《常微分方程》答案_习题.pdf

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1、 习题4.2 1.解下列方程（1）045)4(xxx 解：特征方程1122045432124，有根 故通解为 x=ttttecececec432221(2)03332 xaxaxax 解：特征方程0333223aaa 有三重根a 故通解为 x=atatatetctecec2321（3）04)5(xx 解：特征方程0435 有三重根0，42，5-2 故通解为54232221ct ct cececxtt（4）0102 xxx 解：特征方程01022有复数根1-1+3i,2-1-3i 故通解为tectecxtt3sin3cos21(5)0 xxx 解：特征方程012有复数根1,231i2,231i

2、故通解为tectecxtt23sin23cos212211(6)12 tsas 解：特征方程022a有根1a,2-a 当0a时，齐线性方程的通解为 s=atatecec21 BtAs代入原方程解得21aBA 故通解为 s=atatecec21-)1(12ta 当 a=0 时,)(212tts代入原方程解得21,6121 故通解为 s=tcc21-)3(612tt(7)32254 txxxx 解：特征方程025423有根12,两重根1 齐线性方程的通解为 x=ttttececec3221 又因为0 不是特征根，故可以取特解行如BtAx代入原方程解得 A=-4，B=-1 故通解为 x=ttttec

3、ecec3221-4-t(8)322)4(txxx 解：特征方程121201224重根，重根有 故齐线性方程的通解为 x=tttttecectecec4321 取特解行如cBtAtx2代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为 x=tttttecectecec4321+12t(9)txxcos 解：特征方程013有复数根1,231i2,231i13 故齐线性方程的通解为tttectectecx321221123sin23cos 取特解行如tBtAxsincos代入原方程解得 A=21,21B 故通解为tttectectecx321221123sin23cos)sin(cos21tt (10

4、)txxx2sin82 解：特征方程022有根1-2,21 故齐线性方程的通解为 x=ttecec221 因为+-2i 不是特征根 取特解行如tBtAx2sin2cos代入原方程解得 A=56,52B 故通解为 x=ttecec221tt2sin562cos52（11）texx 解：特征方程013有复数根1,231i2,231i13 故齐线性方程的通解为tttectectecx321221123sin23cos 1是特征方程的根，故tAtex 代入原方程解得A=31 故通解为tttectectecx321221123sin23cos+tte31（12）tesasas 22 解：特征方程0222

5、aa有 2 重根-a 当 a=-1 时，齐线性方程的通解为 s=tttecec21,1 是特征方程的 2 重根，故teAtx2代入原方程解得A=21 通解为 s=22121ttecectt,当 a-1 时，齐线性方程的通解为 s=atattecec21,1 不是特征方程的根，故tAex 代入原方程解得A=2)1(1a 故通解为 s=atattecec21+tea2)1(1（13）texxx256 解：特征方程0562有根1-1,2-5 故齐线性方程的通解为 x=ttecec521 2 不是特征方程的根，故tAex2代入原方程解得A=211 故通解为x=ttecec521+te2211（14）t

6、exxxtcos32 解：特征方程0322有根1-1+2i,2-1-2i 故齐线性方程的通解为tectecxtt2sin2cos21 i1 不是特征方程的根,取特解行如tetBtAx)sincos(代入原方程解得A=414,415B 故通解为tectecxtt2sin2cos21+tett)sin414cos415(15)ttxx2cossin 解：特征方程012有根1i,2-i 故齐线性方程的通解为tctcxsincos21 txxsin,1i,是方程的解)sincos(tBtAtx代入原方程解得 A=21 B=0 故ttxcos21 txx2cos tBtAx2sin2cos代入原方程解得

7、 A=31 B=0 故tx2cos31 故通解为tctcxsincos21tt cos21t 2cos31 习 题 6-1 1 求出齐次线性微分方程组 ytAdtdy)(的通解，其中 A（t）分别为：（1）1011)(tA；（2）0110)(tA；（3）000010100)(tA。（1）方程组的分量形式为：211yydtdy，22ydtdy 从后一式容易求出2y的通解为 tkey 2，其中 K 为任意常数，可分别取02y和 tey 2，代入前一式得到两个相应的特解，tey 1和 ttey 2这样就求得方程组的一个解矩阵为 ()0tttetete 又 2det()0tte。因此，)(t是方程组的

8、一个基解矩阵，根据定理 6.1,方程的通解为 tttetececyy21210 （2）方程的分量形式为 1221ydtdyydtdy 由、可和 21120d yydt 由观察法知，tycos1，tysin1为此方程的两个特解，将其代入式可得两个相应的特解，将其代入式可得两个相应的特解：2sinyt，2cosyt。这样就求得方程组的一个解矩阵为 cosint()intcoststst 又 01)(dett，因此)(t中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为1122cosintintcosytsccyst（3）程组的分量形式为：132231yyyyyy 解+得 3131)(yyyydtd 解-得

9、1313()dyyyydt 解之得 131132 ttyyk eyyk e 由、可得 ttttttttececekekyececekeky312.13312112121 又由得 tecy22 由此可求得方程组的一个解矩阵 ttttteeeeet0000)(显然，0)(dettzet，因此)(t是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为 ttteteececeecyyy0000321321 3试证向量函数组 001，00 x，002x 在任意区间 bxa上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,ccc使得 ,000000012321xcxcc即 bxaxcxcc02321而式之左端是一个不高于

10、二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与式在bxa上恒等于零矛盾，从而得证。4试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组 yxAdxdy)(与yxBdxdy)(有一个相同的基解矩阵，则)()(xBxA 证：设这两个方程组的相同基解矩阵为)(x那么，必有 0)(det t,故)(x可逆,设逆矩阵为)(1x,同而 1()()()dA xxB xdx 证毕 6设当bxa时，非齐次线性方程组()()dyA x yf xdx（1）中的()f x不恒为零。证明（1）有且至多有 n+1 个线性无关解。证 设)(),(1xyxyn是方程组（1）的相应齐次方程组的 n 个线性 无 关 的 解，)(x是

11、（1）任 意 一 个 特 解，则)()(,),()(),()(21xxyxxyxxyn 是(1)的 n+1 个 线 性 无 关 解.这 是 因 为,若 存 在 常 数 121,nnkkkk 使得 0)()()()()(111xkxxykxxyknnn 则一定有 1210nnkkkk 否则有 11121121()()()nnnnkkxy xyxkkkkkk 这与)(x为(1)的解矛盾，因此，0121nnkkkk 假设可知021nkkk 故01nk，所以（1）n+1 个线性无关的解。又设)(x是（1）在(a,b)上的任一解，121 ny yy是（1）的n+1 个线性无关的解，那么，),()(1xy

12、x 2()(),xyx)()(1xyxn 是(1)的 对 应 齐 次 方 程 组 yxAdxdy)(（2）的解，而（2）最多有 n 个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数,121nkkk 使得),(bax 0)()()(112211nnyxkyxkyxk 即 112211121)(nnnykykykxkkk 显 然，0121nkkk，否则，存在不全为零的常数,121nkkk使得 0)()()(112211xykxykxyknn 这与)(,),(),(121xyxyxyn线性无关矛盾，故 111121121()()()nnnnkkxy xyxkkkkkk 这说明（1）的任一解，都可由这 n+1

13、 个线性无关的解的线性表出，同时也说明（1）的任意 n+2 个解线性相关，故方程组（1）在（a，b）上至多有 n+1 个线性无关解。习题 62 1 求出常系数齐次性微分方程组Aydxdy的通解，其中的矩阵 A 分别为 1）2543 2）oaao 3）401010011 4）942105520105 5）1111111111111111 解：1）特征方程 3452 即 0)2)(7(矩阵 A 有特征根，71 22 对 应 于71所 有 的 特 征 向 量21vv满 足0)7(21vvEA即1244055vv。取11v，则12v 那么对应的实值解为xey7111；对应22的特征向量21vv满足0)

14、2(21vvEA即0454521vv，取41v，则52v，那么对应的实值解为 zxey542。于是该方程组的通解为 xxececyy2271215411 2）特征方程为 0aa 即022 a 矩阵 A 有特征根ai1 2ai 对应ai1的特征向量21rr应满足021vvaiaaai 取11v，则iv 2 即么对应的特解为1211(cossin)aixyeaxiaxyii cossinsincosaxaxiaxax 由此得ai1所对应的两个特解为（对 2X2 的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。）12cossinyaxyax 122sincosyaxyax 它们在),(上

15、线性无关，故得方程组的通解：1122cossinsincosyaxaxccyaxax 3）0401010011 即0)1)(4(2 矩阵 A 有特征根 41，121。对应于41 ，特征向量应满足 000103001332 1vvv 又000010001001030013（只能进行行变换）因此与1相应的特征向量可取为1001n，对于二重特征根12，可以算出 222010000()000000103319AE 因此，方程0)(22EA 有二个线性无关的解为 10310，20091 注意到22n，就可得到00010330100001011 30919030100001021 从而可行基解矩阵 403

16、9()009(31)xxxxxxexexeeexe 因此所求通解为 Cxy)(，即 41230390091131xxxxycececex 4）特征方程 0942105520105 即 02525923 矩阵 A 有特征根：51，i 22，i 23 对应51的特征向量321应满足 04421005201010321 解之得 312 20 取13 则12 故相应的解为 1152131201xyyey 相应于i 22 的特征向量321应满足 0742103520107321iii 取 12010i，i 5152，i 2143 那么对应的复解为 ixxxxxxexxxxxxeiiieyxxxisin1

17、4cos2cos5sin15sin20cos10sin2cos14sin5cos15sin10cos20214515102022)2(分别取实部，部可得方程组的两个实解 xxxxxxyyysin2cos14sin5cos15sin10cos20322212,xexxxxxxyyy2322212sin14cos2sin5cos15sin10cos10 易知它们在),(上是线性无关的，于是方程组的通解为 xxxxxxecxxxxxxececyyyxxxsin14cos2cos5sin15sin20cos10sin2cos14sin5cos15sin10cos20102222213213 5）特征方

18、程为 0)2()2(11111111111111113 矩阵 A 的特征根为21，2432 对应于21，相应的特征向量1234应满足 123431111311011311113 可以算出 31111001131101011131001111130000 解之得1432，则1432那么相应的解为 11112xe 对应于三重特征根22，可以算出 3321111111111111111()161111111111111111AE 因此，方程0)(32EA有三个线性无关解为 001110r，010120r，100130r 注意到3in，可得 00000011111111111111111111 000

19、00101111111111111111121 00001001111111111111111131 由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵 xxxxxxxxxxeeeeeeeeeex2222222222000000)(因此所求方程组的通解为 ()yx c 或 1001010100111111242322214321xxxxececececyyyy 2求出常系数非齐次线性方程组)(xfAydxdy，的通解，其中：3）0112A，xexf20)(；4）111001212A，xxxf102)(；5）100110011A，xxxxf2)(2。3）解先求对应齐次方程组的通解 特征方程 0121122，特

20、征根为121 对于二重特征根11，可以算出 00001111)(221EA 因此方程0)(21rEA 有二个线性无关的解 1110 1020 0011111111 1110111121 由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵 xxxxexexeex)1()(故非齐次方程组的通解为 10()()()2syx Cxsdse 容易求出1(1)()xxxxx exexee 故 100(1)()()22(1)xxssssxxssexes esexsdsdseeexeee xxxxxxxxxxexxexxxexexeedssexexee)2(2)1(22)1(222 于是非齐次方程组的通解为 xxxexxx

21、xxececy22212111 4）先求对应齐次方程组的通解 特征方程为212100111 特征根为 11，i2，i3 对应于11的特征向量为110 对应于2i的特征向量为321应满足 011101212321iii 解之得 123i，令12，则i31 其相应的复值解为：sincos1cossinsincosixixixyexixixix 分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解,xxxysincossin2 3cossincosxyxx 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 sincos()cossin0sincosxxexxxexxxx 容易求得 10()coscossincoss

22、insinsincosxxeexxxxxxxxx 这个矩阵的逆的算法：cosxsinxsincos10000101()cossin 010cossin 0100sincos0010sincos00100101cos10 0cossin0sincos001xxxxxxexxexexxexxxxxxeexxxxx 第一行减第三行第二行第三行第三行+第二行sinx2sinxcosx2cos00101cos10 0cossincos sin0cos0cos sincos00101cos10 0cossin00cossincoscos sincoscos sinxxxxxxeexxxexxxxxxeex

23、xxxxxxxxxx （-）第三行+第一行（）第一行第二行200101010 coscossincos00cossincoscos sincoscos sin1000010 coscossincos001sinsincossinxxxexxxxxxxxxxxxeexxxxxxxx 这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。故 12()0(1)sincos(1)cos1sin(1

24、)cos(1)sinsxseesdssssdxxssssxx 则 dssfsx)()()(1 01sin)1(cos)1(cossin0sincoscossinxxxxxexxxxexxexxx 所以非齐次线性方程组的通解为 01cossincossincossin011321xxxxcxxxcecyx (5)先求对应齐次方程组的通解 特征方程1100110001 特征方程根为 1231。对于三重特重根 11，可以算出 000000000000100010)(331EA 因 此 方 程 0)(31rEA 有 三 个 线 性 无 关 的 解 1020301000,1,0001rrr 000001

25、00010001011r，00101000010001021r，00000100010001022r，31010000010100010r ，32010010011000000r 由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 xexxxx100101)(2 从而容易求得 110()01001xxxx e 又 2110()()012001xxxx f x dxexx dxx 2222336621xxxxxxxe dxxexx 故 dxxfxx)()()(1 166216631001012222xxxxexxxxexxxxx 故非齐次线性方程组的通解为 dxxfxxcxy)()()()(1 22123126

26、6010011xxxxxxxcececx exx 由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现xe肯定是不正确的。3 求出微分方程组)(xfAYdxdy 满足初值条件)0(Y 的解，其中：（1）3115A，xxeexf2)(，01；（2）0220A，43)(xxf，32；（3）1234A，xxxfcos2sin)(，00 解（1）齐次方程组的特征方程为 0)4(31152 特征根：421 对于二重特征根 41，可以算出 00001111)(221EA 同此方程 0)(21EA 有二个线性无关解1010，0120 1110111111 1101111121 由此可得齐次方程组的一个基

27、解矩阵 41()1xxxxexx 从而可求得 xexxxxx4111)(故 dxeexxxxedxxfxxx111)(41 dxexeeexeexexexxxxxxxx6655665536161251)1(51)1(6125151 xxxxxxxxexeeexeexexe6655665536161251)1(51361)1(6125151 所以 xxxxeeeedxxfxx221367251361254)()()(故非齐次线性方程组的通解为 xxxxxeeeeexxcexxcy22424136725136125411 由初始条件 01)0(y 12119101900010211900cc 解之

28、得 9002111c，2781900c 故初值问题的解为 21442241121178125361179009002536xxxxxeeyxxeeyxxee （2）齐次方程组的特征方程为 04222 特征根为 i 21i 22，对应22i 的特征向量应满足 1222022ii 取11，则 2i 故 2110(22)01ixeicox xisin xi cos2sinsin2cos2xxixx 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 cos2sin2()sin2cos2xxxxx 容易求得 1cos 2sin2()sin2cos 2s xxxxx x 而 1cos 2sin22()sin2cos24x

29、 xxxf x dxdxxx 35sin2cos23 cos24sin2243 sin24cos235cos2sin224xxxxxxdxxxxxxx 又 dxxfxx)()()(1 355sin2cos2cos2sin2244sin2cos2533cos2sin2224xxxxxxxxxxx 故非齐次线性方程的通解为 125cos2sin24sin2cos232xxyccxxx 由初始条 )32()10(y 有 05410013221cc 解之得 3,41321cc 故初值问题的解为 5cos2sin21343sin2cos2432xxyxxx 或 12135cos23sin244133si

30、n23cos243yxxyxxx (3)齐次方程组的特征方程为 2313242 特征根 121,2 对应 11 的特征向量应满足 1133022rr 取 11r,则 12r 那么相应的解为 xe11 对应 22 的特征向量应满足 0323221rr,取 31r,则22r 那么相应的解为 xe223 从而得齐次线性方程组的基解矩阵为 223()2xxxxeexee 容易求得 12223()xxxxeexee 由于 122sin23()2cosxxxxxeef x dxdxxee 2(4cos_2sin)cosxxxexe 又 21223(4cos 2sin)()()()2cosxxxxxxeex

31、 exx f x dxeexe xxxxsin2cos2sin2cos 故非齐线性方程组通解为 xxxxxxxeexxeeceecy22221cos)sin2cos4(23 由初值条件 00)0(uy，得 2123110021cc 解之得 ,41c 12c 因此值问题解为 22(4cos2sin)342cos2sin2xxxxxxeeyxxee 或 2122243cos2sin422cos2sinxxxxyeexxyeexx 4.证明:常系数齐次方程组 dyAydx 的任何解当 x时都趋于零,当仅当它的系数矩阵A 的所有特征根都具有负的实部.证 必要性:设特征根为 i,与之对应的方程组的解可表

32、为)(xfeyx。1）当 0 即 为实数时，)(xf的每一分量或者为一常向量，或者为x的多项式的向量函数。此时总有当 x 时,()f x 或者是常向量。那么只有当 x时,0 xe,故必为负实数.2）当 0时,为复数,则此时()()(cossin)f xp xxix 其中 xxp是)(的向量多项式,当x时,()f x ,那 么,若 使 当x时,有0y成 立,只 有0()xex,于是,必为负实数。充分性：若系数矩阵 A 的所有特征根都具有负的实部，设特征根为(0)i ，与之对应的解为()xyef x （1）当0时，为负数，由解的结构知，)(xf是关于x的一个多项式的向量函数，而已知 0nxlimxex，其中n为任意自然数，故形如（1）的解当x时，0)(xy。（3）当0时，i 是复数，由解的结构，此时（1）中的()()(cossin)f xp xxix，其中)(xp是x的多项式向量函数，又由于 cos0 xnlimexxx sin0 xnlimexxx 故形如（1）的解，当x时，0)(xy。