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1、 第一章作业解答第 1 页 共 58 页 数学模型作业解答数学模型作业解答 第二章第二章(1)（2008 年年 9 月月 16 日）日）1 1 学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍.学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）.1 中的 Q 值方法；（3）.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前 10 个（10 为席位数），在数字下标以横线，表中 A、B
2、、C行有横线的数分别为 2，3，5，这就是 3 个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从 10 个人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额，将 3 种方法两次分配的结果列表比较.解：解：先考虑 N=10 的分配方案，,432 ,333 ,235321ppp 31.1000iip 方法一（按比例分配）方法一（按比例分配）,35.23111iipNpq ,33.33122iipNpq 32.43133iipNpq 分配结果为：4 ,3 ,3321nnn 方法二（方法二（Q Q 值方法）值方法）9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321nnn 1 2 3 4
3、 5 A B C 235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 第一章作业解答第 2 页 共 58 页 第 10 个席位：计算 Q 值为,17.92043223521Q,75.92404333322Q 2.93315443223Q 3Q最大，第 10 个席位应给 C.分配结果为 5 ,3 ,2321nnn 方法三（方法三（d dHondtHondt 方法）方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321nnn 此方法的道理是：此方法的道理是：记ip和in为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍）.i
4、inp是每席位代表的人数，取,2,1in从而得到的iinp中选较大者，可使对所有的,iiinp尽量接近.再考虑15N的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将 3 种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 2 2 试用微积分方法，建立录像带记数器读数 n 与转过时间的数学模型.解：解：设录像带记数器读数为 n 时，录像带转过时间为 t.其模型的假设见课本.考虑t到tt时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdnwknrvdt两边积分，得
5、 ntdnwknrkvdt00)(2)22 2nwkk(r n vt .2 22nvkwnvrkt 第二章第二章(2)(2)（2002008 8 年年 1010 月月 9 9 日）日）1515速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车 第一章作业解答第 3 页 共 58 页 获得的功率P与v、S、的关系.解解:设P、v、S、的关系为0),(svPf，其量纲表达式为:P=32TML,v=1LT,s=2L,=3ML,这里TML,是基本量纲.量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML 齐次线性方程组为：030032221414321y
6、yyyyyyy 它的基本解为)1,1,3,1(y 由量纲iP定理得 1131svP，113svP ，其中是无量纲常数.1616雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解解：设v,g 的关系为(fv,g)=0.其量纲表达式为v=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，g=LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为 A=)()()()()()()(210101101131g
7、vTML 齐次线性方程组 Ay=0，即 02y-y-y-0 yy0yy-3y-y 431324321 的基本解为 y=(-3,-1,1,1)由量纲iP定理 得 gv13.3gv，其中是无量纲常数.1616*雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘 第一章作业解答第 4 页 共 58 页 滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解解：设v,，g 的关系为0),(gvf.其量纲表达式为 v=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=
8、L-1MT-1，=LM0T0，g=LM0T-2 其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML 齐次线性方程组 Ay=0 即 020035414354321yyyyyyyyyy 的基本解为 )21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21yy 得到两个相互独立的无量纲量 2/112/322/12/11ggv 即 1212/12/31,ggv.由0),(21,得)(121 )(12/12/3gg,其中是未定函数.2020.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物
9、理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为 0),(kgmltf 其量纲表达式为：112120000000)(,LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt10MTL，其中L，M，T是基本量纲.第一章作业解答第 5 页 共 58 页 量纲矩阵为 A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML 齐次线性方程组 02005415342yyyyyyy 的基本解为)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21YY 得到两个相互独立的无量纲量 glt 1,)(21,2/1
10、2/12mgkl )(2/12/1mgklglt ，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；l,l;m,m.又)(2/12/1gml kglt 当无量纲量llmm时，就有 lllggltt.数学模型作业解答数学模型作业解答 第三章第三章 1 1（2002008 8 年年 1010 月月 1414 日）日）1.1.在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少 22/112/112/12/1kgmlgt
11、l 第一章作业解答第 6 页 共 58 页 解：解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本 01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：krrTcTcTC2)(21 2221rcTcdTdC 令0dTdC，解得 rccT21*2 由rTQ ，得212crcrTQ 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：kQQrTrcrQccTQTC23221)(221),(2223322221222TkQrTQcrcrTQcTcTC TkrTQccrTQcQC332 令00QCTC，得到驻点：323222233232132233221)(22cckr
12、cccrkcccccrcQcckcccrccT 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少 2 2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，第一章作业解答第 7 页 共 58 页 rk 在每个生产周期内，开始的一段时间00Tt 一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论rk 和rk 的情况.解：解：由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为 niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()()(lim 又 )()(00
13、TTrTrk TkrT 0,贮存费变为 kTTrkrc2)(2 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221 krkrcTcdTdC2)(221.0dTdC令,得)(221rkrckcT 易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcT rcc，Trk212时当.相当于不考虑生产的情况.，Trk时当.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.rk )(tg r t g T 0T O 第一章作业解答第 8 页 共 58 页 第三章第三章 2 2（2002008 8 年年 1010 月月 1616 日
14、）日）3 3 在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:1)(bkb，分母时是防止中的011bb而加的.总费用函数 xcbkxbxtcbkxbtctcxC3122121211)1()(2)1(2 最优解为 kbkcbbbckbcx)1(2)1()1(223221 5 5在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设tqtq0)(，为增长率.又设单位时间的销售量为)(为价格pbpax.今将销售期分为TtTTt2
15、20和两段，每段的价格固定，记作21,pp.求21,pp的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为0Q，再求21,pp的最优值.解：解：按分段价格，单位时间内的销售量为 TtTbpaTtbpax2,20,21 又 tqtq0)(.于是总利润为 202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqppp=22)(022)(20222011TTttqtpbpaTttqtpbpa=)8322)()822)(20222011TtqTpbpaTTqTpbpa)(2)822(12011bpaTTTqTpbp 第一章作业解答第 9 页 共 58 页)(2)83
16、22(22022bpaTTtqTpbp 0,021pp令,得到最优价格为:)43(21)4(210201TqbabpTqbabp 在销售期 T 内的总销量为 20221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ 于是得到如下极值问题：)8322)()822)(),(max2022201121TtqTpbpaTTqTpbpapp ts.021)(2QppbTaT 利用拉格朗日乘数法，解得：880201TbTQbapTbTQbap 即为21,pp的最优值.第三章第三章 3 3（2002008 8 年年 1010 月月 2121 日）日）6 6.某厂每天需要角钢 100 吨，不允许
17、缺货.目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为 2500元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：解：已知：每天角钢的需要量 r=100(吨);每次订货费1c2500（元）;每天每吨角钢的贮存费2c0.18（元）.又现在的订货周期 T030（天）第一章作业解答第 10 页 共 58 页 根据不允许缺货的贮存模型：krrTcTcTC2121)(得：kTTTC10092500)(令 0dTdC，解得：35092500*T 由实际意义知：当350*T（即订货周期为350）时，总费用将最小.又kTC1003509502
18、5003)(*300100k kTC100309302500)(0=35333100k)(0TC)(*TC（353.33100k）（300100k）325333.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T*=350，能节约费用约 5333 元.数学模型作业解答数学模型作业解答 第第四四章（章（2002008 8 年年 1010 月月 2828 日）日）1.1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料 1 千克,B原料 5 千克；一件乙产品用A原料 2 千克,B原料 4 千克.现有A原料 20 千克,B原料 70 千克.甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入
19、最大？解：解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S 则此问题的数学模型为：max S=20 x+30y s.t.Zyxyxyxyx,0,7045202 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线1l：x+2y=20,2l:5x+4y70 2l y 以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域.925002TdTdC 第一章作业解答第 11 页 共 58 页 直线l：20 x+30y=c 在可行域内 l 平行移动.易知：当l过1l与2l的交点时，1l x S 取最大值.由7045202yxyx 解得510yx 此时 maxS2053010350（元）2.2.某
20、厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米，重量不超过 13 百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,2x,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为 211020 maxxxz Zyxxxxxxxst,0,13522445212121 这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线 2445:211 xxl 1352:212 xxl 及0,021xx组
21、成直线 cxxl211020:在此凸四边形区域内平行移动.2l l 1x 1l 2x 第一章作业解答第 12 页 共 58 页 易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由135224452121xxxx 解得 1421xx 90110420maxz.3 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2 和 3个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于 6 台和 12 台.试建立一个数学
22、模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为 S.则此问题的数学模型为：max S=3x+2y s.t.Zyxyxyxyx,12,61202410032 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解 可行域为：由直线1l：2x+3y=100,2l:4x+2y120 及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域.直线l：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过1l与2l的交点时,S 取最大值.由1202410032yxyx 解得 第一章作业解答第 13 页 共 58 页 2020yx.maxS3202201
23、00.数学模型作业解答数学模型作业解答 第五章第五章 1 1（20082008 年年 1111 月月 1212 日）日）1.1.对于 5.1 节传染病的SIR模型，证明：（1）若处最大先增加，在则1)(,10stis，然后减少并趋于零；)(ts单调减少至.s （2）.)()(,10ststis单调减少至单调减少并趋于零，则若 解：解：传染病的SIR模型（14）可写成 i sdtdssidtdi)1(.)(lim 0.(t).)(.0,t存在而单调减少知由stsstsdtdsi sdtds.)(sts单调减少至故（1）.ss(t).s(t).100单调减少由若s ;)(,0 .01,10单调增加
24、时当tidtdisss .)(,0 .01,1单调减少时当tidtdiss .0)(lim .0)18(ttii即式知又由书上 第一章作业解答第 14 页 共 58 页 .)(.0,1mitidtdis达到最大值时当（2）.0 0.1-s ,1,10dtditss从而则若 .0.0limititit即单调减少且 4 4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4ba 初始兵力00yx 与相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解解:用 tytx,表示甲
25、、乙交战双方时刻 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:000,01 ,yyxxbxdtdyaydtdx 现求(1)的解:(1)的系数矩阵为00baA ababbaAE1,22 .0 1212,21，对应的特征向量分别为 tabtabeCeCtytx1212121的通解为.再由初始条件，得 第一章作业解答第 15 页 共 58 页 2 220000tabtabeyxeyxtx 又由.1aybxdxdy可得 其解为 3 ,202022bxaykkbxay而(1).231000202011yabyabxayaktytx 时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令.0222,01100
26、001tabtabeyxeyxtx）得由（注意到000020022,1xyyxeyxtab得.43ln ,3121btetab(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则 000,)0(4 yyxxbxdtdyraydtdx .,4rdyaydybxdxbxraydydx即得由 相轨线为,222kbxryay.222220.020karbxaryabxryayk或 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了 第一章作业解答第 16 页 共 58 页.ar乙方取胜的条件为.,0222020arxabaryk亦即 第五章第五章 2 2（20082008 年年 1111 月月 1414 日）日
27、）6.6.模仿 5.4 节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射 3 种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解解:设给药速率为 ,0VtCtxtf容积为血药浓度为中心室药量为 .,0/tVCtxtftkxtxk则排除速率为常数(1)快速静脉注射:设给药量为,0D 则 .,0,0000tkeVDtCVDCtf解得(2)恒速静脉滴注(持续时间为):设滴注速率为 ,00,000Cktfk，则解得 teeVkkteVkktCtkktkt,10 ,100(3)口服或肌肉注射:，解得）式节（见134.5010010tkeDktf
28、 010101001 ,01kkteVkDkkeekkVDktCkttkkt 3 种情况下的血药浓度曲线如下：中心室 tC,tx V k 排除 tf0 第一章作业解答第 17 页 共 58 页 第五章第五章 3 3（20082008 年年 1111 月月 1818 日）日）8.8.在 5.5 节香烟过滤嘴模型中,(1)设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021asmmbmmlmmlmgM 求./21QQQ和 (2)若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l处的情况下，进入人体毒物量的区别.解解)(857563.229102.07.050103.0150800
29、2.07.0502008.0/01/2毫克eeeebavawQvblavl 10/10lMw其中，97628571.0502002.008.0212eeQQvlb(1)(2)(3)O t 第一章作业解答第 18 页 共 58 页(2)对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为vblaebavawQ103 只吸到1l处就扔掉的情况下的毒物量为vblavbleebavawQ12104.256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.0431111eeeeeeeeeeeeeeeeQQvablvblvab
30、lvblvblavblvblavbl44.235,84.29543Q 4 4在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4ba 初始兵力00yx 与相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解解:用 tytx,表示甲、乙交战双方时刻 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:000,01 ,yyxxbxdtdyaydtdx 现求(1)的解:(1)的系数矩阵为00baA ababbaAE1,22 .0 第一章作业解答第 19 页 共 58 页 1212,2
31、1，对应的特征向量分别为 tabtabeCeCtytx1212121的通解为.再由初始条件，得 2 220000tabtabeyxeyxtx 又由.1aybxdxdy可得 其解为 3 ,202022bxaykkbxay而(1).231000202011yabyabxayaktytx 时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令.0222,01100001tabtabeyxeyxtx）得由（注意到000020022,1xyyxeyxtab得.43ln ,3121btetab(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则 000,)0(4 yyxxbxdtdyraydtdx 第一章
32、作业解答第 20 页 共 58 页 .,4rdyaydybxdxbxraydydx即得由 相轨线为,222kbxryay.222220.020karbxaryabxryayk或 此相轨线比书图 11 中的轨线上移了.ar乙方取胜的条件为.,0222020arxabaryk亦即 数学模型作业解答数学模型作业解答 第第六六章（章（2002008 8 年年 1111 月月 2020 日）日）1.在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数 h(1)分别就4/rNh，4/rNh，4/rNh这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2)
33、如何获得最大持续产量，其结果与 6.1 节的产量模型有何不同 解解：设时刻 t 的渔场中鱼的数量为 tx，则由题设条件知：tx变化规律的数学模型为 hNxrxdttdx)1()(记hNxrxxF)1()(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由 0 xF，得0)1(hNxrx 即 102hrxxNr)4(42NhrrNrhr ，(1)的解为：2412,1NrNhNx 当4/rNh，0，(1)无实根，此时无平衡点；第一章作业解答第 21 页 共 58 页 当4/rNh，0，(1)有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxF2)1()(，0)(0 xF 不能断定其稳定性.但0 xx
34、 及0 xx 均有04)1()(rNNxrxxF，即0dtdx0 x不稳定；当4/rNh，0时，得到两个平衡点：2411NrNhNx，2412NrNhNx 易知：21Nx ，22Nx ，0)(1xF，0)(2xF 平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.(2)最大持续产量的数学模型为 0)(.maxxFtsh 即)1(maxNxrxh，易得 2*0Nx 此时 4rNh，但2*0Nx 这个平衡点不稳定这是与 6.1 节的产量模型不同之处 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx，且尽量接近2N，但不能等于2N 2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：xNrxtxl
35、n 其中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Exh讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0 x 解：解：tx变化规律的数学模型为 ExxNrxdttdxln 记 ExxNrxxFln)(令 0 xF，得0ln ExxNrx rENex0，01x x Nxrx/1 2x 2/N 1x 4/rNh 4/rNh 4/rNh 第一章作业解答第 22 页 共 58 页 平衡点为1,0 xx.又 ErxNrxF ln，10,0 xFrxF 平衡点ox是稳定的，而平衡点1x不稳定.xN
36、rxln erN 最大持续产量的数学模型为：.0,0ln.maxxExxNrxtsExh 由前面的结果可得 rEENeh rErEerENNedEdh，令.0dEdh 得最大产量的捕捞强度rEm从而得到最大持续产量erNhm/，此时渔场鱼量水平eNx*0 3设某渔场鱼量)(tx(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrxdttdx 其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.10求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20试确定捕捞强度mE,使渔场单位时间内具有最大持续产量mQ,求此时渔场鱼量水平*0 x.解解：10)(tx变化规律的数学模型为 hNxrx
37、dttdx)1()(记hNxrxxf)1()(,令 0)1(hNxrx，即 02hrxxNr-（1）)4(42NhrrNrhr ，（1）的解为：2412,1NrNhNx 当0时，（1）无实根，此时无平衡点；y Exy xfy x 0 x 0 eN 第一章作业解答第 23 页 共 58 页 当0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx.NrxrNrxNxrxf2)1()(，0)(0 xf 不能断定其稳定性.但0 xx 及0 xx 均有04)1()(rNNxrxxf，即0dtdx0 x不稳定；当0时，得到两个平衡点：2411rNhNNx，2412rNhNNx 易知 21Nx ，22Nx 0)(
38、1xf，0)(2xf 平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.20最大持续产量的数学模型为：0)(.maxxftsh 即)1(maxNxrxh，易得 2*0Nx 此时 4rNh，但2*0Nx 这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx,且尽量接近2N,但不能等于2N.数学模型数学模型第七章第七章作业作业（2002008 8 年年 1212 月月 4 4 日）日）1对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和第k时段的数量1kx和kx决定，如果仍设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条
39、件，并与 7.1 节的结果进行比较.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy 和 第一章作业解答第 24 页 共 58 页)2(11kkkyygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.数学模型作业解答数学模型作业解答 第第七七章（章（2002008 8 年
40、年 1212 月月 4 4 日）日）2 对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和第k时段的数量1kx和kx决定，如果仍设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条件，并与 7.1 节的结果进行比较.（2）若除了1ky由1kx和kx决定之外，1kx也由前两个时段的价格ky和1ky确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：)()2(111kkkkkyhxxxfy 在),(000yxP点附近用直线来近似曲线hf,，得到 )2(0 ,)()1(0)
41、,2(0010101yyxxxxxyykkkkk 由（2）得 )3()(0102yyxxkk 第一章作业解答第 25 页 共 58 页（1）代入（3）得 )2(0102xxxxxkkk 0012222 xxxxxkkk 对应齐次方程的特征方程为 02 2 特征根为48)(22,1 当8时，则有特征根在单位圆外，设8，则 248)()4(2222,1 2 12,1 即平衡稳定的条件为2 与207P的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000yxP处附近的直线近似表达式分别为：)5(0 ,)2()4(0),2(01010101yyyxxxxxyykkkkkk 由（5）得，)()yyy(y
42、)x(xkkk62010203 将（4）代入（6），得 )2()2()(20101203xxxxxxxxkkkkk 001234424 xxxxxxkkkk 对应齐次方程的特征方程为(7)024 23 代数方程（7）无正实根，且42,不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,，则 第一章作业解答第 26 页 共 58 页 424321133221321 对（7）作变换：,12 则 ,03qp 其中)6128(41 ),122(412233322qp 用卡丹公式：33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2
43、(2pqqwpqqwpqqwpqqwpqqpqq 其中,231iw 求出321,，从而得到321,，于是得到所有特征根1的条件.2已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy 和)2(11kkkyygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(kkxfy 和)2(11kkkyygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)(00 xxyykk -（1）0,)2(0101yyyxxkkk -（2）
44、从上述两式中消去ky可得 第一章作业解答第 27 页 共 58 页 ,2,1,)1(22012kxxxxkkk，-（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022 容易算出其特征根为 48)(22,1 -（4）当8 时，显然有 448)(22 -（5）从而2 2，2在单位圆外下面设8，由(5)式可以算出 22,1 要使特征根均在单位圆内，即 2,11，必须 2 故0P点稳定平衡条件为 2 3 已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期.设该
45、商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx.设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g：0,)2(0101xxxyykkk -（1）0,)(001yyxxkk -（2）由（2）得 )(0102yyxxkk -（3）（1）代入（3），可得)2(0102xxxxxkkk 第一章作业解答第 28 页 共 58 页 ,2,1,2220012kxxxxxkkk，-（4）上述（4）式是我们所建立的差分
46、方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022 容易算出其特征根为 48)(22,1 -（4）当8 时，显然有 448)(22 -（5）从而2 2，2在单位圆外下面设8，由(5)式可以算出 22,1 要使特征根均在单位圆内，即 2,11，必须 2 故0P点稳定平衡条件为 2 数学模型作业解答数学模型作业解答 第第八八章（章（2002008 8 年年 1212 月月 9 9 日）日）1 证明 8.1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质：（1）A的秩为 1，唯一非零特征根为n；（2）A的任一列向量都是对应于n的特
47、征向量.证明：证明：（1）由一致阵的定义知：A满足 ikjkijaaa，nkji,2,1,于是对于任意两列ji,，有ijjkikaaa，nk,2,1.即i列与j列对应分量成比例.从而对A作初等行变换可得：第一章作业解答第 29 页 共 58 页 00000011211nbbbA初等行变换 B 这里0B.1B秩，从而秩 1A 再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P，使BPA，于是 0000001121111ncccBPPAPC 易知 C 的特征根为0,0,11c（只有一个非零特征根）.又AC，A与 C 有相同的特征根，从而 A 的非零特征根为11c，又对于任意矩阵有 naaaATr
48、nnn111221121.故 A 的唯一非零特征根为n.（2）对于 A 的任一列向量Tnkkkaaa,21，nk,2,1 有 TnkkknkkknjnknjknjknjjknjnjjkjnjjkjTnkkkaaannananaaaaaaaaaaaaaA,2121112111121121 A的任一列向量Tnkkkaaa,21都是对应于n的特征向量.7.右下图是 5 位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出 5 位选手的名次.解：解：这个 5 阶竞赛图是一个 5 阶有向 Hamilton 图.其一个有向 Hamilton 圈为 332541.所以此竞赛
49、图是双向连通的.2 1 3 4 5 第一章作业解答第 30 页 共 58 页 321541354242135 41325 等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为 0011110100000010110001010A 令Te1,1,1,1,1，各级得分向量为 TAeS3,2,1,2,21，TASS5,4,2,3,412，TASS9,7,4,6,723，TASS17,13,7,11,1334 由此得名次为 5，1（4），2，3 （选手 1 和 4 名次相同）.注：注：给 5 位网球选手排名次也可由计算 A 的最大特征根和对应特征向量S得到：8393.1，TS2769.0,2137.0,1162.0,
50、1794.0,2137.0 数学模型作业数学模型作业（12 月月 16 日）解答日）解答 1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层 准则层 方案层 越海方案的最优经济效益 省时 收入 岸 间商 业 当地商业 建 筑就 业 建桥梁 修隧道 设渡轮 第一章作业解答第 31 页 共 58 页 2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪 3 个层次？具体内容分别是什么？答答：层次分析法的基本步骤为：（1）建立层次结构模型；