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1、概率与统计概率与统计 开课系：非数学专业开课系：非数学专业教师教师:叶梅燕叶梅燕e-mail:yemeiyan 概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学 目目 录录第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量随机变量第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第四章第四章 样本及抽样分布样本及抽样分布第五章第五章 参数估计参数估计第六章第六章 假设检验假设检验第一章第一章 随机事件及
2、其概率随机事件及其概率随机事件及其运算随机事件及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行；2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。随机试验常用E表示 E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一
3、只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例子二、样本空间二、样本空间(p2)1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 =e；2、样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e.3.由样本点组成的单点集由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.随机事件随机事件 1.定义定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。2.两个特殊事件两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如例如 对
4、于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 x0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.4.4)例例3 3 合
5、中有合中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义定义 (p
6、17)事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2AnB定理定理1、(p17)设设A1，,An是是的一个的一个划分，且划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B 有有 式式(1.4.5)就称为就称为全概率公式全概率公式。例例5(P17)有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的
7、概率？甲乙定理定理2 2(p18)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式
8、乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立(P19)定义定义1 设A、B是两事件，P(A)0,若 P(B)P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2)定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、(p20)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C
9、两两相互独立两两相互独立；一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.5.4)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 (1.5.5)第二章随机变量第二章随机变量 离散型随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量连续型随机变量 一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布二维随机变
10、量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布条件分布多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数象，而随机变量则是一种动态的观点，一如
11、数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量2.12.1随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义.设设S=eS=e是试验的样本空是试验的样本空间，如果量间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单上的一个单值实值函数即对于每一个值实值函数即对于每一个e e S S，有一有一实数实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称
12、与之对应，则称X X为为随机随机变量变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点:1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离散型随机变量(P25)(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为为X的的分布
13、律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或或(1)pk 0,k1,2,;(2)几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布分布(p26)若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1时时,X的的全部取值为全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次2.3 随机变量的分布函数随机
14、变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义(P29)(P29)设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事事件件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).二、分布函数的性质二、分布函数的性质(P29)1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述
15、三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地一般地，对离散型随机变量对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 解解X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比率与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数解：解：F(x)=PXx
16、当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=12.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1.定义定义(p33)对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函若存在非负函数数f(x)，(-x+)，使对任意实数使对任意实数x，都有都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为常记为X f(x),(-x+)密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为2.密度函数的性质密度函数的性质(p34)(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函
17、数的充要性质；是密度函数的充要性质；设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则设随机变量X的分布函数为求f(x)（4 4）对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(x)，(-(-xx)，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布(p36)若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为解解解当t 0时，当t 0时，=1-在在t t时刻之前无汽车过桥时
18、刻之前无汽车过桥于是3.正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态正态分布分布,记为记为N(,2)，可表为可表为XN(,2).若随机变量随机变量(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；(p38)f()maxf(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：4.标准正态分布标准正态分布(p38)参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0,1)。分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度
19、函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅(x)的值。的值。(P226附表附表1)如如，若若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则正态分布表设设随机变量随机变量XN(-1,22),P-2.45X3|X|3的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报发出警报.表
20、明生产出现异常表明生产出现异常.正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布态分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率.解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中正态分布表 2.5 2.5 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布(p55)设设X一个随机变量，分布律为一个随
21、机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随也是一个随机变量。求机变量。求Y的的分布律分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法(p56)(p56)若若Xf(x),-Xf(x),-x+x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量为随机变量X
22、 X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”当y0时当0y1时当y1时2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1 1 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。2 2 注意定义域的选择注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.的概率密度关于x严单,反函数为故例例4 4 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=ax+bY=
23、ax+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解:Y=ax+bY=ax+b关于关于x严单严单,反函数为反函数为故而故小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从参数为（服从参数为（2,p）的二项分布，的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p）的二项分布，若的二项分布，若 ，则则PY1=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，2）上的均匀分布，则随）上的均匀分布，则随机变量机变量Y=X2在（在（0，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)=3.设随机变量设随机变量XN（2，2 2），且），且P（2X4）=0.3，则，则P(X0)=二二.从某大学到
24、火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗,假设在各假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的并且遇到红灯的概率都是概率都是1/3.1/3.以以Y Y表示汽车在第一次停止之前所通表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数过的交通岗数,求求Y Y的分布律的分布律.(.(假定汽车只在遇到假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止红灯或到达火车站时停止)三、三、某射手对靶射击，单发命中概率都为某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。几发
25、，求他恰好命中两发的概率。求：求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度的概率密度2.6 二维随机变量的联合分布一、多维随机变量 (p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F()表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)且(1)归一性归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,(2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，
26、F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续右连续 对任意xR,yR,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY求：求：(1)(1)常数常数A A；(2)F(1,1)(2)F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。例例4.设解(1)由归一性(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,
27、y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解 3.两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X,Y)在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布。服从均匀分布。易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有有其中，其中，1、2为实数，为实数，10、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,1,2,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N(
28、1,2,1,2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为(P101)定义定义2.4.6.n2.4.6.n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体定义定义2.4.7.2.4.7.若若(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的有限或可列无穷多个点，称上的有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)为为n n维离散型的，
29、称维离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.,.X Xn n=x xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n)的概率密度。的概率密度。EX:EX:随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为的概率密度为xyD答答:PXPX
30、 0=00=0FY(y)F(+,y)PYy 称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数.2.7.边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数(p46)(p46)FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布的联合分布律
31、为律为(p47)(X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,则称则称 PXxipi.，i1,2,为为(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；PY yjp.j ，j1,2,为为(X,Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例例2.已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/
32、53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称则称(p48)(p48)为为(X,Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N(1,12)的密度函数，而的密度函数，而fX(x)是是N(2,22)的密度函的密度函数，故数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数求常数c;(2)
33、c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性x=yx=-y四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值的每一对可能取值点点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可边缘分布的乘积都等于联合分布即可EXEX：判断例判断例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否相互独立是否相互独立例例(p50).已知随机变量已知随机变量(X,Y
34、)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。例例4.(p51)4.(p51)甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面。设两人都随机地在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待到者最多等待1515分钟过时不候。分钟过时不候。求两人能见面的概率求两人能见面的概率。定义定义.设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,.xn),(X1,X2,.Xn)的的k（1 k0,则称同理，同理，对固定的i,pi.0,称为X xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;EXEX.
35、设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.二 连续型随机变量的条件概率密度定义.给定y，设对任意固定的正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时，.类似定义，当 时例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=p552.8 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变
36、量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或 EXEX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1)求WXY的分布律;(2)求Vmax(X,Y)的分布律；(3)求Umin(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X,Y)Umin(X,Y)011201110001VW0
37、10 1 2000二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法(p60)若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布
38、N(i,i2),i=1,.,n,则p62例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得 (2)商的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。3、极大、极大(小小)值的分布值的分布 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2
39、,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N的分布函数分别为：FM(z)F1(z)Fn(z)特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度小结小结第三章第三章
40、 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理3.13.1数学期望数学期望一一.数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示：分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即 定义定义 1.若XPX=xk=pk,k=1,2,n,则称 定义定义 2.(p73
41、)若XPX=xk=pk,k=1,2,且 例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。定义定义 3 若若Xf(x),-x,解解二二.几个重要几个重要r.v.的期望的期望4.均匀均匀分布分布U(a,b)6.正态正态分布分布N(,2)解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 三三.随机变量函数的期望随机变量函数的期望 定理定理1 若若 XPX=xk=pk,k=1,2,则则Y=g(X)的期望的期望E(g(X)为为(p77)推论推论:若若 (X,Y)PX=x(X,Y)PX=xi i,Y=,Y=
42、y yj j,=p pij ij,i,j=1,2,i,j=1,2,则则Z=g(XZ=g(X，Y)Y)的期望的期望解解:解：解：Y=ax+bY=ax+b关于关于x x严单，反函数为严单，反函数为Y的概率密度为的概率密度为 (p77)(p77)定理定理2 若Xf(x),-x,则Y=g(X)的期望推论推论 若若(X,Y)f(x,y),-x,-y0,DY0，则称为X与Y的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;1.设设(X,Y
43、)服从区域服从区域D:0 x1,0y0,使得则称Xn依概率收敛依概率收敛于于X.可记为可记为切切比比雪雪夫夫不不等等式式如如意思是意思是:当当a而而意思是意思是:时时,Xn落在落在内的内的概率越来越大概率越来越大.,当当二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式这里这里故故2.伯努里伯努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次
44、试验中事件A发生的频发生的频率，则率，则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理3.辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,EXk=,k=1,2,则则推论推论:若若Xi,i=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,E(X1k)=,则则3.6.3.中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其为随机变量，其对应的分布函数分别为对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).
45、若在若在F(x)的连续点，有的连续点，有则称则称Xn依分布收敛依分布收敛于于X.可记为可记为二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg)设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk=，DXk=2 ，k=1,2,则则Xn满满足中心极限足中心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.由由中心极限定理中心极限定理设随机变量设随机变量 n(n=1,2,.)
46、服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则的二项分布，则2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由由中心极限定理中心极限定理,结论得证结论得证 例例2 2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年
47、内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中其中n=10000，p=0.6%，设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润，Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X0=1 PX 120 1 (7.75)=0;（2）设赔偿金为设赔偿金为a元，则令元，则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于第四第四 章章 样本及抽样分布样本及抽样分布引言引言随机样本随机样本抽样分布抽样分布run4.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1.1.总体总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数
48、量指标。组成总体的元素称为个体。个体。从从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。2.样本：样本：来自总体的部分个体X X1 1，X Xn n 如果满足：如果满足：（1）同分布性：同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：独立性：X1，Xn 相互独立；则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本样本。而称X1，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1，xn 来自总体X的随机样本X X1 1，X Xn n可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或或3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本
49、样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体二、统计量二、统计量定义：称样本X1，Xn 的函数g(X1，Xn)是总体X的一个统计量统计量,如果如果g(X1，Xn)不含不含 未知未知 参数参数几个常用的统计量：3.样本样本k阶矩阶矩4.2 抽样分布抽
50、样分布一、一、2分布分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2 2分布、t t 分布和F F分布。2.2分布的分布的密度函数密度函数f(y)曲线曲线3.分位点分位点 设X 2(n)，若对于：0 1，存在满足满足则称则称为为分布的上分布的上 分位点。分位点。P228附表附表34.性质：性质：(p124)a.分布可加性分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2)，X，Y独立，则 X+Y 2(n1+n2)b.期望与方差期望与方差 若X 2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n1.构造构造 若 N(0,1),2(n),与 独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。二、二、t分布分布