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1、七年级数学下册第一单元知识点归纳整式的乘除整式的乘除知识知识 1 1：同底数幂的乘法：同底数幂的乘法1.1.法则法则:a:a aa=a=am mn nm+nm+n(m,n(m,n 都是正整数都是正整数)(1)(1)底数底数 a a 可代单项式可代单项式,也可代表多项式；也可代表多项式；(2)(2)运用该法则时运用该法则时,底数必须相同。底数必须相同。2.2.推广推广:a:a aa aa aa=a=a数数)3.3.逆用逆用:a:am+nm+nm ma am mn np pq qm+n+p+qm+n+p+q(m,n,p,q(m,n,p,q 均为正整均为正整=a=a (m,n(m,n 都是正整数都是
2、正整数)2n2n3m+2n3m+2n例例若若 a a=8,a=8,a=16,=16,则则 a a3m3m2n2n3m3m=。3m+2n3m+2n 解析解析 因为因为 a a=8,a=8,a=16,=16,所以所以 a a4.4.拓展：拓展：=a=aaa=816=128.=816=128.3m3m2n2n知识知识 2:2:幂的乘方幂的乘方1.1.法则法则:(a:(a)=a=a(m,n(m,n 都是正整数都是正整数)底数不变底数不变,指数相乘指数相乘2.2.推广推广:(a:(a)=a=amnmnm m n nm m n n p pmnpmnpm m n nmnmn(m,n,p(m,n,p 都是正整
3、数都是正整数)3.3.逆用逆用:a:a=(a=(a)=(a=(a)(m,n(m,n 都是正整数都是正整数)知识知识 3:3:积的乘方积的乘方1.1.法则法则:(ab):(ab)=a=a b b(n(n 为正整数为正整数)底数分别乘方底数分别乘方.即即:积的乘方积的乘方,等等于把积的每一个因式分别乘方于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘再把所得的幂相乘2.2.推广推广:这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方也适用这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方也适用,如如(abc)(abc)=a=a b b c c(n(n 是正整数是正整数)若所给的幂底数可化为同一个数的幂的形式，可逆用幂的乘
4、方若所给的幂底数可化为同一个数的幂的形式，可逆用幂的乘方化为同底数幂，根据指数的大小确定所给幂的大小关系化为同底数幂，根据指数的大小确定所给幂的大小关系,如如8 8=64=64,4,4=64=64,因此因此 8 8=4=4.202010103030101020203030n nn n n n n nn nn n n nn n m m3.3.利用幂的运算法则比较大小：利用幂的运算法则比较大小：所给幂的指数、底数均不相同所给幂的指数、底数均不相同,且指数较大时且指数较大时,可利用幂的乘方可利用幂的乘方的性质化为同指数的幂的性质化为同指数的幂,根据底数的大小关系确定所给幂的大小根据底数的大小关系确定
5、所给幂的大小关系。关系。知识知识 4 4：整式的乘法：整式的乘法1.1.单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘(1)(1)法则法则:单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相把它们的系数、同底数幂分别相乘乘,对于只在一个单项式里含有的字母对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积则连同它的指数作为积的一个因式。的一个因式。(2)(2)步骤步骤:2.2.单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘(1)(1)法则法则:单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一就是用单项式去乘多项式的每一项项,再把所得的积相加再把所得的积相加.单项式与多项式相乘的依
6、据是乘法分配单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律。律。(2)(2)字母表示字母表示:m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-mc:m(a+b-c)=ma+mb+m(-c)=ma+mb-mc(3)(3)注意事项注意事项:多项式与单项式相乘后仍是多项式多项式与单项式相乘后仍是多项式,积的项数与多项式的项数积的项数与多项式的项数相同相同.在计算时在计算时,不要丢掉多项式中各项前面的符号不要丢掉多项式中各项前面的符号.例例已知已知 xyxy=-6,=-6,求求-xy(x-xy(x y y-3x-3x y y-5y)-5y)的值的值 分析分析 由于乘法运算后由于乘法运算后,所求式中各项的所
7、求式中各项的 x x 的指数总是的指数总是 y y 的指数的指数的一半的一半,故可用幂的运算实现整体代入故可用幂的运算实现整体代入.解解-xy(x-xy(x y y-3x-3x y y-5y)=-x-5y)=-x y y+3x+3x y y+5xy+5xy=-(xy=-(xy)+3(xy+3(xy)+5(xy+5(xy)当当 xyxy=-6=-6 时时原式原式=-(-6)=-(-6)+3(+3(-6)-6)+5(+5(-6)=-1974-6)=-19743.3.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘4 43 32 22 2 4 42 2 3 32 23 3 7 72 2 5 54 4 8 83
8、3 6 62 22 23 3 7 72 2 5 5(1)(1)法则法则:多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项个多项式的每一项,再把所得的积相加再把所得的积相加(2)(2)字母表示字母表示:(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=am-an+bm-bm:(a+b)(m-n)=am+a(-n)+bm+b(-n)=am-an+bm-bm(3)(3)注意事项注意事项:多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,结果仍是多项式结果仍是多项式在合并同类项之前在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积积的项数应该
9、等于两个多项式项数之积,最后的计算结果中不能含有同类项最后的计算结果中不能含有同类项把多项式与多项式相乘所得的积合并同类项后把多项式与多项式相乘所得的积合并同类项后,如果结果中不如果结果中不含某项含某项,那么该项的系数为那么该项的系数为 0 0知识知识 5 5：整式的除法：整式的除法1.1.同底数幂的除法同底数幂的除法(1)(1)法则法则:a:a aa=a=am mn nm mn nm-nm-n(a0,m,n(a0,m,n 都是正整数都是正整数,并且并且 mn)mn)m-n-pm-n-p即即:同底数幂相除同底数幂相除,底数不变底数不变,指数相减指数相减(2)(2)推广推广:a:a aa aa=
10、a=amn+p)mn+p)(3)(3)逆用逆用:a:a0 0m-nm-nm mn np p(a0,m,n,p(a0,m,n,p 都是正整数都是正整数,并且并且=a=a aa(a0,m,m(a0,m,m 都是正整数都是正整数,并且并且 mn)mn)2.2.零指数幂的意义零指数幂的意义a a=1(a0),即=1(a0),即:任何不等于任何不等于 0 0 的数的的数的 0 0 次幂都等于次幂都等于 1.1.3.3.单项式除法法则单项式除法法则单项式相除单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只对于只在被除式里含有的字母在被除式里含有的字母,则连同它的
11、指数作为商的一个因式则连同它的指数作为商的一个因式.4.4.多项式除以单项式法则多项式除以单项式法则(1)(1)法则法则:多项式除以单项式多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个先把这个多项式的每一项除以这个单项式单项式,再把所得的商相加再把所得的商相加.(2)(2)字母表示字母表示:(am+bm-:(am+bm-cm)m=amm+bmm+(cm)m=amm+bmm+(-cm)mcm)m=a+b+(-c)=a+b-c=a+b+(-c)=a+b-c(3)(3)注意事项注意事项:多项式除以单项式多项式除以单项式,应清楚多项式的每一项的符号应清楚多项式的每一项的符号,相除时要相除时要带着符号
12、与单项式相除带着符号与单项式相除.注意运算顺序注意运算顺序,有括号的先算括号里面的有括号的先算括号里面的.乘法公式乘法公式知识知识 1:1:平方差公式平方差公式1.1.平方差公式平方差公式(1)(1)代数表达代数表达:(a+b)(a-b)=a:(a+b)(a-b)=a-b-b;相同为相同为 a a，相反为，相反为 b.b.(2)(2)文字表述文字表述:两个数的和与这两个数的差的积两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的等于这两个数的平方差平方差.(3)(3)重要提示重要提示:公式中的字母公式中的字母 a a 和和 b b 可以是数可以是数,也可以是式子也可以是式子(包包括单项式、多项式等括
13、单项式、多项式等).).(4)(4)变形公式变形公式:(b+a)(-b+a)=a:(b+a)(-b+a)=a-b-b;(-a+b)(-a-b)=(-a);(-a+b)(-a-b)=(-a)-b-b;(-a-b)(a-b)=(-b)(-a-b)(a-b)=(-b)-a-a;2.2.平方差公式的特点平方差公式的特点(1)(1)等号的左边是两个二项式相乘等号的左边是两个二项式相乘,且有两项相同且有两项相同,另外两项互为另外两项互为相反数相反数;(2)(2)等号的右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方等号的右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方例例:计算计算:(1)(-0.1-a)(a-:(1)(
14、-0.1-a)(a-0.1);(2)98102.0.1);(2)98102.解解(1)(-0.1-a)(a-0.1)=(-0.1-a)(0.1+a)=(-0.1)(1)(-0.1-a)(a-0.1)=(-0.1-a)(0.1+a)=(-0.1)-a a=0.01-a=0.01-a;(2)98102=(100(2)98102=(100-2)(100+2)=1002)(100+2)=100-2-2=10000-4=9996.=10000-4=9996.知识知识 2 2：完全平方公式：完全平方公式1.1.完全平方公式完全平方公式(1)(1)代数表达代数表达:(a+b):(a+b)=a=a+2ab+b
15、+2ab+b;(a-b);(a-b)=a=a-2ab+b-2ab+b(2)(2)文字表述文字表述:两个数的和两个数的和(或差或差)的平方的平方,等于它们的平方和等于它们的平方和,加加上上(或减去或减去)它们的积的它们的积的 2 2 倍倍(3)(3)变形公式:a变形公式:a+b+b=(a+b)=(a+b)-2ab;a2ab;a+b+b=(a-b)=(a-b)+2ab;+2ab;2ab=(a+b)2ab=(a+b)-(a-(a+b+b);2ab=(a);2ab=(a+b+b)-(a-b)-(a-b);(a+b)(a+b)=(a-b)=(a-b)+4ab;(a+4ab;(a-b)-b)=(a+b)=
16、(a+b)-4ab;-4ab;2.2.完全平方公式的特点完全平方公式的特点(1)(1)等号的左边是一个二项式的完全平方的形式等号的左边是一个二项式的完全平方的形式;(2)(2)等号的右边是一个二次三项式等号的右边是一个二次三项式,其中有两项是平方的形式其中有两项是平方的形式,另另一项是写成平方项的两项底数乘积的一项是写成平方项的两项底数乘积的 2 2 倍或倍或2 2 倍倍.2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2知识知识 3
17、3 添括号法则添括号法则(1)(1)代数表达代数表达:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c):a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c)(2)(2)文字表述文字表述:添括号时添括号时,如果括号前面是正号如果括号前面是正号,括到括号里的各括到括号里的各项都不改变符号项都不改变符号;如果括号前面是负号如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改括到括号里的各项都改变符号、例变符号、例计算计算:(2a+b-2)(2a-b-2):(2a+b-2)(2a-b-2)分析分析 由于两个括号中含有相同的项和互为相反数的项由于两个括号中含有相同的项和互为相反数的项,故可应故可应用平方差公式计算把用平方差公式计算把 2a-22a-2 看作一项看作一项,b,b 看作另一项看作另一项 解解(2a+b-2)(2a-b-2)=(2a-2)+b(2a-2)-b=(2a-2)(2a+b-2)(2a-b-2)=(2a-2)+b(2a-2)-b=(2a-2)-b-b=4a=4a-8a+4-b-8a+4-b.2 22 22 22 2