（-1,4代），F（-2,2禽）（舍）；综上所述：E（-l,尸（-4,蛇 加）或 E（-1,3 3挈 噤.16.（2022岳麓区校级模拟）我们定义：若点P 在一次函数y=ar+b（aWO）图象上，点。在反比例函数y （cHO）图象上，且满足点P 与点。关于y 轴对称，则称二次函数y=a x1+hx+c为一次函数y=a x+h与反比例函数y上 的“衍生函数”，点P称 为“基点”,点。称 为“靶点”.（I）若二次函数y=/+2 x+l是一次函数y=or+3与反比例函数y 的“衍生函数”，则a