常微分方程课后习题答案.pdf

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1、1.试证n阶非齐线形微分方程(4.1)存在且最多存在n+1个线形无关解。证：设/(。，(/.(。为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组，市)是(4.1)的一个解，贝 人X,(r)+x(z),x2(f)+%(/),xn(/)4-X(tx(f),(1),均 为(4.1)的解。同 时 是 线 形 无 关 的。事实上：假设存在常数C1,C2,CM，使得：G (%,(/)+%(/)+c2 卜2 0)+x(f)+%(x.(f)+x(f)+*+()=0n 一 n+1即：c,x,(/)+x(r)Z G=0/=1 i=n+1我 们 说:Z c,=O/=1否 则，若 1产0,则 有：(/)=-3=iZ c,i

2、=i(*)的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有之4七土)=0 之=，2 2V3 百故通解为=,6 2 cos-t+c2e 2(6)s。气=/+1解：特征方程；一 二 =。有根 a=a,%=-a当a *0 时:齐线性方程的通解为s=c,ef l,+c2e-a,=A +即 代入原方程解得A =5=-ra故通解为S=c C+，2 0 5-与。-1)a当 a=0时，6=/(7/+72)代 入 原 方程解得力=,，726 21 9故通解为s=C|+c2t-一 厂+3)6(7)工 济 一 4 +5 21=21+3解：特征方程23-4/12+5 2-2 =0 有根4 =2,两重根2

3、=1齐线性方程的通解为x=c,e2 +c2e+c3te又因为4=0 不是特征根，故可以取特解行如=A+加代入原方程解得A=-4,B=-l故通解为 x=cie2 +c2e+c3te-4-t(8)xw-2x+x=t2-3解：特征方程方_ 2宏+1 =0有2重根4=1,2重根2=-1故齐线性方程的通解为x=q e +c2te+c3e-r+c4te-取特解行如x=A t2+W +c代入原方程解得A=l,B=0,C=1故通解为 x=cie,+c2te+c3e+c4te+t2+1(9)xn,-x-cost解：特征方程;I i =o有复数根4 =t；后,4 =-14 =1-t 73 73,故齐线性方程的通解

4、为=q e 2 c o s y-f +c2e 2 sin-t+c3e取特解行如X =A c o s r +B s i nr代入原方程解得=-,B =-2 2百 ，百 1故通解为x=q e 2 c o s-Z +c2e 2 s i n-f +q e (c o s f +s i nf)(10)x+x-2x=8 s i n I t解：特征方程下+丸 一2=0有根4 =-2,%=1故齐线性方程的通解为x=c,e+c2e-2因为+-2i不是特征根取特解行如x=A cos2t+B s i n 2t代入原方程解得A=-,B =-5 52 6故通解为 x=c,el+c e2t c o s2t s i n2t2

5、 5 5(11)xm-x-e,-1 +_/i;_ 1 _ .Fi;解：特征方程才一1=0有复数根4 =3,4 =2,%=1-t J3,J3故齐线性方程的通解为x=c*2 cos-t+c2e 22=1是特征方程的根，故工=代入原方程解得A=-3-If 百 _1,/Q 1故通解为工=。1 2 c o s t+c1 e 2 s i nt -v c.e1-1 2 2 2 3 3(12)s+las+a2s=er解：特征方程/I?+2a/l+a 2=。有2重根/l=-a当a=-l时，齐线性方程的通解为s=c1e,+c2te,丸=1是特征方程的2重根，故工=A t2el代入原方程解得A-2通解为 s=g e

6、 +c“e H I2,2当a-1时，齐线性方程的通解为s=/5 +。2止”，2=1不是特征方程的根，故、=A/代入原方程解得A=二(I f故通解为 s=c,e-a,+c2te-a+二e 9+1)2(13)x+6x+5x=e2解：特征方程丸2+6/1+5=0有根4=-1,/12=-5故齐线性方程的通解为x=C|e-+C20-”2=2不是特征方程的根，故、=A e*代入原方程解得A=21故通解为 x=c.e-(+c2e-5,+e212 21(14)xn-2xr+3x=el cost解：特征方程 A2 2X +3=0 有根4 =-1+i,=_1A/2 i故齐线性方程的通解为x=q e c o s41

7、 t+c2ez s i n 65 4-l i不是特征方程的根，取特解行如工=(4 85/+8蜘。/代 入 原 方 程 解 得 心0，5=-石故通解为=6,c o s 72/+c.el s i n V2r+(c o s z-s i nr)e-r12 41 41(15)x+x=s i n/一 c o s 2t解：特征方程;e+i =o有根=4 =一 i故齐线性方程的通解为x=cx c o s r +c2 s i n tx+x=s i nf,4 =i,是方程的解H =f(A c o s/+B s i m)代入原方程解得A=-B=0 故 1=一1 f c o s t2 2x+x=-c o s 2t x

8、=A c o s 2t+B s i n 2f 代入原方程解得A=-B=0 故工=c o s 2.3 3故通解为 x=G COS，+Q sinr tcost+-cos 2t12 2 3习题5.11.给定方程组(*)cost sinza)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组(*)的满足初始条件u(0)=-sinrj costb)试验证W(t)=C u(t)+c 2 V(t)是方程组(*)的满足初始条件W(0)=C l的解,解：a)u(0)=cosO-sinO101 00,v(o)=的解.其中C 1 4 2是任意常数u (t)=一 sin/01cost01-cosr-10-sinr-10u(t)

9、又01v(0)=sin =必卬4=y =2 w3-13W4+15W(+cost%(O)=x(O)=lw2(0)=x(0)=0必(0)=y(0)=0卬 式 )=y ()=i3.试用逐步逼近法求方程组满足初始条件x(0)=_X2的第三次近似解.解：勿o（f）=0 4 0 1 0 0 t t(f)=+ds=+=|_1J J0|_-l Oj|_lj|_1J|_0j0忆 =j +./-00-16t22习题5.20241202 02412031.试验证（，）=22tI是方程组X02212X,x=当,在 任 何 不 包 含 原 点 的 区 间 4。上的基解矩阵。解：令（。的第一列为0，这时;（t）=2/(0

10、222劭（t）故 必（t）是一个解。同样如果以/（t）表示中（。第二列，我们有为（t）=0222/（t）这样供（t）也是一个解。因此（。是解矩阵。t）又因为d et）=-t2 故 是 基 解 矩 阵。2.考 虑 方 程 组 x=A（t）x（5.15）其 中 A（t）是区间上的连续n x n 矩 阵，它的元素为a,y(t),i,j=l,2,na）如 果 x （t）,x 2（t）,x （t）是（5.15）的 任 意 n个 解，那 么 它 们 的 伏 朗 斯 基 行 列 式Wx,(t),x2(t),，x“(t)三W(t)满足下面的一阶线性微分方程 W =au(t)+a22 +a,(t)Wb）解上面的

11、一阶线性微分方程，证明下面公式：W（t）=W（to）e%际+侬*小 to，te a,b X2X22-1 Cl 12 2 +1 11 1 7 +2 22+*X2X22 +/2*2 +卬，”，“X2+小 乙2*x尤12 QX2-d x ln孙X 22 X2n=X2X r 1 2 X r 2 n+a“内+.+QnnXn+凡1招”+.+an nxnnXnl%XnnX2l整理后原式变为0 nn Xn2 丽 X nnX|X2 匹”X i X X o(au+-+a,.)一 一 二(a“+a.“)W(t)Xn Xn2 Xnn=(an(t)+-+an n(t)W(t)b)由于 w(t)=al f(t)+an r

12、t(t)w(t),即 卬=a”(t)+a.“(t)d tw(f)C4 I($)+.+%(s)ds两边从 到 t 积分 l n|vv卜In M o)卜 U 1(S)+%(s)d s 即 w(t)=w(to)e ”,te a,b3.设 A(t)为区间af 4b 上的连续n x n 实矩阵，(f)为方程x=A(t)x的基解矩阵，而 x=(t)为其一解，试证：a)对于方程y-A7(t)y的任一解y=+(t)必有甲 7 (t)(p(t)=常数；b)T (t)为方程y-A，(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使 甲r(t)(p(t)=C.解 a)T r(t)(p(t)=7 夕(t)+甲

13、丁 加 =T T(p M+T r(t)A(t)又因为+=-A T(t)(t),所以+J-+T(t)A(t)T r(t)夕 =-T r(t)0(t)A(t)+T r(t)A(t)夕(t)=0,所以对于方程y=-A T(t)y的任一解y=甲 必 有+(t)夕(。=常数b)“U”假设为方程y=-A,(t)y的基解矩阵，则 T r(t)*(t)=%T(t)O(/)+T T(t)(t)=-A，(t)T (t)D(/)+T T(t)Ar(t)D(f)+T r(t)A(t)Q(t)=-T r(t)A D(f)+T r(t)A，(f)=0,故+(t)0 (t)=C若存在非奇异常数矩阵C,d e tc H O,

14、使 甲 T(t)(t)=C,则 T T(t)p(t)=平 丁 cp(t)+平 丁(p(t)=0,故+(p(t)=-+T(t)(p(t)A(t)T T(t)=-T r(t)A(t)所 以 小 丁 Tr(t)A(t),T (t)=-T r(t)八?即于为方程丫:-八丁丫的基解矩阵4.设(f)为方程x=A x(A 为 n x n 常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明：t(、)=(t-t0)其中t0 为某一值.证明：(1)(。，(t-to)是基解矩阵。(2)由于(7)为 方 程 x=A x的解矩阵，所以(。t(t。)也 是 x=A x的解矩阵，而 当 t=t。时，(t0)T(to)=E,(t

15、-t0)=(0)=E.故由解的存在唯一性定理，得(。T(t0)=(t-t0)5.设A(t),f (t)分别为在区间a W b上连续的n x n 矩阵和n维列向量，证明方程组x=A(t)x+f 存在且最多存在n+1 个线性无关解。证明：设 X,x2,X”是 x=A(t)x的 n 个线性无关解,x是 x=A x+f (t)的一个解，则 X 1+%,x2+x,X +3 7 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C.,(1=1,2,-,n)_ _ _ _ _ _使得工。(为+X)+C“T x=0,从而X I+x,x2+x,x.+x,x 在 aW b上线性相关，此与已知矛盾

16、，1=1因此X 1 +x2+x,-,X +X,1 线性无关，所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1 个线性无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：x =A(t)x+(t)x=A(t)x+f2(t)的 解,则 演 +4是方程组x=A(t)x+/,()+f2(t)的解。证明：x=4 Q)x +力(1)x=A(r)x+/2(r)(2)分别将再,尤2。)代 入 和(2)则 d=A)X +于 乙=A(t)x+f式t)则X；+=A(f)X +力 +/2 X t(。+X2(/),=A(/)xt(/)+X2(r)+力(f)+f2(t)令 X =X|(f)+x2(t)即证 x=A(f)x+

17、/+/2(。7.考虑方程组x=A x +/Q),其中0 2 _ x2 cost 2 t t 2 t a）试验证 中（f）=2,是=4%的基解矩阵；0 e 1 b）试求x=A r+/Q）的满足初始条件奴0）=的解夕。1证明：a）首先验证它是基解矩阵Ce2 以口表示。的第一列 叼（。=则 必 2人0,20故必是方程的解如果以巴表示。的 第 二 列（P）=我 们 有 外 =/2 c 7，2(1 0、0 2户。2 )故外也是方程的解从而。是方程的解矩阵2 t 2 t又 de t 3 ）=2,=e*。00 el故。是x=A x的基解矩阵；b）由常数变易公式可知，方程满足初始条件夕（0）=1的解19=。T

18、 (0)7 +。f(s)d s一 小、而 1。-?L(l-f)e”c 2rI一 e+e21Jte2 e(e-2se21)0sin sdsCOS 5 J试求x=Ax+/Q)，其中A20I2x=Xix2/(，)0e2满足初始条件。(0)=1-1的解。Q)。解：由第7题可知xAx的基解矩阵e20te2e2则 (s)、1 J若方程满足初始条件e(o)=o则有 。)=(p(t)(s)f(s)d s=2/0te2e2101 )-2s0e2若 0(0)1-1则有夕)=。)。7(0)I-V(s)/(5)ds7%、0te”、e2)卜列方程的通解:a)x+x-sect 7V7t t 22解：易知对应的齐线性方程x

19、这时卬%Ox2 Q0=cost-sinr由公式得夕(f)=1 /a v s t 1 1 (15，+27)e-cos t-sin t25 25 25、735-t2e2,2)Ze/+278、557(1-r+r2)e2/(D e”、79试求+x=0 的基本解组为 x,(?)=cos/,x2(/)=sin/sin/cost1sin t coss-cost sins,-sec sas1(sin t-cos/tan s)ds=t sin t+cos t In cos t/.通解为 x=G c o s，+s i n，+，s i n，+c o s f i n，b）x-8 x=e2t解：易知对应的齐线性方程-8

20、 x=0的基本解组为占。）=e .x2(t)-e c o s V3 f,x3(r)=e s i n /v 2 =2是方程的特征根故方程有形如x=Ar e”的根代入得12故方程有通解 x=(G c o s、&+，2 s i n J Wf)*+c3e2 +te2c)x-6x+9 x=e解：易知对应的齐线性方程1-6x+9x=0对应的特征方程为万6/1 +9=0,4 2 =3故方程的一个基本解组为 X (t)=e3 ,x2(t)=te3Wx.(t),x2(t)e3 te33 e e +3/因 为 是 对 应 的 齐 线 性 方 程 的 解故 为 =%也是原方程的一个解故方程的通解为x=qe 3 +c

21、2te3+：e 1 0、给定方程/+8 +7工=/（。其 中 （。在0 4 1 +0 0上.连续，试利用常数变易公式，证明:a）如果f （t）在0 4 f +8上有界，则上面方程的每一个解在0 4 t 0 0时，/）0,则上面方程的每一个解9。）-8（当-8时）。证 明:a）v f（t）0，0,使得 ，Vf e 0,+o o)又x=e x =e-1是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解*e-y -ee15 f else5-eels叭7 f(s)ds-e s 7e.M(f)K 引 卜 一 屋7,_ e-e ds 吟 _ ；_ /)q M又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t),都存在固

22、定的常数c”c、2使得 x(t)=cie1+c2e+(p(t)从而|x(f)K +|c2e-,|+1(/)|cj+|c2|+M故上面方程的每一个解在0 W f 0,7当1:/时|/(。|由a)的结论故f-8时，原命题成立11、给定方程组 x=A(f)x(5.15)这里人(力是区间。44匕上的连续x矩阵，设。是(5.1 5)的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在|国|8上连续，4 ea,b试证明初值问题：0 时，(e xpA)=e xpA e xpA.e xpA=e xp(A+A+.+A)=e xpAAk 0(e xpA)=(e xpA)t 一 二 e xp(-A)k=e xp(A),e x

23、p(-A).e xp(-A)=e xp(-A)(-k)=e xpAA故 V k,都有(e xpA)k=e xpAA2、试证：如果。是 X 二 Ax满足初始条件0 0。)=7 7 的解，那么机)=e xpA(t-t0)7证明：由定理8可知夕)=(t)Yt o)7 7 +(t)i(s)/(s)ds又因为(t)=e xpAt ,1(t o)=(e xpAt o)=e xp(-At o),f (s)=0,又 因 为 矩 阵(At),(-At o)=(-At o),(At)所 以(p(t)=e xpA(t-t0)r j3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量2 1、c)1 -1 13 0 1,2-3

24、3、b)4-5 3、4-4 2,；0 1 0、d)0 0 1、一 6-11-62-1解：a)de t (A E-A)=-4-2A-3=(2 5)(A+1)=0；.4=5,22=1（a对应于4=5 的特征向量1 1=2。）（a*0）对应于4=-1的特征向量(0)b)de t (2 E-A)=(2+1)(A+2)(A-2)=02 1 =1,22 2,23=2对应于4=-1 的特征向量u i=a(a w 0 )J(/*0 )量(/#0)2-1c)det(2E-A)=-1-2-2 -12+1-1-(2+1)2(2 3)=00 2-1二 4 =-1 （二重），22=3-1、对应于4=-1 （二重）的特征

25、向量u=a 2,、-2,自对应于4=3的 特 征 向 量 丫=1,（工0）a*0)2-1 0d)det(2E-A)=0 26 11-1=(2+3)(2+1)(2+2)=02+6；4 =-1，2 2=-2,几3=-3对应于4 =1的特征向量u i=a1、-1(a w 0)1、对应于4=-2的特征向量止=夕-2()(1对应于九3=3的特征向量U 3=y-3(y w 0)9 J4、试求方程组x=A x的一个基解矩阵，并计算e x p A t,其中A为:-2 1(1 2、a)b)0 2)14 3J2-33）1 0 3 1c)4-53d)8 1-114-42)(5 1-I解：a)de t (2 EA)=

26、0得4=6，A2=-V 3对应于4的特征向量为u=1 、2+后a,(a w 0 )对应于几2的特征向量为V 2-V3p,(0 )U12+、v=2-V3是对应于4，%的两个线性无关的特征向量(t)、(2+(2 _ Q)e f是一个基解矩阵ExpAt二1 f-(2-V 3)e +(2+V3)e-7 i,2百”+产(2+7 5 1 -(2-aefb)由 de t (4 EA)=0 得4=5,Z2=-1解得u =127v=是对应于4,4的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为（t）=e5t e2*-/7(0)=1 12-15(0)=U32J233、7则 ex p A tnG)1(0)=(“5/312e5/

27、e*-e2e5+ec)由 de t (A EA)=0得4=2,4=2解得基解矩阵（t）=e22 t0-2/e2e0/T(0)=1-1,0-11110-17则 expAt=(t)(0)=e2e2-e 2e2-e2-e2+e-e2+e 2-e2+e+e-2te2t-e2t-d)由 det(4E A)=0 得 4=-3,2,=2+V7,23 2 V7解得基解矩阵中（t）=-3 e-36（2+斤 7/3/4甘-5 c(2+/)r31+屿.(2+/3-而 _ 4 V7 _5 e(2+V7)/-31-近 产 舟i3)则 expAt=e(t)中-(0)=(85/7 _3,2+4-/7-e+-4V733567

28、7,3,122-28V7,-e+-e9932V7,3,26+2V7-e 4-e99e（2+。），1 2+4救e（24(2+V7)/(2+V7)/3+-122-28A/7(2-V7)/9+-2 6 +2 V7 e(2-Ji)t95,试求方程组x=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件。（0）=的解8（。a)Ab)A=1、418、5230113-1-133 0-27H =、7=、c)A=1、22-1017=。0解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为e”e-，、2e5-e：3、1 +3,=a2a/所以 a =2,0=1b）由第4题（d）知，基解矩阵为-3 e-(t)=1e334e3,ea)得举n-41-2-

29、=a/1-4-1-21-41-2rI=/1-21-41-2MV-夕(。=6*：匕 +eE+t(A+E)v2J J2 24 4-e3-e-(2 2)6、求方程组=A x +f（t）的解（f）：、a)9(0)-1J,A7b)夕(0)=0,A =0062、,10-1 1,/(/)2、0、1 ,f(t)一6,c)9(0)=,A =2 t J )=门s i n/、-2c o s t解:a)令x =A x 的基解矩阵为（t）140、0p(/l)=d e t(/l A)(A 5)(/1 +1)=0所以4 =5,4=-7“2。解得（t）=,则T(t)=1 3 e*二-产、-2e 旷“。）=-薨;-11求得(p

30、it)=2-5-e/1-5 r-e-45/ee3203一10b)由 d e t (2 E A)=0 得 4=1，4=2,23=-3设4对应的特征向量为q,则(E-A)vi=0,得 vi=a a w Oa,取V1=-ri-1则中(t)=从而解得9(，)1-121-2_ p-31-37-2t1e4一e-+4、-t2e-2,4e-2,上 3 -3,H e49-e3,-445H -e47 j42,1 .-te21+te27c)令x=A x的基解矩阵为(t)由 d e t (A E A)=0 得 4 =L 4=2解得对应的基解矩阵为(t)=3 e2c 73(2e2八2/7从而-(0)=-2 3、2-2(

31、p(t)=0(f)(O)o(O)+0”)于(s)dsc o s f-2s i nf+e (-4 24 +3/-,)+3 e(1 +7一2)、2c o s f-2s i nf+e (-4-2+3r/2)+2e2+-T2)7、假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组x=A x+cem,有一解形如次)=pem，其中c,p是常数向量。证：要证e(f)=p e 是否为解，就是能否确定常数向量ppmenit=Apemt+c*则 p （mE A）=c由于m 不是A的特征值故加E A|=0m E-A 存在逆矩阵那么p=c （mE-A）这样方程就有形如 松）=pe1的解8、给定方程组X 3+2X+4 =。X

32、 j-2芭 +x,+工 2=0a）试证上面方程组等价于方程组u-01u=“2=占,A=-44 3x22-1=Au,其中o-2-1b）试求a）中的方程组的基解矩阵c）试求原方程组满足初始条件x i(0)=0,x j(0)=1,x2(0)=0的解。证：a）令/=X|,2=x j,“3 =x2 则方程组化为u =X =a 2u2=X,=3M2-2M,-W3+M3“3%2=-U2+2|一 “3 0 1即 u=-4 42-10、2 u-Iu =A u 反之，设X i=Ui,X i：U2,X2=U 3则方程组化为x J=4/+4 x J+2%2x2=2xl-xx-x2尤 J=2xl-2x-x2 r+x2x

33、2=2x1-x-x2b)由 d e t (2 E A)=0 得 4=0,4=1，4=2-%=0 1由 4%-42-2U3=0 得=a 02,u+“2+3=。(2a w 0同理可求得U2和U.3/1 e e2则。（，）=0 e 2e2是一个基解矩阵c）令%=/，%=/，则化为等价的方程组且初始条件变为对（0）=0,%（）=1,3（0）=0.而满足此初始条件的解为：0、(1 c ,3 23 2e+-e2 2-2e+3e2l-e于是根据等价性，满足初始条件的解为式9、试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。证明：略。10、求下列初值问题的解：x +Y =0)2,/(0)=1,夕,(0)=0X -x2=1

34、)X +3玉+2X +x0,+%2=0/+2X +x2-x2=0%(0)=1,。/(0)=-1,。2(0)=0、x,n-m2x9-0c)x2n+w xI=0玉(0)=7 ,九|(0)=%,%2()=3，尤2 ()=4解：a)根据方程解得X1=L ,x2=-.X=g t+C,x2=1+c2(0)=1 x O+c.=1 /.Ci =12 1=1 +12.%9)=0 x 0+c2=0 c2=0 x2=t综上：x.=t +121/=-rb)对方程两边取拉普拉斯变换，得-5 +1 +3(s X(s)1)+2X G)+5%2(5)+X2(5)=0s X|(s)l +2X(s)4-.VX2(5)-x2(5)

35、=0“/、52-3 2 1 1 1 1 1(5+1)(5+2)(5-2)3 5 +1 4 5 +2 1 2 5-2V/、-5-2 1 1 1 1X 2(s)=-=-2(5+1)(5+2)(5-2)3 5 +1 3 5-2解得(p2(t)=-(e-e2)c)对方程两边取拉普拉斯变换，得52X,(5)f l 一 2 -m2X2(s)=0S?X 2(S)_ S 3+加 2乂2($)=0即 卜?X(s)m2X2(s)=s 小 +%/X G)4-52X2(5)=S 3 +4解得为G尸应斗学乜巨S+2X2（5）=3 9 7 9/S +4$一m 7正S4+/6。）=（gi 一+*今(z(x/+!君cosOS

36、74)074)0v l4 mV2小2+一V2/痴w-2I一d二2Yer君.mn名痴V2rl+/r V2 1 V2 m 1 V2 V2,.m 夕2。)=(-%+不 4)c o s yf+(/i -小 +-74)s i n-r-e -4 m 2 4m J 2 2 4m 4m。2r/V2 i 也、？，i 4i 6、.i、？+(广 小+7 3 +丁/)c o s-f+(-彳7一 丁 生+4)s mK -e-4 m 2 A m J 2 2 4 m 4 m 2Ik假设y=(p(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题y+ay+by=07(o)=o,y(0)=1的解，试证y=f 力 是方程y+ay+hy=/(x

37、)的解，这里f(x)为已知连续函数。证明：y=:Y=8(0)/(x)+f e (x-f)/力=f力y=f+*(0)/(x)=f/(xT)/力+/(x)y+ay+hy=1(px-t)f(t)dt+/(x)+a(夕 (x -t)f(t)dt+“*(x -t)f(t)dt=p(x-1)+a(p(x-1)+b(p(x-1)+bp(x-t)f(t)dt+/(x)=/(x)习题6.31.试求出卜列方程的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态4dx 八 、=x(l-x-y)dt虫=l/4 y(2-3 x-y)dt解：由 0,丸,=2 0所以不稳定对于奇点(0,2),令乂=*,丫=丫-2,则 A_ 3/2 _

38、1/2)得%=T，%2=T/2所以渐进稳定同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定对于奇点(2,1/2),驻定解渐进不稳定虫力虫力2)2=9x-6y+4xy-5%解：由29%6+4xy-5 丫=0人2 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)6x-6y-5xy+4 y=0对于奇点(0,0)可知不稳定对于奇点(1,2)可知不稳定对于奇点1)可知惭进稳定0解：由y=o/2、八 八得奇点(0,0),(T/，0)-x+i(y-x)=0,/0对于奇点(0,0)驻定解不稳定对于奇点(T/4,0)得驻定解不稳定-工-(工-y)(y-2盯+2/3)解：由O5 I 2 6 0。3=1 所以零解渐进稳定”=-2,牛=攸一*(为常数)dt dt dt(/-1 0 )a 7 2 3解:A=0 -1 由|江一川=0 得丸 一3 一+3 一；1 +1 =0-1 01 J3得4 1=-1，22=A+-i)/z+l/2 0 即 T/2 不稳定i i i)+1/2=0 即=T/2 稳定