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1、（考试时间：90 分钟；考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分)1、A，B 为二事件，则AB A、AB B、AB C、AB D、AB 2、设 A，B，C 表示三个事件，则ABC表示 A、A，B，C 中有一个发生 B、A，B，C 中恰有两个发生 C、A，B，C 中不多于一个发生 D、A，B，C 都不发生 3、A、B 为两事件，若()0.8P AB，()0.2P A，()0.4P B，则成立 A、()0.32P AB B、()0.2P AB ()0.48P B A C、()0.
2、4P BA D、4、设 A，B 为任二事件，则 A、()()()P ABP AP B B、()()()P ABP AP B C、()()()P ABP A P B D、()()()P AP ABP AB 5、设事件 A 与 B 相互独立，则下列说法错误的是 A、与独立 B、与独立 C、()()()P ABP A P B D、与一定互斥 6、设离散型随机变量的分布列为 其分布函数为()F x，则(3)F A、0 B、0.3 C、0.8 D、1 7、设离散型随机变量的密度函数为4,0,1()0,cxxf x其它，则常数 A、15 B、14 C、4 D、5 8、设)1,0(N，密度函数221()2x
3、xe，则()x的最大值是 A、0 B、1 C、12 D、12 9、设随机变量可取无穷多个值 0,1,2,其概率分布为33(;3),0,1,2,!kp kekk，则下式成立的是 A、3EXDX B、13EXDX C、13,3EXDX D、1,93EXDX 10、设服从二项分布 B(n,p),则有 A、(21)2EXnp B、(21)4(1)1DXnpp C、(21)41EXnp D、(21)4(1)DXnpp 11、独立随机变量,X Y，若 XN(1,4)，YN(3,16)，下式中不成立的是 A、4E XY B、3E XY C、12D XY D、216E Y 12、设随机变量的分布列为：则常数
4、c=A、0 B、1 C、14 D、14 13、设)1,0(N,又常数 c 满足P XcP Xc,则 c 等于 A、1 B、0 C、12 D、-1 14、已知1,3EXDX,则232EX=A、9 B、6 C、30 D、36 15、当服从()分布时,EXDX。A、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀 16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。A、()()()E XYE X E Y B、D XYDXDY C、,0Cov X Y D、与相互独立 17、设),(pnb且63.6EXDX，则有 A、100.6np，B、200.3np，C、150.4np，D、120.5np，18、设 ,p x ypx
5、py分别是二维随机变量,的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。X 0 1 2 P X 1 2 3 p 1/2 c 1/4 A、EEE B、DDD C、与不相关 D、对,x y有 ,p x ypx py 19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是 A、()E XYEXEy B、()D XYDXDY C、与不相关 D、对,X Y的任何可能取值,ijxyi jijPP P 20、设,X Y的联合密度为40()xyxp x y，y1，0，其它，若()F x y，为分布函数，则(0.5 2)F，A、0 B、14 C、12 D、1 二、计算题(本大题共 6 小题，每小题 7 分，共
6、42 分)1、若事件 A 与 B 相互独立，()0.8P A()0.6P B。求：()P AB和()P A AB 2、设随机变量(2 4)XN，且(1.65)0.95。求(5.3)P X 3、已知连续型随机变量的分布函数为0,0()04414xxF xxx，求和。4、设连续型随机变量的分布函数为()F xABarctgxx 求：（1）常数 A 和 B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函数()f x 5、某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为23，如果命中了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽。求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）EX；（3）DX 6、设,的联合密度为40()xyxp
7、 x y，y1，0，其它，求：（1）边际密度函数(),()pxpy；（2）,EE；(3）与是否独立 三、解答题(本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分)1、设，是来自正态总体(1)N，的样本，下列 三个估计量是不是参数的无偏估计量，若是无偏 估计量，试判断哪一个较优？1212133XX，1211344XX，1211122XX。2、设10(,)(0)0 xexf x其它12,.,nx xx。为 的一组观察值，求的极大似然估计。概率论与数理统计试卷答案及评分标准 一、单项选择题(本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
8、D C D D D D C A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C C B B B D C D D B 二、计算题(本大题共 6小题，每小题 7分，共 42 分)1、解：A与 B相互独立()()()()P ABP AP BP AB（1分）()()()()P AP BP A P B（1 分）0.80.60.8?0.6 0.92（1 分）又()()()P A ABP A ABP AB（1分）()()()()()P ABP A P BP ABP AB（2 分）0.13（1 分）2、解：(5.3)1P X 5.3-22（5 分）1(1.65)1 0.950.
9、05 （2 分）3、解：由已知有0,4U（3 分）则：22abE（2 分）24123baD（2 分）4、解：(1)由()0F ，()1F 有：0212ABAB 解之有：12A，1B（3分）(2)1(11)(1)(1)2PXFF（2 分）(3)21()()(1)f xF xx（2 分）5、解：(1)（3分）(2)31221131233999iiiEXx p （2 分）(3)3222221221231233999iiiEXx p 222231338()()9981DXEXEX（2分）6、解：(1)10()()42pxp xy dyxydyx，20()xxpx，10，其它 同理：20()yypx，1
10、0，其它（3分）(2)1202()23Expx dxx dx 同理：23E（2分）(3)()()()p x ypx py，与独立（2 分）三、应用题(本大题共 2小题，每小题 9分，共 18 分)1、解：12121()33EEXX 同理：23EE 123，为参数的无偏估计量（3分）又21212121415()33999DDXXDXDX 同理：221016D，2324D 且312DDD 3较优（6分）2、解：12,.,nx xx的似然函数为：1112111(,.,)niiixnxnniL x xxee，（3 分）11()lnniiLn Lnx 21()10niidLn Lnxd 解之有：11ni
11、ixXn（6 分）X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 一、(共 30 分,每题 5 分)1、设事件 A与 B相互独立，8.0)(,5.0)(BAPAP,求)(BAP.解：因为事件 A与 B 相互独立，所以)()()(BPAPBAP)()()()()(BPAPBPAPBAP.2 分 由8.0)(,5.0)(BAPAP，得6.0)(BP.2 分 2.0)()()(BPAPBAP.1 分 2、三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为41,31,51.求能将此密码译出的概率.解：53)411)(311)(511(1P.5 分 3、设随机变量的分布律为 -1 0 1 2 求12 XY的分布
12、律，并计算)31(XP.解：.3 分 625.0)31(XP.2 分 1 2 5 0.375 0.375 4、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知1)2)(1(XXE求.解：)()(XDXE，.2 分 12)(3)()()23()2)(1(22XEXEXDXXEXXE.2 分 所以0122，得1.1 分 5、为检查某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分布,),(2NX均未知，现抽取容量为 25 的一个样本，测得样本均值为 186，样本标准差为 10，求的置信度为 0.95 的置信区间.解：总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间为)1(025.0ntnsX.2 分 即 )
13、0639.2510186(.2 分 所求置信区间2278）.1 分 6、),(2NX当机器正常时，其均值5.0公斤，标准差015.0公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖 9 袋，称得平均重量为 0.511 公斤，问这天包装机工作是否正常？（取显著水平05.0）解：由题意设 5.0:;5.0:10HH.1 分 拒绝域为 025.0|5.0|znX.1 分 由于2.2|9015.05.0511.0|5.0|nX，,96.1025.0z.2 分,拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常.1 分 概率论与数理统计B 班级 姓名 学号第 2 页 二、（共 18 分,每题 6 分)1、
14、设随机变量和相互独立，概率密度分别为.0 ,00 ,2)(2xxexfxX，.0 ,0,0 ,3)(3yyeyfyY 求:（1）;)32(YXE（2）);32(YXD（3）XY.解：（1）0;313-212)(3)(2)32(YEXEYXE.2 分（2）;2919414)(9)(4)32(YDXDYXD.2 分（3）因为量和相互独立，所以0XY.2 分 2、已知随机变量)36,2(),25,1(NYNX，4.0XY，求：YXU23 与YXV3的协方差.解：)3,23(),(YXYXCovVUCov)(6),(2),(9)(3YDYXCovYXCovXD.3 分)(6)()(7)(3YDYDXD
15、XDXY 225366654.07253.3 分 3、设1321,XXX是来自正态总体)1,0(N的一个样本，且已知随机变量1352412)()(iiiiXbXaY服从自由度为 2 的2分布，求ba,的值.解：因为)1,0(NXi且相互独立，13,2,1i.所以，)4,0(41NXii，)9,0(135NXii，.2 分)1,0(2141NXii，)1,0(31135NXii，且相互独立.2 分 由2分布的定义，得)2()31()21(21352241iiiiXX，所以，91,41ba.2 分 三、（共 18 分,每题 6 分)1、设总体),6,52(2NX现随机抽取容量为 36 的一个样本，
16、求样本均值落入（50.8，53.8）之间的概率.解：)1,52(NX，.2 分 8.538.50 XP=)528.50()528.53()2.1()8.1(=8849.019641.0.3 分 849.0.1 分 2、设随机变量的分布函数为.1 ,1,10 ,0 ,)()1(xAexBxAexFxx 求：（1）A,B的值；（2）31XP.解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得)0()(lim0FxFx，)1()(lim1FxFx，即ABBA1 解得5.0 BA.3 分 （2）5.05.01)31(131FXP.3 分 概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号第 3 页 3、箱子中有一号
17、袋 1 个，二号袋 2 个.一号袋中装 1 个红球，2 个黄球，二号袋中装 2 个红球，1 个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.解：设=从箱子中取到 i 号袋，2,1i B=抽出的是红球 )|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP.2 分 9532323131.1 分)|()()|()()|(21111iiiABPAPABPAPBAP51.3 分 四、（8 分）设随机变量具有密度函数.,010 ,)(其它，xAxxf 求（1）常数 A；（2）X的分布函数.（1）因为 1)(dxxf.2 分 所以110 xdxA 得 2A.2 分
18、（2）.1 ,1,10 ,2,0 ,0)(0 xxxdxxxFx=.1 ,1,10 ,0 ,02xxxx.4 分 五、（8 分）某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10 件，现从中随机抽取一件，记 .,0 ,1等品没有抽到等品若抽到iiXi，求21XX，的联合分布律.解：设321,AAA分别表示抽到一、二、三等品，1.0)()0,0(321APXXP，6.0)()0,1(121APXXP 3.0)()1,0(221APXXP，0)1,1(21XXP 21XX，的联合分布律为 X2 X1 0 1 0 1 0.1 .8 分（每个 2 分）六、（10 分）设随机变量和的联
19、合概率密度为.,0,10 ,15),(2其它yxyxyxf（1）求边缘概率密度；（2）判断随机变量和是否独立.解：（1）dyyxfxfX),()(.1 分.,0,10 ),1(21522其它xxx.2 分 dxyxfyfY),()(.1 分.,0,10 ,54其它yy.2 分（2）因为)()(),(yfxfyxfYX，所以随机变量和不独立.4 分 七、（8 分）设nXXX,21是总体的一个样本，nxxx,21为一相对应的样本观测值，总体的概率密度为.,0,10 ,)(1-其它xxxf 求参数的矩估计和极大似然估计.解：（1）矩估计1011)(dxxxXE，.2 分 由11A得 XXX11.2 分（2）似然函数1111)()(niinniixxL 对数似然函数iniLnxnLnLnL1)1()(.2 分 令0)(ddLnL，得iniiniLnxnLnxn110 参数的极大似然估计量为niiLnXn1.2 分