2019年全国各地区高考数学真题试卷与解析汇编.pdf-淘文阁

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1、2019年全国各地区高考数学真题试卷与解析汇编2019年全国I理科高考数学试卷.22019年全国I文科高考数学试卷.62019年全国I I理科高考数学试卷.102019年全国I I文科高考数学试卷.132019年全国HI理科高考数学试卷.162019年全国III文科高考数学试卷.212019年北京理科高考数学试卷.252019年北京文科高考数学试卷.282019年天津理科高考数学试卷.312019年天津文科高考数学试卷.342019年江苏省高考数学试卷.362019年浙江省高考数学试卷.402019年上海春季高考数学试卷.442019年上海秋季高考数学试卷.472019年全国I理科高考数学试卷

2、一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 =口|-4 2,N=X|X2-X-6 0 ,则 M N=()A.x|-4x3B.x|-4x-2 C.x-2 x 2D.x|2x3)2.设复数z 满足z 在复平面内对应的点为（x,y）,贝 IJ（）A.(x+l)2+y2=l B.(%-l)2+y2=1 C.x2+(y-l)2=l3.已知a=k)g20.2,b=202,c=0.2(,J,贝 ij()A.a b c B.ac b C.c a bD.x2+(y+l)2=lD.b c 0/0)的左、右焦点分别为E，玛，过耳的直线与c的两

3、条渐近线分别交于A ,8两点.若耳A =A 3,FtB F2B=0,则C的离心率为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共 60分。17.(1 2 分)&4 8c的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .设(s i n B-s i n C)2=s i n?A -s i n B s i n C.(1)求 A ；(2)j la +h =2c ,求s i n C.18.(12分)如图，直四棱柱A8CD-A4 GR 的底面是菱形，A 4,=4

4、,AB =2,Z B A D =6 0 ,E,M ,N 分别是B C,BBi，的中点.(1)证明：M N/平面CQ E；(2)求二面角A-M A-N 的正弦值.19.(12分)已知抛物线C：V=3 x的焦点为尸，斜率为之的直线/与C的交点为A ,B,2与x 轴的交点为尸.(1)若|A F|+|8 F|=4,求/的方程；(2)若 A P=3 P B,求|A B|.20.(12分)已知函数/(x)=s i n x-历(1+x),_ f(x)为 f(x)的导数.证明:(1)/(X)在区间(-1,)存在唯一极大值点：(2)f(x)有且仅有2 个零点.2 1.(1 2 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两

5、种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时;就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求 X的分布列；(2

6、)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，化。=0,1,，8)表示甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 P o=O,8=1，Pi=a Pi +bp.+c pM(z =l,2,，7),其中 a =P(X=-l),b =P(X=0),c =P(X =l).假设 a =0.5,尸=0.8.证明：加 _ R(i =0，1，2,7)为等比数列；(日)求凡，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)1-r2 2.(1 0 分)在直角坐标系X。)，中

7、，曲线C的参数方程为，1；：。为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2/7 c os 0+V 3/?s i n 0+1 =0.(1)求 C和/的直角坐标方程；(2)求 C上的点到/距离的最小值.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.己知a,b,c 为正数，且满足a b c =l.证明：第 4 页共 5 0 页1-+a2。+1-a2019年全国I文科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 z =-，则 I z|=()1+万

8、A.2 B.百 C.y2 D.12 .已知集合。=1,2,3,4,5,6,7 ,A =2,3,4,5,8 =2,3,6,7,贝 ij B ,A=()A.1 ,6 B.1 ,7 C.6 ,7 D.1 ,6,7 3 .已知a =l og2().2,bl,c=0.203,贝 l j()A.a b c B.a c b C.c a b D.b c 0,b 0）的一条渐近线的倾斜角为130。，则 C 的离心率为（a b)A.2 sin 40B.2 cos 40 C.J D.-sin 50 cos5011.AABC的内角A,1bcos A=，则一=(4 cB,C 的对边分别为a,b,c,已知 asin A-

9、Z?sin8=4c sinC,)A.6 B.5 C.4 D.312.已知椭圆C 的焦点为片(-1,0),g(1,0),过鸟的直线与 C 交于 A,B两点.若|你|=2印|ABH BFt,则 C 的方程为()二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.曲线y=3(X2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.a14.记 5,为等比数列 4 的前项和，若 q=l,S3=-,则.15.函数/(x)=sin(2x+)-3cosx 的最小值为.16.已知NAC8=90。，尸为平面A8C外一点，PC=2,点 P 到 NACB两边4C,BC的距离均为6,那么尸

10、到平面ABC的距离为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共 60分。17.(12分)某商场为提高服务质量，随机调查了 5 0 名男顾客和5 0 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？满意不满意男顾客4010女顾客3020_ n(ad-be)2(+b)(c+0,求使得的的取值范围.19.(12分)

11、如图，直四棱柱A B C O-A gC Q 的底面是菱形，A4,=4,AB=2,ZBAD=60,E,M ,N 分别是BC,BBi，A。的中点.(1)证明：河/平面。1。：；(2)求点C 到平面C Q E的距离.B第8页共5 0页2 0.(1 2 分)已知函数/(x)=2 s inx-x co s x-x,./为/(x)的导数.(1)证明：r(x)在区间(0,万)存在唯一零点；(2)若x e 0,%时,f(x).a x ,求a的取值范围.2 1.(1 2 分)已知点A ,3关于坐标原点。对称，|45 1=4,M过点4,B且与直线x +2 =0相切.(1)若 A在直线x+y =0 上，求M 的半

12、径；(2)是否存在定点P,使得当A运动时，4 1TMp|为定值？并说明理由.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)1-尸X=2，2 2.(1 0 分)在直角坐标系x O)，中，曲线C的参数方程为|+/。为参数).以坐标原4z点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2 p co s 0 +V 3 p s in0 +1 1 =0.(1)求 C和/的直角坐标方程；(2)求 C上的点到/距离的最小值.选修 45：不等式选讲(10分)2

13、 3.已知a,b,c 为正数，且满足a b c、=l.证明：(1)-+-+a2 4-Z72+c2;a b c(2)(a +b)3+s+c)3 +(+a)，2 4.2019年全国II理科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A=x*-5x+60,8=x|x-l b,则(A.In(a-Z?)0）B.平均数B.30)A.性RW，C.心3=3 ,则 r 的近似值为（)D.勿A.a 内有无数条直线与夕平行C.a,夕平行于同一条直线B.D.内有两条相交直线与平行,夕垂直于同一平面aa8.若抛物线丁=2Px（P 0）

15、域为R,满足x +l)=2/(x),且当x e(O,1 时，/(x)=x(x -1).若对任意X G(Y O,川，都有f(X)则机的取值范围是()A.(-0 0 ,B.(-0 0 ,C.(-c o ,D.(-0 0 ,-4 3 2 3二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20分。13 .我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正点率为0.9 7,有 20个车次的正点率为0.9 8,有 10个车次的正点率为0.9 9,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.14 .已知/(x)是奇函数，且当x 0 时，=若/(加2)=8,则=.15 .A 4

16、B C 的内角 4,B,C 的对边分别为 a,b,c .若 6 =6,a =2c ,B=-,则 A 4 8 C3的面积为.16 .中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为4 8 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1 .则该半正多面体共有个面，其棱长三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7 21题为必考题，每个试

17、题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 6 0分。17 .(1 2 分)如图，长方体A88-ABC。的底面A 8 C。是正方形，点 E在棱A A,上，B E L EQ.(1)证明：平面EBG；(2)若 A E =A,求二面角8-EC-G的正弦值.18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束

18、.（1）求 P（X =2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.19.（12分）已知数列 ,和满足4 =1,4=0,4%=34-+4,他m=3 2-4,-4.（1）证明：q+4 是等比数列，q-%是等差数列;（2）求 ”“和 4 的通项公式.V _1_ 120.（12分）己知函数/（x）=/n x-x-1（1）讨论了（X）的单调性，并证明“X）有且仅有两个零点；（2）设/是/（x）的一个零点，证明曲线y=在点A（x ,/，/）处的切线也是曲线y=e，的切线.21.（1 2分）已知点A（-2,0）,8（2,0），动点M（x,y）满足直线AM与 5M的斜率之积为一!.记2M 的轨迹为曲线C.（

19、1）求 C的方程，并说明c是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于 P,。两点，点 P在第一象限，轴，垂足为E,连结 QE 并延长交C于点G .证明：A P Q G 是直角三角形；（）求尸 QG面积的最大值.（二）选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22.（1 0 分）在极坐标系中，。为极点，点用（外，%）（夕 0 0）在曲线。:夕=4$山，上，直线/过点4（4,0）且与。M 垂直，垂足为P.（1）当时，求4及/的极坐标方程；（2）当M 在 C上运动且尸在线段OM上时，求 P点轨迹的极坐标方程.

20、选修4-5：不等式选讲（10分）2 3.已知函数/（方）=|-“|万+|尤-2|（-4）.（1）当。=1 时，求不等式/（x）0 的解集；（2）当x e（f o,l）时，/（x）0,求a的取值范围.第 1 2 页共 5 0 页2019年全国II文科高考数学试卷一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=x -1,B=xx 2,则 A B=()A.(l,+oo)B.S,2)C.(-1,2)D.02.设 z=i(2+i),贝 l 5=()A.1 +2/B.-l+2z C.1-2/D.-1-2/3.己知向量a=(2,3)

21、,。=(3,2),则|a 切=()A.V2B.2 C.5x/2D.504.生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标.若从这5 只兔子中随机取出3只，则恰有2 只测量过该指标的概率为()2 3 2 1A.-B.-C.-D.-3 5 5 55.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.设f(x)为奇函数，且当X.0时，f (x)=ex-,则当x 0)两个相邻

22、的极值点，则。=()4 431A.2 B.-C.1 D.-2 29.若抛物线V=2 p x(p 0)的焦点是椭圆工+亡=1的一个焦点，贝 Up=()3 PA.2 B.3 C.4 D.810.曲线y=2sinx+cosx在点(肛一 1)处的切线方程为()A.x-y-z r-l=0 B.2 x-y-2%一 1 =0 C.2x+)-2 万 +1 =0 D.x+y-%+l=0jr11.已知 a (0,),2sin2a=cos2a+1,则 sina=()2A.1 B.且 C.D.还5 5 3 52 21 2.设 F 为双曲线C:=-当=l(a0力 0)的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆

23、a b-与圆/+尸=/交于 p,。两点，若|P Q|=|O F|,则C 的离心率为()A.V2 B.6 C.2 D.V5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。2 x +3 y-6.0,1 3 .若变量x,y满足约束条件x +），-3,0,则z=3 x-y的最大值是.y-2,0,1 4 .我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有1 0个车次的正点率为0.9 7,有2 0个车次的正点率为0.9 8,有1 0个车次的正点率为0.9 9,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.1 5 .A A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b si

24、n A+a c o sB=0 ,则3=.1 6.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为4 8的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1 ,则该半正多面体共有个面，其棱长为_.图1 图2三蒜答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1 7 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共6

25、 0分。1 7.（12分）如图，长方体A B C D-A 8c.的底面A 8C O是正方形，点E在棱A4,上，B E L EQ.（1）证明：平面E B C；（2）若A E =A E，AB=3,求四棱锥的体积.1 8.（1 2分）已知 4的各项均为正数的等比数列，q=2,4=2%+1 6.（1）求”,的通项公式；（2）设,=l o g 2 4，求数列 “的前项和.1 9.（1 2分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 1 0 0个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组-0.2 0 ,0)0,0.2 0)0.2 0 ,0.

26、4 0)0.4 0 ,0.60)0.60,0.8 0)第 1 4 页共 5 0 页企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于4 0%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.0 1）附：7 7 4*8.60 2 .2 22 0.（1 2 分）已知片，是椭圆C：A+斗的两个焦点，P 为 C上的点，。为a b坐标原点.（1）若A PO 鸟为等边三角形，求 C的离心率；（2）如果存在点尸，使得尸4 _ 1,尸鸟，且心的面积等于 1 6,求b的值和a的取值范围.2 1.（

27、1 2 分）已知函数/（x）=（x-1）/n x-x-l .证明：（1）/（X）存在唯一的极值点;（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（-）选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）2 2.（1 0 分）在极坐标系中，。为极点，点M（A，4）3 0）在曲线C：0 =4 s i n。上，直线I过点4 4,0）且与OM垂直，垂足为P.（1）当%=5时，求为及/的极坐标方程；（2）当M 在C上运动且P 在线段OM上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲（10分）2 3.已知函

28、数/。）=|-“|+|-2|（-）.（1）当。=1 时，求不等式f（x）0的解集；（2）当x w（7 o,l）时,/（x）,“是第1 6页共5 0页EA.B.C.D.B M =EN,B M 于 EN,B M =E N,B M w EN,且直线B M,且直线B M，且直线旦直线B M，E N是相交直线E N是相交直线E N是异面直线E N是异面直线9.执行如图所示的程序框图，如果输入6 为 0.01,则输出的s 值等于（）x=l,s=0开始结束 Xx=2A.2 B.2-C.2 7 D.2 24 25 26 272 210.双曲线C:工-工=1 的右焦点为尸，点 P在 C的一条渐近线上，。为坐

29、标原点,4 2|尸。|=|尸产 1，则A P F。的面积为（）A.B.C.2收 D.3应4 211.设/（x）是定义域为R 的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则（）若1-43 2B2 33)/(2 刁_3 2|c./(2)/(2-O/(log3-)23D./(2 5)/(2)/(,-)12.设函数划=411(5+令(0 0),已知/(x)在 0,2列有且仅有 5 个零点.下述四个结论：/(%)在(0,2万)有且仅有3 个极大值点/(%)在(0,2万)有且仅有2 个极小值点/(x)在(0,3单调递增口的取值范围是羡，蚤)其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.二、填空题：本题共4

30、小题，每小题5 分，共 20分。13.己知a ,人为单位向量，且。方=0,若c =2 a-M b ,W ijc os v a,c =_ _.14.记 S,为等差数列伍“的前项和，若“产 0,/=3 q,则乎=.2 215.设、，鸟为椭圆C:|+1=1 的两个焦点，M 为 C上一点且在第一象限，若耳耳为等腰三角形，则的坐标为.16.学生到工厂劳动实践，利用 3。打印技术制作模型，如图，该模型为长方体A B C D-141s C，挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,分别为所在棱的中点，A B=B C =6 c m ,AA,

31、=4c m ,3。打印所用原料密度为0.9 g/c m3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共 60分。1 7 .为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 2 0 0 只小鼠随机分成A、B两组，每组 1 0 0 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：)频率/组距+频率/组距1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 Z

32、5百分比055.2/69ooO2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 百分比甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记 C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5 ,根据直方图得到P(C)的估计值为 0.7 0.(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代第 1 8 页共 5 0 页表).A+C1 8 .&4 B C 的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a s i n-=*s i n A.2(1)求 5；(2)若A 4 8 C 为锐角三角形，且c =l,求

33、 A A B C 面积的取值范围.1 9 .图 1是由矩形 M I E S、R t A A B C 和菱形8 F G C 组成的一个平面图形，其中9=1 ,B E=B F =2,N尸 8 c =6 0。.将其沿A B,BC折起使得3E与 3 尸重合，连结。G ,如图2.图1 图2(1)证明：图 2中的A ,C,G,。四点共面，且平面A B C J.平面B C G E ；(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.2 0 .已知函数/。)=2/-以2+/7.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得x)在区间|0,1 的最小值为-1 且最大值为1?若存在，求出a,匕的所有值；若不存在，

34、说明理由.f12 1 .已知曲线C:y =2,。为直线=-上上的动点，过。作 C的两条切线，切点分别为A,2 2B.(1)证明：直线A3过定点；(2)若以E(0,2)为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形A D I B E 的2面积.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2 .如图，在极坐标系 O x 中，A(2,0),B(夜，-),C(应，),0(2,万)，弧 4 8,BC,44所在圆的圆心分别是(1,0),(1,9,(1,乃)，曲线也是弧AB

35、,曲线“2 是弧BC,曲线是弧C D.(1)分别写出M2,的极坐标方程；(2)曲线M由M，M2,M 3 构成，若点尸在“上，且|。尸|=百，求产的极坐标.选修4 5：不等式选讲(10分)2 3.设 x,y,Z GR,且 x+y +z =l.(1)求(I)?+(y +1)?+(z +1)?的最小值;（2）若 0-2）2+（一1）2+（2-。）2.3成立，证明：-3 或第2 0页共5 0页2019年全国III文科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合人=-1,0,1,2),B =X|X2 1 ,则 A

36、 B=()A.-1 ,0,1 B.0 ,1 2.若 z(l +i)=2 i,贝 i j z =()C.-1 ,1 D.0 ,1,2)A.-1-Z B.-1+i3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，C.1-z D.1 +Z则两位女同学相邻的概率是（）4 .西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0 0 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有9 0 位，阅读过红楼梦的学生共有8 0 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有6 0 位,人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A.0.5

37、 B.0.6 C.0.75.函数f（x）=2 s i n x-s i n 2 x 在 0,2 句的零点个数为（A.2 B.3 C.46 .己知各项均为正数的等比数列/的前4项和为1 5,A.1 6 B.8 C.4则该学校阅读过西游记的学生D.0.8）D.5且%=3a 3 +4 q，则 a,=（）D.27 .已知曲线y =a e*在点(l,a e)处的切线方程为y =2 x +6,则()A.a =e b=B.a =e b=C.a =e b=D.a =e b=-8 .如图，点 N 为正方形A 8 C Q 的中心，A E C D 为正三角形，平面E C D _ L平面A B C。，M 是线段包）

38、的中点，贝 l j（）B.B M手EN,且直线8 A 7 ,C.B M =EN,且直线区M,D.B M于EN,且直线8 W,E N是相交直线E N是相交直线E N是异面直线E N是异面直线9 .执行如图所示的程序框图，如果输入6 为 0.0 1,则输出的s 值等于（）A.2-4-24B-2-/C.2-426D-2-最1 0.已知尸是双曲线C:工匕=1 的一个焦点，点。在 C上，。为坐标原点.若|O P|=|O F|,4 5则A O P E 的面积为()c iD.I I.记不等式组+表示的平面区域为 .命题 p H(x,y)e。,2x-y.O922 x +y.9命题q:V(x,y)e

39、 Q,2 x+y 2.下面给出了四个命题 p z q p/q p /q p/q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.B.C.D.1 2.设 f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+8)单调递减，则()3 2 _2 3A./(lo g3-)/(2)/(2-b B./(lo g3-)/(2)/(2-b3 _2 y 2 3 C./(2)/(2-3)/(lo g3-)D.f(2-3)f(2)/(lo g3-)二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.已知向量。=(2,2),6 =(-8,6),则co s ca,b=.1 4.记 S,为等差数列伍“的前”项和.若=5，%=1 3,

40、贝 1 几=.1 5 .设耳，鸟为椭圆。:会+盘=1 的两个焦点，”为 C 上一点且在第一象限，若“明为等腰三角形，则 M 的坐标为.1 6.学生到工厂劳动实践，利用 3。打印技术制作模型，如图，该模型为长方体A B C D-A 万Q ,挖去四棱锥。-E F G H 后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6 c m ,=4c m ,3。打印所用原料密度为0.9g/c,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.第2 2页共5 0页三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2

41、1题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。1 7.(1 2 分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 2 0 0 只小鼠随机分成A、B 两组，每组 1 0 0 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算O05053211Oso.o.sO.甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到尸(C)的估计值为 0.7 0.(1)求乙离子残留百分比直方图

42、中a,b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18.(12分)&4 B C 的内角A、B、C的对边分别为a,h ,c.已知a s i n-=bsin A.2(1)求 8；(2)若为锐角三角形，且 c =l,求&4 B C 面积的取值范围.19.(12分)图 1 是由矩形RtA A B C 和菱形B F G C 组成的一个平面图形，其中4 3 =1 ,B E=B F =2,N FB C =60。.将其沿A 3,BC折起使得5 E 与 8 尸重合，连接OG,如图2.图1图2(1)证明：图 2 中的A,C,G,。四点共面，且平面A B

43、 C，平面8 C GE；(2)求图2 中的四边形A C G O 的面积.20.(12 分)已知函数 f(x)=2 1-a x?+2.(1)讨论/(x)的单调性；（2）当0。3时，记/（x）在区间 0,1 的最大值为最小值为相，求例-加的取值范围.21.（12分）已知曲线C:y=E,。为直线y=-1上的动点，过。作C的两条切线，切点2 2分别为A,B.（1）证明：直线过定点.（2）若以E（0,*）为圆心的圆与直线A 3相切，且切点为线段A 8的中点，求该圆的方程.2（二）选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4

44、-4：坐标系与参数方程（10分）22.（10 分）如图，在极坐标系Qx 中，A（2,0）,B ,-）,C（&,）,。（2,乃），弧 AB,4 4BC,CO所在圆的圆心分别是（1,0）,（1,工），（1,T），曲线M是弧A B,曲线是弧8C,2曲线A/,是弧CO.（1）分别写出M2,M3的极坐标方程；（2）曲线M由5，M2,M3构成，若点。在M上，且|O P|=G，求P的极坐标.D O A x 选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.设 x,y,z e R,且 x+y +z=l.(1)求(x_l)2+(y+l)2+(z+l)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2

45、.&成立，证明：-3 或第2 4页共5 0页2019年北京理科高考数学试卷一、选择题共 8 小题，每小题5 分，共 4 0 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数z=2+，则 z 彳=（）A.73 B.V5 C.3 D.52.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 1 +-为参数），则点（1,0）到直线/的距离是（）y=2+4t2 214.已知椭圆与+马=1（。0）的离心率为L贝 1 1（）a h 2A.a2*5=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4/?5.若x,y 满足且y-1,则3x+y 的最大值为（）

46、A.-7 B.1 C.5 D.76.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足孙-叫=25 k 幺F，其中星等为恤的星的亮度为纥a=1,2）.已知太阳的星等是-2 6.7,天2 E2狼星的星等是-；4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.100 B.10.1 C./gl（M D.10 7.设点A,B,C 不共线，则“A 8与 A C的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x 2+y 2=l+|x|y 就是其中之一（如图）.

47、给出下列三个结论：曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过近；曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）二、填空题共 6 小题，每小题5 分，共 30分。9 .函数f（x）=s i n 2 2 x的最小正周期是.1 0 .设等差数列 an的前n项和为S,若 4=-3 ,S 5 =-1 0 ,则as=,S 的最小值为.1 1 .某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.1 3 .

48、设函数/二,+金-%为常数）.若/（X）为奇函数，则。=；若 X）是 R上的增函数，则a的取值范围是.1 4 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0 元/盒、6 5 元/盒、8 0 元/盒、9 0 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到1 2 0 元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的8 0%.当x=1 0 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付一元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为.三、解答题共 6

49、小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1 5 .（1 3 分）在 A A B C 中，a =3,b-c =2,co s B =-.2（I ）求。，c的值；（I I ）求s i n（B-。的值.1 6 .（1 4 分）如图，在四棱锥 P-A B C。中，ABCD,A D L C D ,AD/BC,PA=A D =C D =2,B C =3.E为 PD的中点，点尸在PC上，且竺 =1.PC 3（I ）求证：C O _ L 平面%八；（H ）求二面角E四尸的余弦值；第2 6页共5 0页(H I)设点G在尸8上，且生=2.判断直线AG是否在平面用内，说明理由.P

50、B 31 7.(1 3分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ,8两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 1 0 0 人，发现样本中A ,8两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用8的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0 ,1 0 0 0(1 0 0 0,2 0 0 0 大于2 0 0 0仅使用A1 8 人9人3 人仅使用B1 0 人1 4 人1 人(I )从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(I I)从样本仅使用A和仅使用8的学生中各随机

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