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1、 开课系：非数学专业开课系：非数学专业教师教师: : 叶梅燕叶梅燕e-mail: yemeiyan 教材：教材：概率论与数理统计王松桂等编科学出版社2002参考书：参考书：1.1.概率论与数理统计浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社2. 概率论与数理统计魏振军 编中国统计出版社序序序序序序 言言言言言言概率论是研究什么的？目目 录录 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 第二章第二章 随机变量随机变量 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第四章第四章 样本及抽样分布样本及抽样分布 第五章第五章 参数估计参数估计 第六章第六章 假设检验假设检验第一章第一章 随机事件及其概
2、率随机事件及其概率 随机事件及其运算随机事件及其运算 概率的定义及其运算概率的定义及其运算 条件概率条件概率 事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 随机试验常用E表示 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:
3、在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机实验的例子随机事件二、样本空间二、样本空间(p2) 1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 =e； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e. 幻灯片 6随机事件随机事件 1.定义定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。 2.两个特殊事件两个
4、特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xm),要求第要求第 i i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：4 4 随机取数问题随机取数问题例例4 4 从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个, ,(1)(1)求取到的数能被求取到
5、的数能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:N(S)=200,:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25某人向目标射击，某人向目标射击，以以A A表示事件表示事件“命中目标
6、命中目标”，P P（A A）= =？定义定义:(p8) 事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则次，则比值比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中次重复试验中出现的出现的频率频率，记为，记为fn(A). 即即fn(A) nA/n.1.3 频率与概率频率与概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.500
7、5 频率的性质频率的性质(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若AB ，则，则 fn(A B) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将此稳定值记作可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率1.3.2. 概率的公理化定义概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义1.定义定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空
8、间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) P(A) 0；(2) P()1； (3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称P(A)为事件A的概率概率。2.概率的性质概率的性质 P(10-13) (1) 有限有限可加性可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差事件差
9、 A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2) 单调不减性单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B) (4) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3) 互补性互补性：P(A)1 P(A);(5) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,其中有其中有10%的人的人同时定甲同时定甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙没有人
10、同时订甲乙或乙丙报纸丙报纸.求从该市任选一人求从该市任选一人,他至少订有一种报他至少订有一种报纸的概率纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例1.3.2.1.3.2.在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到
11、的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解:设设A取到取到的数能被的数能被2 2整除整除; ;B-B-取到取到的数能被的数能被3 3整除整除21)(AP103)(BP故故)()()()() 1 (ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率
12、是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A第一次取到红球,B第二次取到红球41)|() 1 (ABP522312)()2(25PBP10112)()3(25PABPS=ABA第一次取到红球
13、,B第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则) 1 . 4 . 1 ()()()|(APABPABPAABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率(p14)一般地，设A、B是S中的两个事件，则)()(APABPnnnnAAB“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？概率定义概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A) 00； (2) P(S)1;(3) 可列可加性可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事
14、件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率概率。例例2.2.(p14)一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球. 60An40ABn32)|(AABnnABP二、二、乘法公式乘法公式(p15)设A、B ，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). (1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 式(1.4.
15、2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.4.4)例例3 3 合中有合中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为
16、第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()()|(332211AP
17、ABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP定义定义 (p17)事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：1( );( ), (), ,1,2,., .niiijiAii A Aiji jnA1A2AnB定理定理1、(p17) 设设A1，, An是是的一个划的一个划分，且分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B 有有 ) 5 . 4 . 1 ()|()()(1niiiABPAPBP式式(1.4.5)就称为就称为全概率公式全概率公式。例例5 (P17)有甲乙两个袋子，甲
18、袋中有两个白有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPABPBP甲乙定理定理2 2 (p18) 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 )6
19、 . 4 . 1 (),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj式(1.4.6)就称为贝叶斯公式贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答: :74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP(P22,22.) (P22,22.) 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: :设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0,
20、B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由Bayes公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 0例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.
21、85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.067解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号45. 085. 055. 005. 055. 005. 00 (0.55)0 1 0 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 1 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件
22、独立(P19) 定义定义1 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) (1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.5.2)从一付从一付5252张的扑克牌中任意抽取一张，张的扑克牌中任意抽取一张，以以A A表示抽出一张表示抽出一张A A，以，以B B表示抽出一张表示抽出一张黑桃，问黑桃，问A A与与B B是否独立？是否独立？定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、(p20) 若三个事件A、
23、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.5.3)则称事件A、B、C相互独立相互独立。一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。思考：思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则独立吗？与CDBA2.
24、一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518, 0.496三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 (1.5.5)2、在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用P23, 24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。)().(1).121nnAPAPAAAP设设A-L至至R为通路为通路,Ai-第第i个继电器通个继电器通,i=1,2,5)()|(52413AAAAPAAP422pp )
25、()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522ppppEX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？第一章第一章 小结小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶
26、斯公式）和一个概型（古典概型）组成率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成第二章随机变量第二章随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量连续型随机变量 一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布条件分布 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研
27、究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随
28、机变量2.12.1随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义. . 设设S=eS=e是试验的样本空是试验的样本空间，如果量间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单上的一个单值实值函数即对于每一个值实值函数即对于每一个e e S S，有一，有一实数实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机随机变量变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件EXEX引入适当的随
29、机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个格子中，个球随机地放入三个格子中，事件事件A=A=有有1 1个空格个空格 ，B=B=有有2 2个空格个空格 ，C=C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，事件次试验，事件D=D=试验成功一次试验成功一次 ，F=F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，G=G=至多成功至多成功3 3次次 奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概
30、率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp .35332CCCkXPkk例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的的概率。概率
31、。解解 k可取值可取值0，1，22. 分布律的性质分布律的性质例例2.2.某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标的概次，每次命中目标的概率为率为p p，以，以X X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X X的分布律。的分布律。解：设解：设A Ai i第第i i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5则则A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互独立且相互独立且P(AP(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5. S5. SX X=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5,(1-p)5)(054321A
32、AAAAPXP.15432154321AAAAAAAAAAPXP4)1 (5pp5,.,1 , 0)1 (55kppCkXPkkk.25432154321AAAAAAAAAAPXP3225)1 (PPC几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1. (0-1)分布分布(p26) 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1时时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且
33、次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)1 (11想一想：离散型随机变量的统计特征可以想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命如：熊猫彩电的寿命X X是一个随机变量，对是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意消费者来说，你是否在意X5X5年年 还是还是X5X5年零年零1 1分钟分钟 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念. 定义定义(P29)(P29) 设设X是随机变
34、量，对任意实数是随机变量，对任意实数x，事，事件件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P X x. 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a).xX二、分布函数的性质二、分布函数的性质(P29) 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且，且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx ).x(F)x(Flim) 0 x(F0 xx00 3、右连续性：对任意实
35、数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 xxkkkpxXPxF:)(例例1 设随机变量设随机变量X具分布律具分布律如右表如右表解解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。2, 121 ,7 .010 , 1 .01,0 xxxx例例2 向向0,1区
36、间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比率与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=PXx 1, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当x1时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别,F(1)=P0 x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b?bXap2.4 连续型随机变量一、概率密
37、度一、概率密度 1. 定义定义(p33) 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函，若存在非负函数数f(x)，(- x+ )，使对任意实数，使对任意实数x，都有，都有xduufxXPxF)()()(则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为X f(x) , (- x+ )密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为 badu)u(f)bXa(P2. 密度函数的性质密度函数的性质 (p34) (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1
38、)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； xaexf)(设随机变量X的概率密度为求常数a.答:21a(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF设随机变量X的分布函数为求f(x)0211021)(xexexFxx（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若，若X X f(x)f(x)，(- (- xx ) )，则，则PX=PX=b b 0 0。于是于是badxxfbXaPbXaPbXaP)(P(35) P(35) 例例2.3.2.2.3.2.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x), 2)F(x
39、), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5)其他021210)(xxxxxf二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布(p36) 若Xf(x) ，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)() x ( fx则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为)x(fx00, 00,1)(xxexFx例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数的指数分布分布(1)
40、(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使年，求它还能使用两年的概率为多少？用两年的概率为多少？解解, 000)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXpx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXXXpXXpxx例例. .某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T T，设设00，tt时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数X Xt t服从服从参数为参数为 t t的泊松分布，求的泊松分布，
41、求T T的概率密度。的概率密度。解)(tTPtF当t 0时，0)(tF当t 0时，)(tTPtF1tTP=1- 在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥01tXPte1于是000)( )(ttetFtft正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。别重要的地位。3. 正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？xexfXx,21)(222)(其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从
42、参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为，可表为XN( , 2).若随机变量随机变量 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；(p38)f()maxf(x) .21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标准正态分布(p38) 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。.,
43、21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,)(2212其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。的值。(P226附表附表1)如，若如，若ZN（0，1）, （0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则).()(xxXPxF正态分布表设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?P(39)P(39)例例2.3.5.2.3.5.设设
44、 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3|X|3的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2), ),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：
45、使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90XPp故4195. 0)1 (03pYP则YB(3,p)其中正态分布表一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律 2.5 2.5 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 (p55) 设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个也是一个随机变量。求随机变量。求
46、Y的分布律的分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1313131求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 3132或或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X) kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxg二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法(p56)(p56) 若若Xf(x), -Xf(x), - x + x + , Y=g(X), Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求
47、Y Y的分布函数的分布函数 FY (y) PY yP g(X) y y)x(gdx)x(fdyydFyfYY)()(然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”例例1.1.设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 dxxfyFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)( )(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(yFYyy例例2. 2.设设X X的概率密度为的概率密度为f fX X(x),y(x),y=g(x)=g(x)关于关于x
48、 x处处可导且是处处可导且是x x的严格单减函数，求的严格单减函数，求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度。的概率密度。解：解：Y Y的分布函数为的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为的概率密度为fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y)dyd2、公式法：一般地 若XfX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 | )(|)()()(yhyhfyfXgYXY注注：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2
49、 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.例3.已知XN(,2),求解：222222121yyeeXY的概率密度XY关于x严单,反函数为 yyh)(故)(| )(|)()(yfyhyhfyfXXY例例4 4 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解: Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为abyyh)(故aabyfyhyhfyfXY1)(| )(|)()(而othersxxfX0101)(故othersabyayfY0101)(小结.0 -1 分 布二 项 分 布 B （ n
50、 ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布 N (a , )指 数 分 布 E （ )连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布2习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数