《2023年七年级有理数知识点归纳总结及典型例题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年七年级有理数知识点归纳总结及典型例题.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 1.1 有理数【知识点清单】（一）学习温故 小学里学过的数可分为三类:、和 ，它们都是由于实际需要而产生的。（二）正数 1、正数：大于 0 的数叫做正数。如：2，0.6，37，正数都比 0 要 。2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“”，读作“正”号。如：3，1110，1.9，其中“”号可以省略。（三）负数 1、负数：在正数前面加上一个“”号，这样的数叫做负数。如：2，0.6，37，负数都比 0 要 。2、负数的表示方法：一个负数前的“”号不可以省略。3、0 既不是正数也不是负数。4、正数和负数的意义 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有_的意义。如：如果 80m表示向东走 8
2、0m，那么-60m表示：_。（四）有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。2、有理数的分类 【经典例题：】2 例 1：把下列各数分别填在题后相应的集合中：25，0，1，0.73，2，5，87，52.29，+28，27，8，-311，-3.5，102.3，-35，1（1）整数集合：（2）负整数集合：（3）负分数集合：（4）自然数集合：（5）非负数集合：例 2：在下面每个集合中任意写出 3 个符合条件的数：例 3：下列选项中均为负数的是（）A2，1.9，0 B0.3，5，3.3 C19，1,0.6 D6，80，4.0 例 4：下列说法中正确的是（）A.整数又叫自然数 B.0是整数 C.一
3、个数不是正数就是负数 D.0不是自然数 例 5：下列说法正确的个数是（）。一个有理数不是整数就是分数；一个有理数不是正数就是负数；一个整数不是正的就是负的；一个分数不是正的就是负的。A1 B2 C3 D4 例 6：把下列各数填在相应的集合中：数轴 1.2 正数集 负数集 整数集 自然数 3【学习目标】一、认识数轴 1、数轴的三要素：,_,_。2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边 画数轴要注意：画直线.在直线上取一点作为原点.确定正方向，并用箭头表示.根据需要选取适当单位长度.说明：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示【目标检测】1判断下列数轴是否正确 2.在数轴上，原点及原点右边的
4、点表示的数是（）A负数 B正数 C整数 D非负数 3与原点的距离为 2 个单位的点有_个，它们分别表示_和_ 4如图，数轴上的点 A，B 分别表示数1 和 2，点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 表示的数是_ 5如图，写出数轴上 A，B，C，D，E 各点表示的数 6画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：80，60，40，0，60，80，100 二、数轴上的点与有理数之间的关系 1所有的有理数都可以用_上的点来表示，且所有正数的对应点都在数轴上原点的_，所有负数的对应点都在数轴上原点的_ 2观察数轴可以知道，下列语句正确的是（）A1 是最小的正有理数 B1 是最大的负有理数 C0 是最大
5、的非正的整数 D有最小的正整数和最小的正有理数 3一个点从数轴上表示_的点开始，向右移动 5 个单位，到达表示 3 的点处 4数轴上，从10 到 32 共有_个奇数点 5 在数轴上，与表示数3 的点的距离为 4 个单位长度的点所表示的数是_ 三、数轴上比较有理数的大小 （1）在数轴上表示的数，_边的数总比_边的数大 （2）负数_ _0_ _ 正数（填）4 结论：如果 a 表示正数，则可以用 a0 表示，当 a 是负数？则可以用_表示.当堂测试 1大于-3小于 2 的所有整数是_ 2下列说法正确的个数有（）所有的有理数都能在数轴上找到唯一的对应点 数轴上每一个点都表示有理数 0 是最小的有理数
6、21，10 A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 3下图是 5 个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间 2007 年 6 月 17 日上午 9 时应是（）A伦敦时间 2007 年 6 月 17 日凌晨 1 时 B纽约时间 2007 年 6 月 17 日晚上 22 时 C多伦多时间 2007 年 6 月 16 日晚上 20 时 D汉城时间 2007 年 6 月 17 日上午 8 时 4比较-0.3，-，-12的大小，正确的是（）A-0.3-12 B-0.3-12 C-12-0.3-D-12-0.3 5如图，在数轴上有 A，B，C 三点 （1）将点 B 向左平移 3 个单位后，三个点所表
7、示的数哪个最小？是多少？（2）将点 A 向右平移 4 个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？（3）将点 C 向左平移 6 个单位后，这时点 B 表示的数比点 C 表示的数大多少？（4）怎样移动 A，B，C 中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移法？6利用数轴求下列点所表示的数 （1）一个点从原点开始，先向左移 2 个单位，再向右移 3 个单位，到达终点所表示的数为_ （2）一个点从-2开始，先向左移 3 个单位，再向左移 4 个单位，到达终点所表示的数为_ （3）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从点 A 处向左跳 3 个单位到点 B，然后由点 B 向右跳 4 个单位到点 C，若点 C 所
8、表示的数为1，则点 A 所表示的数为_ （4）一只小鸟落在数轴上，先向右跳 2 个单位，再向左跳 3 个单位，终点所表示的数为 0，则小鸟的初始位置点 A 所表示的数是_ 1.3 绝对值【知识点归纳】1数轴：规定了_、_、_的一条直线叫做_.2 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ；正数大于 ，负数小于 ，正数大于一切 。5 3.相反数：如果两个数只有_不同，那么称其中一个数为另一个数的_,也称这两个数_.特别地，0的相反数是_。4.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的 。如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2 2的绝对值是2，记作|2|=2 归纳：正数的绝对值是_；负数
9、的绝对值是_；零的绝对值是_ a（a0），用式子表示：|a|=0（_），a（_）.例1 求下列各数的绝对值：-1.5，1.5，-6，+6，-3，3,0.5.比较两负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。归纳：比较两负数的大小的步骤：1.分别求出两负数的_；2.比较这两个数的绝对值大小；3.根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”作出判断。例2 比较下列每组数的大小 （1）-7 和 3；（2）-3.1 和-2.7 解：（1）|7|=_,|3|=_,7 3 解：（2）_ 6.非负数的性质：几个非负数的和为0，就是每一个非负数为0。例：若|a|+|b|=0，则0,0 ba 例3 已知|a1
10、|+|b+3|=0，则a=_，b=_。当堂测试 一、选择题 1.(2012 汕头中考)-5 的绝对值是()A.5 B.-5 C.错误!未找到引用源。D.-错误!未找到引用源。2.(2012 丽水中考)如图,数轴的单位长度为1,如果点A,B表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是()6 A.-4 B.-2 C.0 D.4 3.如果|a|=-a,那么 a 的取值范围是()A.a0 B.a0y,则 x=_,y=_.6.现定义某种新运算:对任意两个有理数 a,b,有 ab=错误!未找到引用源。|b|,如 23=错误!未找到引用源。|3|=错误!未找到引用源。3=错误!未找到引用源。,4(-2)=错误!
11、未找到引用源。|-2|=错误!未找到引用源。2=错误!未找到引用源。.计算:3(-6)=_.三、解答题 7.已知a-2+b-3=0,求 a+2b 的值.8.北京航天研究院所属工厂,制造“神舟十号”运载火箭上的一种螺母,要求螺母内径可以有0.02mm的误差,抽查 5 个螺母,超过规定内径的毫米数记作正数,没有超过规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下：+0.010,-0.018,+0.006,-0.002,+0.015.(1)指出哪些产品是合乎要求的?(即在误差范围内的)(2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些,哪个质量稍差一些?1.4 有理数的加减混合运算【知识点归纳】1、有理数的加法法则（1
12、）同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加。（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数同零相加仍得这个数。7 2、有理数的加法同样拥有交换律和结合律)用字母表示为:（1）交换律:a+b=b+a；（2）结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。3、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（1）两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。（2）不变：被减数不变。可以表示成：ab=a+（b）。当堂测试 一、选择题 1、绝对值不大于 10 的所有整数的和等于（）A.10 B.0 C.10 D
13、.20 2、若有两个有理数的和为正数，则下列结论正确的是（）A.两个数都是正数 B.两个数都是负数 C.至少有一个数是正数 D.以上结论都不对 3、如果0 ba，0b，那么baba,的大小关系为（）A.baba B.baab C.baba D.abba 4、（2006.南京）某地今年 1 月 1 日至 4 日的每天的最高气温与最低气温如下表 日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月 4 日 最高气温 5 4 0 4 最低气温 0 2 4 3 其中温差最大的一天是（）A.1 月 1 日 B.1 月 2 日 C.1 月 3 日 D.1 月 4 日 5、将)2()7()3(6写成
14、省略加号的和的形式应是（）A.2736 B.2736 C.2736 D.2-7-36 6、baba，则 a、b 的关系为（）A.a、b 的绝对值相等 B.a、b 异号 C.a+b 的和是非负数 D.a、b 同号或其中至少有一个为零 二、填空 1、把)8()7()5(3写成省略括号的和的形式_ 2、若 a0 并且ba，则 a+b_0.3、温度 3比5高_ 4、若0523zyx，则 x+y+z=_,xyz=_.5、绝对值大于 3 而小于 8 的所有整数的和_.6、已知 m 是 6 的相反数，n 比 m 的相反数小 2，则nm=_ 三、应用 1、计算：（1）)32(1531 （2）107)8()56
15、()12(8 （3）)5.1(2.0)1.2()2.1(8.1 （4）)5.5()75.2()41()5.0(2、出租车司机小李某天下午营运全是东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午车里程（单位：km），记录如下:6,5,4,12,2,3,1015215，（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？（2）若汽油耗油量为 a L/km，这天下午小李营运共耗油多少升？1.5 有理数的乘法【知识点归纳】1、有理数的乘法法则 (1)乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0.(2)两个有理数相乘的步骤：先确定
16、积的符号；再求出积的绝对值 (3)多个有理数的乘法 几个不等于 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 几个有理数相乘，有一个因数为 0，结果就是 0；反之，若几个数的积为 0，则至少有一个因数为 0.【例 1】计算：(1)(4)(5)；(2)(0.75)(1.2)；(3)290.3；9 (4)017；(5)112113114115116.2.倒数：如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数 0 没有倒数；互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；若两个数互为倒数，则
17、它们的乘积为 1；倒数等于它本身的数是 1 和1.【例 2】填空：(1)76的倒数是_；0.2 的倒数是_；(2)倒数是 4 的数是_ 3有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变用字母表示为：abba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 用字母表示为：(ab)ca(bc)(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 用字母表示为：a(bc)abac.【例 3】计算：(1)(8)9(1.25)19；(2)1145612(12)；(3)5.372(3)5.372(17)5.37
18、24；(4)2434352.5(8)；1 0 (5)1112795183661.433.936.4与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算 根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是：(1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值；(2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，按照规定的运算进行计算 【例 4】已知 a 与 b 互为倒数，c 与 d 互为相反数，m 的绝对值是 4，求 m(cd)ab3m 的值 1.6 有理数的除法【知识点归纳】1.有理数的除法法则 1 (1)除法法则 1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
19、除；0 除以任何不为 0 的数都得 0.注意：0 不能作除数；除法法则 1 与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值(2)两个有理数相除的步骤：先确定商的符号；求出商的绝对值【例 1】下面的计算中，正确的有()(800)(20)(800 20)40；0(2 013)0；(18)(6)(18 6)3；(0.72)0.9(0.72 0.9)0.8.A B C D 2有理数的除法法则 2 除法法则 2：除以一个数等于乘这个数的倒数，即 a ba1b(b0)【例 2】计算：(1)28291129；(2)(1)(2.25)1 1 7.乘法对加法的分配律在除法中的应用 (1)几个数
20、的和除以一个数 方法：先把除法转化为乘法；根据乘法对加法的分配律：a(bc)a ba c 进行计算 (2)一个数除以几个数的和 方法：先交换被除数与除数的位置，即把形如 a b 的算式先写成 b a；转化为乘法，根据乘法对加法的分配律进行计算；求出商的倒数，即为原式的结果 【例 3】计算：131419112136.【例 4】计算：501413112.1.7 有理数的乘方【知识点归纳】1 乘方的意义(1)乘方的定义 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂如图，a 叫做底数，n 叫做指数，an读作：a的 n 次幂(a 的 n 次方)乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘
21、方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数(2)乘方的意义：an表示 n 个 a 相乘即 annaaaaa 个.如：(2)3(2)(2)(2)表示 3 个(2)相乘 【例 1】填空：(1)式子(1.2)10，其中底数是_，指数是_ (2)120137111777 个写成乘方的形式是_ _，2乘方运算的符号法则 乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算如：3333327.1 2 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0 的奇次幂、偶次幂都是 0.【例 2】下列说法不正确的是()A(2)2 013是负数 B4200是正数 C0 的任何次幂(指数不为
22、0)都等于它本身 D1 的 38 次幂等于它的相反数 【例 3】计算：(1)(2)4；(2)34；(3)453；(4)1232；(5)274；(6)(1)2 014.【例 4】下列说法正确的有()负数的平方是负数；正数的平方是正数；平方是它本身的数是 0 和 1；1 的立方等于它本身；1 的平方等于它的倒数；任何一个有理数的平方都是非负数 A3 个 B4 个 C5 个 D2 个 【例 5】若 x，y 为有理数，且(5x)4|y5|0，则2013yx的值为()A1 B1 C2 D2 1.8 科学记数法【知识点归纳】1科学记数法 定义：一般地，一个大于 10 的数可以表示成a10n(1a10，n是
23、正整数)的形式，这种记数的方法叫做科学记数法 【例 1】用科学记数法表示下列各数：(1)3 400 000；(2)98 120 000；(3)23 458.2；(4)960 万 【例 2】若 97 000 000 用科学记数法表示为 a10n，则 a_，n_.2把科学记数法表示的数还原【例 2】若一个数用科学记数法表示为 1.754105，则原数为_【例 3】下面用科学记数法表示的数，原来是什么数？(1)赤道长约 4104千米；(2)按 365 天计算一年有 3.153 6107秒 【例 4】“天上星星有几颗，7 后跟上 22 个 0”，这是国际天文学联合大会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙
24、空间星星颗数为()A7001020 B71023 C0.71023 D71022 1 3 1.9 有理数的混合运算【知识点归纳】1 有理数的混合运算(1)有理数混合运算：一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，就是有理数的混合运算 如：42(17)63(5)33(2)3.(2)混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减如果有括号，先算括号里面的 【例 1】计算：(1)0.252123(1)2 013(2)2(3)2；(2)122122()12 0131120.523 119.2混合运算中的简便运算技巧 有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算 运算律有：加法交换律、结合律
25、，乘法交换律、结合律、分配律解题时要根据题目特征，灵活选择 【例 2】计算：74787127883.【例 3】7521-21275-75211 【例 4】某个家庭为了估计自己家 6 月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记录，上周日电表的读数是 115 度以后每日的读数如下表(表中单位：度)，请你估计 6 月份大约用多少度电 星期 一 二 三 四 五 六 日 电表的读数 118 122 127 133 136 140 143 1 4 【例 5】观察下列解题过程：计算：155253524525的值.解：设 S155253524525，（1）则 5S55253525526 （2）（2）（1），得 4S5261 S41526 通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：（1）13323339310 （2）1xx2x3x99x100