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1、20202020 年普通高等学校招生全国统一考试新高考年普通高等学校招生全国统一考试新高考数数学学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目
2、要求的。1设集合A=x|1x3，B=x|2x4，则AB=Ax|2x3Cx|1x422i1 2i Bx|2x3 Dx|1xn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为nC若mn0，则C是两条直线10下图是函数y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=mnAsin(x）3Bsin(2x)Ccos(2x）Dcos(3652x)611已知a0，b0，且a+b=1，则Aa2b212B2abDa b 212Clog2a log2b 212 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,n，且P(X i)pi 0(i 1,2,n),pi1，定义X的信息熵H(
3、X)pilog2pi.i1i1nnA若n=1，则H(X)=0B若n=2，则H(X)随着pi的增大而增大C若pi(i 1,2,n)，则H(X)随着n的增大而增大D 若n=2m，随 机 变 量Y所 有 可 能 的 取 值 为1,2,m，且P(Y j)pj p2m1 j(j 1,2,m)，则H(X)H(Y)1n第 3 页 共 14 页三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=_14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_
4、15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，BHDG，35EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm216已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算分。解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。步骤。17（10 分）在ac 3，csin A 3，c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A 3sin B，C，_?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分第 4 页 共 14 页18（12 分）已知公比大于1的等比数列an满足a2 a4 20,a3 8（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100第 5 页 共 14 页19（12 分）为
6、加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：SO2PM2.50,50(50,150(150,4750,35(35,75(75,1153263188741210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？n(ad bc)2附：K，(ab)(cd)(ac)
7、(bd)2P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828第 6 页 共 14 页20（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值第 7 页 共 14 页21（12分）已知函数f(x)aex1ln xlna（1）当a e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围第 8 页 共 14 页22（12分）x2y22已知椭圆C：221(a b
8、0)的离心率为，且过点A（2，1）ab2（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值第 9 页 共 14 页20202020 年普通高等学校招生全国统一考试新高考年普通高等学校招生全国统一考试新高考数数学参考答案学参考答案一、选择题1C5C二、选择题9ACD三、填空题131632D6B3C7A4B8D10BC11ABD12AC143n22n155 421622四、解答题17解：方案一：方案一：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2
9、由ac 3，解得a 3,b c 1因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 1方案二：方案二：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b232，由此可得b c，B C，A263由csin A 3，所以c b 2 3,a 6因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 2 3方案三：方案三：选条件第 10 页 共 14 页a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2由c 3b，与b c矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18解：（
10、1）设an的公比为q由题设得a1q a1q3 20，a1q28解得q （舍去），q 2由题设得a1 2所以an的通项公式为an 2n（2）由题设及（1）知b1 0，且当2n m 2n1时，bm n所以S100 b1(b2 b3)(b4 b5 b6 b7)(b32 b33 b63)(b64 b65 b100)12 012 222323 4245256(10063)48019解：（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的天数为3218 68 64,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的概率的
11、估计值为（2）根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.564 0.641000,150(150,4750,75(75,115264101610100(64101610)2 7.484（3）根据（2）的列联表得K 80207426由于7.484 6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓第 11 页 共 14 页度有关20解：（1）因为PD底面ABCD，所以PD AD又底面ABCD为正方形，所以AD DC，因此AD底面PDCBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC因为ADAD因此l 平面PDC由已知得l（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的
12、空间直角坐标系D xyz则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC (0,1,0)，PB (1,1,1)由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ (a,0,1)ax z 0,n nDQ 0,设n n (x,y,z)是平面QCD的法向量，则即y 0.n nDC 0,可取n n (1,0,a)所以cosn n,PB n nPB1 a|n n|PB|3 1 a23|a 1|32a12233a 11 a设PB与平面QCD所成角为，则sin因为32a612，当且仅当a 1时等号成立，所以PB与平面QCD所成3a 13角的正弦值的最大值为21解：63f(x)的定义域为(0,
13、)，f(x)aex11x（1）当a e时，f(x)exlnx 1，f(1)e1，曲 线y f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 为y(e1)(e1)(x 1)，即第 12 页 共 14 页y (e1)x 2直线y (e1)x 2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2e 12，2e 1（2）当0 a 1时，f(1)a lna 1当a 1时，f(x)ex1lnx，f(x)ex1当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0所以当x 1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1当a 1时，f(x)aex1lnx lna ex1lnx 1综上，a的取
14、值范围是1,)22解：41a2b21，解得a2 6，b2 3（1）由题设得221，2aba21xx2y2所以C的方程为163（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y kx m，x2y2代入1得(1 2k2)x2 4kmx 2m26 0634km2m26,x1x2于是x1 x2 1 2k21 2k2由AM AN知AM AN 0，故(x1 2)(x2 2)(y11)(y21)0，可得(k21)x1x2(kmk 2)(x1 x2)(m1)2 4 02m264km(kmk 2)(m1)2 4 0将代入上式可得(k 1)221 2k12k2整理得(2k 3m
15、 1)(2k m 1)0因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k m1 0，故2k 3m1 0，k 1于是MN的方程为y k(x)(k 1).所以直线MN过点P(,).若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,y1).23132313第 13 页 共 14 页由AM AN 0得(x1 2)(x1 2)(y11)(y11)0.x12y122又1，可得3x128x1 4 0.解得x1 2（舍去），x1.63321此时直线MN过点P(,).33令Q为AP的中点，即Q(,).若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|AP|若D与P重合，则|DQ|AP|.综上，存在点Q(,)，使得|DQ|为定值.4 13 3124 13 3122 2.3第 14 页 共 14 页