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1、概率与统计 开课系：非数学专业教师:叶梅燕e-mail:yemeiyan 概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 目 录 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验第一章 随机事件及其概率 随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性 1.1随机事件及其概率一、随机试验(简称“试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行；2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。随机试验
2、常用E表示 E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例子二、样本空间(p2)1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为=e；2、样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e.3.由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.随机事件 1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B
3、、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。2.两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如 对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xT(小时）。三、事件之间的关系 1.包含关系(p3)“事件 A发生必有事件B发生”记为A B AB A B且B A.2.2.和事件：和事件：(p3)“事件事件AA与与事件事件BB
4、至少有一个发至少有一个发生生”，记作，记作AABB2n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作3.积事件(p4):事件A与事件B同时发生，记作 A BAB3n个事件A1,A2,An同时发生，记作 A1A2An4.差事件(p5)：AB称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生 5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4)即事件与事件不可能同时发生。AB 6.互逆的事件(p5)A B,且AB 五、事件的运算(p5)1、交换律：A BB A，ABBA2、结合律：(A B)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(A B)C(AC)(BC)，(AB)C(A C)(BC)4、对偶(De M
5、organ)律：1.2 概率的定义及其运算从直观上来看，事件A 的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量P（A）应具有何种性质？*抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？*掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？*向目标射击，命中目标的概率有多大？(p10)若某实验E满足：1.有限性：样本空间Se1,e 2,e n;2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型与概率设事件A中所含样本点个数为 N(A)，以 N()记样本空间 中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(P7)(1)0 P(A)1；(2)P()1；P()=0
6、(3)AB，则 P(A B)P(A)P(B)二、古典概型的几类基本问题1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组1.3 频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pea
7、rson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若AB，则 fn(A B)fn(A)fn(B).1.3.2.概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义(p8)若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；(2)P()1；(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容
8、的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.(1.1)则称P(A)为事件A的概率。2.概率的性质 P(10-13)(1)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(i j),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);(4)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A B)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3)互补性：P(A)1 P(A);(5)可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人
9、数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，
10、每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率S=AB概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；(2)P(S)1;(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。例2.(p14)一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红 白新
11、40 30旧20 10设A-从盒中随机取到一只红球.B-从盒中随机取到一只新球.二、乘法公式(p15)设A、B，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.4.4)例3 合中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球
12、的概率。三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义(p17)事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2AnB定理1、(p17)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有 式(1.4.5)就称为全概率公式。例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球
13、，问此球是红球的概率？甲乙定理2(p18)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B S，有 例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)B A(P)A(P)A B(P)A(P)A B(P)A(P)A B(P+0.067条件概率 条件概率 小 结缩减样本空间 定义
14、式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 事件的独立性一、两事件独立(P19)定义1 设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2)定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立定义2、(p20)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；一般地，设A1，A2，An是n个事件，如
15、果对任意k(1 kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.5.4)则称n个事件A1，A2，An相互独立。三、事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则(1.5.5)第二章随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布 多维随机变量函数的分布 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量
16、就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量2.1随机变量的概念(p24)定义.设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e S，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。随机变量的特点:1 X的全部可能取值是互斥且完备的2 X的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量2.2离散型随机变量(P25)定义 若
17、随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或(1)pk 0,k1,2,;(2)几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布(p26)若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p),其分布律为：2.(p27)定义 设将
18、试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:例4.某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理(p28)设随机变量XnB(n,p),(n0,1,2,),且n很大，p很小，记=np，则 解 设X表示400次独立射击中命中的次数，则XB(400,0.02
19、)，故PX21 PX0P X110.98400(400)(0.02)(0.98399)=上题用泊松定理 取=np(400)(0.02)8,故近似地有（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)XPXk,k0,1,2,(0)泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布解:由题意,例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次2.3 随机变量的
20、分布函数一、分布函数的概念.定义(P29)设X是随机变量，对任意实数x，事件X x的概率PX x称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P X x.易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).二、分布函数的性质(P29)1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一 性：对任意实数x，0 F(x)1，且 3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 解X 0 1 2P 0.1 0.6 0
21、.3试求出X的分布函数。例2 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PX x 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=12.4 连续型随机变量一、概率密度 1.定义(p33)对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)密度函数的几何意义为2.密度函数的性质(p34)(1)非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充
22、要性质；设随机变量X 的概率密度为求常数a.答:(3)若x是f(x)的连续点，则设随机变量X 的分布函数为求f(x)（4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。于是二、几个常用的连续型分布1.均匀分布(p36)若Xf(x)则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数c,d(acdb)，都有1545解：设A乘客候车时间超过10分钟X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)2.指数分布(p36)若 X则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为解解当t 0时，当t 0时，=1-在t时刻之前无汽车过桥于是3.正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应
23、该是什么形态？其中 为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2).若随机变量(1)单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；(p38)f()maxf(x).正态分布有两个特性：4.标准正态分布(p38)参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则正态分布表设随机变量XN(
24、-1,22),P-2.45X3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3 作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中正态分布表 2.5 一维随机变量函数的分布(p55)设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若y g(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例:已知XPk-1
25、0 1求：Y=X2的分布律YPk1 0 或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数 1、一般方法(p56)若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”当y0时当0y1时当y1时2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2 注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函数为故例4 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故小结.