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1、北京交通大学201020 学 隼 弟 一 学 期 慨 率 跄 身 数 理 统 计 期 末 存 武 武 卷（耳 卷）普 案-.（本题满分8 分）一间宿舍内住有6 位同学，求 这 6 位同学中至少有2 位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率.解：设 人=”6位 同 学 中 至 少 有2位 的 生 日 在 同 一 个 月 份”.所 求 概 率 为P（A）.1分考 虑 事 件A的 逆 事 件：A=”6位 同 学 的 生 日 各 在 不 同 的 月 份”.1分P（A）=1 -P（彳）=1-工=1 -665280=0 7 7 7 199074.、126 2985984.2分 2分.2分（本题满
2、分8 分）有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.1,0.4和0.2.如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为：、2、2、,，结果他未迟到，试问他乘火车来3 7 5 6的概率是多少？解：设3=”朋 友 来 访 迟 到”，儿=朋 友 乘 火 车 来 访 ，儿=朋 友 乘 轮 船 来 访，4=朋 友 乘 汽 车 来 访 ，4=朋 友 乘 飞 机 来 访”.1分所 求 概 率 为P（A必），由Bayes公式得.1分P（A团 一 :.一（4（同4）-P（A j p（同4）+尸4）尸 同A2）+P）尸同人3）+尸（4）P同AJ ”刀_ _ _ _ _ _ _
3、_ _ _ _ _ _ _ _ 3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 5 3 50.3 x-+0.1 x-+0.4 x-+0.2 x-3 7 5 6 =0.2 9 4 9 4 3 8 2.2 分3 5 6三.（本题满分8分）设随机变量X的密度函数为x2 5/(x)=|-X2 50 x 55 x 1 00 其它试求随机变量X的分布函数F（x）.解：当x 0时,XXF(x)=J。力=0；1分当0 W x 5时，x 0 x 2b(x)=J。力+J不 力=去；.2 分co 00 0当 5 4 x 1 0 时，x 5 5 xF(x)=+d/r +J-0 0 -0 0 0/52 t ,2 1
4、2 八-dt=-i+x-x；.2 分5 25 5 5 0当xN lO时,x 5 5 5.x/(x)=+j-oo-oo 0 5、)力+O df =L2分-o-ooo1002x 0X0 x 5因 此，随 机 变 量X的 分 布 函 数 为E（x）=502 1 c.1分-1+X-X5x10四.（本题满分8分）4%试决定常数c,使 得pk=c 丁，k =1,2,）为某一离散型随机变量X的分布列，其中丸 0为参数.解：若 使0=。彳，卜=1,2,）是某 一 随 机 变 量X的 分 布 列，当且仅当k._8pk=C 0,伍=1,2,），而且 ZP*=1,.2 分k!k=i因此有00 8 k 8 J k1=
5、S =E c =c -=c（-l）.4分A=1 Jt=l K.Jt=l K 所 以 有C=/_.2分eA-五.（本题满分8分）设U与V分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数.试求一元二次方程x2+U x +V=0有两个不相等的实数根的概率.解：一 元 二 次 方 程x2+Ux+V=0有两个不相等的实数根的充分必要条件是U2-4-V 0,或 者t/2 4V.2 分又（U,V）的联合分布列为 P（U=i,V=（i,j=l,2,6）.2 分36所 以，一 元 二 次 方 程x2+Ux+v=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 的 充 分 必 要 条 件 是（u,V）的取值应 为 下 列 情 形
6、 之 一：（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）.2 分P（一元二次方程x2+Ux+V=0有两个不相等的实数根）=.2分3 6六.（本题满分8 分）设随机变量X服从区间（-2,1）上的均匀分布，试求随机变量Y =x 2 的密度函数力（y）.解：随机变量X的密度函数为1 c ,P x（x）=3 一2。1 .分0 其它设 y=x 2 的分布函数为弓（），），则有%（y）=P（y Wy）=P（X 2 ）=0;当 0 4 时，4（y）=l.
7、1 分综上所述，得随机变量y=x 2 的分布函数为0 y ）=Fx（J y）Fx（-4 y）。l因此，随机变量y=x 2 的密度函数为&3=母（3 汨P、（4）+P、（3 0，4.1 分 o其它当 0 y l 时，0 6 1,-1 -yy 0 ,于是有P x（6）=g P x（3）=；,因此有 pY(y)=伉(7 7)+px(-7 7)2 X（3 +3）=3 J 7当 l y4时,1 万 2,-2-yy -1,于是有P x(4)=。,P x (-7 7)=(因此有 p y(y)=3 (p x(6)+P x(77=j(o+；.2 分因此，随机变量V=X2的密度函数为10 y l1 y 4 .1
8、分0 其它七.（本题满分8分）试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思.解 H rT.设A是一随机事件，其概率OP（A）0.9 5,因此得 一 24 0V7 21.6 4 5,所以有 24 0 +1.6 4 5 x V7 2=25 3.9 5 8 3.因此至少需要25 4 个车位，才能满足题设要求.2 分九.（本题满分8 分）设随机变量x与y相互独立，而且都服从参数为A的指数分布，令U=4X-3Y,V=3X+Y,试求二维随机变量（U,V）的相关系数小3.解.n rr 因为x与 y都服从参数为几的指数分布，所以E（X）=E（y）=；,v a r（x）=v a r（y）=，
9、.1 分于是有（/）=E（4X-3 r）=4 E（X）-3 （y）=4-3-=-,A 4 2E（V）=E（3 X+y）=3 以 x）+E（y）=3 4+J=”./t X再由x与y的相互独立性，得1 n 1 _ 2 5v a r（/）=v a r（4 X 3 Y）=1 6 v a r（x）+9 v a r（K ）=1 6-7+9 7=v a r（V）=v a r（3X +Y）=9 v a r（x）+E（Y）=9.提+*=竽.3分E（UV）=E（4X-3 Y）（3 X +/）=E（1 2 X2-5 X K -3 K2）=1 2（x2）-5 （xy）-3 （y2）=1 2.1 a r（x）+（E（X
10、 ）2）5 .E（X）（/）-3.（v a r（K）+（K）2）24 5 6 _ 1 3.所以有c o v（U,y）=E（UV）则 匹 岑 一：十 摄因此有9+.（本题满分8 分）设总体X 存在二阶矩，总体期望E（X）=，总体方差。（X”/,（X”X2,X“）是从中抽取的一个样本，又是样本均值，52是样本方差.计算方差。（又）（4 分）；如 果 X N（，cr2）,计算方差。（2）（4 分）.解.n rr（1）时=。仁毅X，W$毋=亍.4分 因 为 总 体X N（，），（X,X2,X”）是取自总体X中的一个样本，所以(I/(T).2 分(J所以,D(S2)=D(-l)s _ (T4吃 L厂时y
11、-1)S2 _ a42(-1)=三n-12分十 一.（本题满分10分）设0。仍）1,证明：随机事件A与8相互独立的充分必要条件是P(A|B)+P(J|f i)=l.证明：必要性:设随机事件A与B相互独立，所以随机事件彳与耳也相互独立.因此有P(*)=P(A),P(I|B)=P(A),.3分因此有尸(A|B)+P(J|B)=P(A)+P(A)=1.2 分充分性：由于 尸（A忸）+尸（不 同=1,所以有 P（A|B）=1-P（A|B）=P（A|B）.因叱有 P（AB）p（虚）NA-AB）P（A）（AB）P（B）一向）1-P（B）1-P（B）3分由 0P（8）l,得 1 P（6）0,因此有MA/I-
12、2）=P（BP（A）P（AB）.整理，得 P（A8）P（B）P（AB）=P（A）P（B）P（AB）P（B）.即得 P（AB）=P（A）P（B）.这 表 明 随 机 事 件A与B相 互 独 立.2分十 二.（本题满分10分）设 总 体X等可能地取值1,2,3,，N,其中N是未知的正整数.（X1,X2,，X.）是取自该总体中的一个样本.试求N 的最大似然估计量.（7 分）某单位的自行车棚内存放了 N 辆自行车，其编号分别为1,2,3,N,假定职工从车棚中取出自行车是等可能的.某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12,203,23,7,239,45,73,189,95,112,7
13、3,159,试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值.（3 分）解：总 体X的分布列为 PX=x=,（x=l,2,N）.N1所以似然函数为 L（7V）=ppx.=x,.=,（lx,2V,（i=l,2,）.3 分；=i N当N越 小 时，似 然 函 数L（N）越 大；另 一 方 面，N还 要 满 足：1 飙（i=l,2,），即 N2maxx1,x2,，=x（,t）.所 以，N的 最 大 似 然 估 计 量 为 力=X（.）.4分 由 上 面 的 所 求，可 知N的 最 大 似 然 估 计 值 为 府=%）=239.3分北京交通大学20102011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A
14、4M参 考 答 亲-.（本题满分8 分）在正方形。=（p,q）：|p|l,|q|Wl中任取一点（p,冷,求使得方程Y+px+q=0有两个实根的概率.解：设4=”方 程 +/+4=0有 两 个 实 根”，所求概率为尸（A）.设 所 取 的 两 个 数 分 别 为p与夕，则有-q .因此该 试 验 的 样 本 空间与二维平面点集D=（/?,q）：-1 /?1,-14 0）,即与点集 2、2=.2 分中的点对应.2 所以,”I dP2x2113243黑黯7d 1+P4分（本题满分8 分）从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有50%是质量问题；有3（）%是数量短缺问题；有20%是产品包装
15、问题.又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占40%；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占60%；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占75%.如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？解：设4=事 件 属 于 质 量 问 题”，A=”事 件 属 于 数 量 短 缺 问 题”,4=”事件属于产品包装问题B=事 件 经 过 协 商 解 决”.所 求 概 率 为P B）.2分由Bayes公 式，得P(A 向一，、-(A)叫 贝1 1 尸(AJP|A)+P(4)P%)+p(4)P(B|&)2分0.5x0.400.5 x 0.40+0.3 x 0.60+0.2
16、 x 0.752分=0.37735849.所 以，P(司B)=1 P(A|B)=1 0.37735849=0.62264151.2 分三.（本题满分8分）设随机事件4满足：P（A）=1.证明：对任意随机事件3,有P（A6）=P（B）.解nrr,因为 P(A)=1,所 以，P(彳)=1-P =1-1=0.2 分所 以，对 任 意 的 随 机 事 件6,由才B u彳，以及概率的单 调 性 及 非 负 性，有OP（IB）P（X）=O,因 此 有PRB）=0.2分所 以，对 任 意 的 随 机 事 件8,由8=4 8 彳8,以 及4 8与彳8的 互 不 相 容 性，得尸（8）=尸（AB u 彳B）=P
17、（A8）+P（Xfi）=尸（AB）+0=P（AB）.4 分四.（本题满分8分）设随机变量X的密度函数为“2/x ax-bx 0 x 5 0）.2分P（X5 0）=P（X =5 1）+P（X =5 2）.2 分=C-0.85 1-0.2 +C-0.85 2-0.2=0.0 0 0 1 2 7 8 8 1 3 9 3 3.3 分六.（本题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷1（）次，令X表示这1（）次出现的点数之和，求E（X）（5分）与。（X）（5分）.解.nrr 设 X.表示第女次出现的点数，卜=1,2,，1 0）.则 X”X,，X i。相互独立，而且X=5X.k=而 X*的分布列为 p（xk=
18、j）=,0=1,2,，6）.2分66 6 1所以，E（Xk）=j-P（Xk=j）=j-J=1 7=1。1 6 1 7=石 鼻 尸 q x 2 1 =/,（k=T,2,，1 0）.2 分所以，由数学期望的性质，得（io、io io 7 7E（X）=E =（X,）=-=-X1 0 =3 5.2 分k=7 k=k=Z ，E（X =t f.P（Xk=j）=f lj=i J=i 6-Y j2=i x 9 1 =,（k=l,2,，1 0）.6 占 6 6 2分所以，由X”X2,，X i。的相互独立性，及数学期望的性质，得（10 io ioQ 1 J.Q AS 17sD（X）=D Xk=Z）=Z（T-T）=
19、T|X1 0 =1F-.2 分 k=l J k=l左=。4 1，。七.（本题满分1 0 分）设随机变量XN（0,1）,求随机变量y =2 X?+1 的密度函数.解：1由题意，随机变量X的密度函数为（-O OX+O O）.1 分设随机变量丫 =2 x 2+1 的分布函数为4（）,），则有4（），）=P（Y y）=P（2 X 2 +1 l 时,6GRPJ e 2 d x0e 2 dx=j=方 岳2分7-i2工j e 2 d x y 1,o2因 此 有 耳()，)=(7=7 2冗0所 以，随 机 变 量y =2 x?+i的密度函数为2y iy w iP y(y)=K()=y i22分2分八.(本 题
20、 满 分 10分)设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为p(x,y)=3 x 0 y x 3-,8 0D（r）=E（r2）-（E（y）21 （3丫 _ 1 9小-3 2 02分因 此，有3=co v（x,y）=1 6p =3 .X17 r（x）7 5（F）凡严屈，-V 8 0 V 3 2 0九.（本题满分1 0分）一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重5 0 k g,标准差为5 k g.若用最大载重量为5 0 0 0 k g的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于（）.9 7 7 （设（2）=0.9 7 7,其中（x）是标准正态分布N（0,1）的
21、分布函数）.解itrr.若 记X,表 示 第i箱 的 重 量，（z =1,2,，）.则X”X2,X”独 立 同 分 布，且（%,.）=5 0,O（X,）=25,（z=l,2,，n）.2 分再设匕表示一辆汽车最多可装箱货物 时 的 重 量，则有 工=2 x-1=1由题 意，得P化4 5。）=#与虹”叫曲胆产。.977.4分（5 jn 5yj YI J I v n J查 正 态 分 布 表，得10 0 0-10/2 cx r=2,y/n2分当 =99时，x =1.0 0 5 2,故取=9 8,即 每 辆 汽 车 最 多 装98箱货物.2分+.（本题满分8分）设总体XN（0,1）,（X X2,，X
22、6）是取自该总体中的一个样本.令r =(x1 +x2+x3)2+(x4+x5+x6)2,试确定常数。,使得随机变量c-r服从/分布.解：因 为X,N（0,1）,（i=l,，6）,而 且X”，X6相 互 独 立，所以X|+X2+X 3N（0,3）,X4+X5+X$N（0,3）.2 分因此(0),冬 京+*6 W0,1).2分而且 W .+J与X#卡+X6相 互 独 立.因 此 由2 2分 布 的 定 义，知,+%2+%3?(x4+x5+x SI V 3 J I V 3 J /2分即止必且左区地山川2）.3其中。0为参数，（X1,X2,，X,）是从总体X中抽取的一个简单随机样本.求参数。的矩估计量
23、（6分）;求参数。的最大似然估计量。（6分）.证明：K C 1 1 万（1）E（X）=O）dx=x-40dx=4 0 xdx=r=,.3 分-0 0 0 0 7 0+1因 此，得 方 程E（X）=,n+i2解方程，得 0U-E(X X、2将 E（X）替换成又，得参数。的矩估计量为瓦=3 分n w n（2）似然函数为乂。）=口/&；e）=/口看、和1 .2 分/=1*=1取对数，得 lnL()=-ln +(V 0-l)ln x,.,2/=|对。求导，得 InL()=+Inxf-+d0 2。25/0 i=2/0 0 j-)解似然方程，得。=所以，得似然方程=0,2 分/2因此，参数。的最大似然估计量为。=.2 分fln X j /1=!7